初中因式分解基本方法

1、初中因式分解的基本方法因式分解（factorization ）因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中， 是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与 技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的 思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公 式法、分组分解法和十字相乘法而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十 字相乘法，轮换对称法等提公因式法1 公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的.2 提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到

2、括号外面， 将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.am bmcmm（a+b+c）具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母 取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的， 一般要提出“”号，使括号内的第一项的系数是正的.运用公式法 平方差公式：. a2b2(ab)(ab) 完全平方公式： a22abb2(ab)2能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式 , 其中有两项能写成两个数 (或式) 的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的 2 倍.立方和公式：a3+b3 (a+b)(a2-ab+b2).

3、立方差公式：a3- b3 (a-b)( a2+ab+ b2). 完全立方公式： a33 a2b3a b2b3(ab)3 an-bn=(a-b)a(n-1)+a(n-2)b+b (n-2)a+b(n-1)am + bm =(a+b)a(m-1)-a(m-2)b+-b(m-2)a+b(m-1) (m 为奇数)分组分解法分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法.分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式. 拆项、补项法拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式 适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式

4、相 等的原则进行变形.例： 分解因式 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)十字相乘法 x2（p q）xpq 型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是 1；常数项是两个数的积；一次项系数是常 数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是 1 的二次三项式因式分解： x2（p q）xpq（xp）（xq）这个很实用,但

5、用起来不容易.在无法用以上的方法进行分解时,可以用下十字相乘法.例： x2 +5x+6首先观察,有二次项,一次项和常数项,可以采用十字相乘法.一次项系数为 1.所以可以写成 1*1常数项为 6.可以写成 1*6, 2*3, -1*-6, -2*-3 (小数不提倡)然后这样排列1 - 21 - 3(后面一列的位置可以调换,只要这两个数的乘积为常数项即可)然后对角相乘,1*2=2,1*3=3.再把乘积相加.2+3=5,与一次项系数相同(有可能不相等,此 时应另做尝试),所以可一写为(x+2)(x+3) (此时横着来就行了)我再写几个式子,楼主再自己琢磨下吧.x2-x-2=(x-2)(x+1)2 x

6、2+5x-12=(2x-3)(x+4) mx2+px+q 型的式子的因式分解对于 mx2+px+q 形式的多项式，如果 ab=m, cd=q 且 ad+bc=p，则多项式可因式分解为(ax+ c)(bx+ d)例： 分解因式 7x2分析： 1 - 37 - 2-19x-612（37）= 19解：7 x2-19x-6=(x-3) （7x+2） 双十字相乘法难度较之前的方法要提升许多。用来分解形如 ax 2bxy c y 2dx ey f 的二次六项式在草稿纸上，将 a 分解成 mn 乘积作为一列， c 分解成 pq 乘积作为第二列， f 分解 成 jk 乘积作为第三列，如果 mq np b ，p

7、k qj e ，mk nj d，即第 1,2 列和 第 2,3 列都满足十字相乘规则。则原式（ mx py j）（ nx qy k ）要诀：把缺少的一项当作系数为 0 ，0 乘任何数得 0 ，例 ： a b b 2 a b 2 分解因式解：原式 01 a 2 a b b 2 a b2（ 0 a b1）（ a b2）（ b 1）（ a b 2 ）(7) 应用因式定理：如果 f （a）=0，则 f （x）必含有因式（x-a）。如 f（x）= x2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是 x2经典例题：+5x+6 的一个因式。1. 分解因式 (1y)22 x2(1y2)x4(1y)2解：原式

8、=(1y)22(1y) x2 (1y) x4 (1 y)22(1y) x2 (1y)2 x2 (1y2)1 2 3n1 2 3n=(1+y)+ x2=(1+y)+ x2(1y)22(1+y) x 2 (1y)2(2x)2(1y) 2 x2(1+ y2)=(1+y)+ x2(1y)+2x (1+y)+ x2(1y) 2x=( x2x2 y+2x+y+1) ( x2 x2 y2x+y+1)=(x+1)2y(x21) (x-1)2y(x21)=(x+1) (x+1xy+y) (x1) (x1xyy)2.证明：对于任何数 x, y，下式的值都不会为 33x53x4y5x3y215x2y34xy412y

9、5解：原式=( x5+3x4y)( 5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5)= x4(x+3y)5 x2y2(x+3y)+4 y4(x+3y)=(x+3y)( x45 x2 y2+4 y4)=(x+3y)( x24 y2)( x2 y2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)当 y=0 时，原式= x5不等于 33 ；当 y 不等于 0 时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y 互不相同，而 33 不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立 (8)、 换元法整体代入，免去繁琐的麻烦，亦是建立的之前的基础上 例 ： ( x +y ) 2 -2(x+y)+1

10、 分解因式考虑到 x+y 是以整体出现，展开是十分繁琐的，用 a 代替 x+y 那么原式= a 2 -2 a +1= ( a -1)2回代原式= ( x +y -1) (9)、求根法2令多项式 f(x)=0,求出其根为 x , x , x ,x ,则多项式可因式分解为 f(x)=(x- x )(x- x )(x- x )(x- x )例 8、分解因式 2x4+7 x3-2 x2-13x+6解：令 f(x)= 2x4+7 x3-2 x2-13x+6=01 2 3n1 2 3n通过综合除法可知，f(x)=0 根为 1，-3，-2，1则 2x4+7 x3-2 x2-13x+6=(2x-1)(x+3)

11、(x+2)(x-1)(10)、 图象法令 y=f(x)，做出函数 y=f(x)的图象，找到函数图象与 x 轴的交点 x , x , x ,x ，则 多项式可因式分解为 f(x)= (x- x )(x- x )(x- x )(x- x )例：因式分解 x3+2 x2-5x-6解：令 y= x3+2 x2-5x-6作出其图象，见右图，与 x 轴交点为-3，-1，2则 x3 +2 x2 -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)(11)、 主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 （备注：这种方法要难一些，多练即可即把一个字母作为主要的未知数，另一个作为常数

12、）例：分解因式 a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)分析：此题可选定 a 为主元，将其按次数从高到低排列解：a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b) = a2(b-c)-a(b2- c2)+( b2c- c2b)=(b-c) a -a(b+c)+bc=(b-c)(a-b)(a-c)(12)、 利用特殊值法将 2 或 10 代入 x，求出数 p，将数 p 分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后 的每一个因数写成 2 或 10 的和与差的形式，将 2 或 10 还原成 x，即得因式分解式。例 11、分解因式 x3+9x2+23x+15解：令 x=2，则 x3+9x 2+23x+

13、15 =8+36+46+15=105将 105 分解成 3 个质因数的积，即 105=357注意到多项式中最高项的系数为 1，而 3、5、7 分别为 x+1，x+3，x+5，在 x=2 时的值则 x3+9x2+23x+15 = （x+1）（x+3）（x+5）(13)、待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多 项式因式分解。将式子看成方程，将方程的解代入这时就要用到 (1)中提到的知识点了当一个方程有一个解 x=a 时，该式分解后必有一个(x-a)因式例 ： x2+ x- 2该题可以用十字相乘来做，这里介绍一种待定系数法我们可以把它当方程做， x2+

14、x-2=0一眼看出，该方程有一根为 x=1那么必有一因式为 (x-1)结合多项式展开原理，另一因式的常数必为 2（因为乘-1 要为-2） 一次项系数必为 1（因为与 1 相乘要为 1）所以另一因式为（x+2）原式分解为： x2+ x- 2 =(x-1)(x+2)(14) 、 列竖式法原理和小学的除法差不多 要建立在待定系数法的方程法上 不足的项要用 0 补 除的时候，一定要让第一项抵消例：3 x3+5 x2-2 分解因式提示：x=-1 可以使该式=0，有因式（x+1） 3x 2 +2 x -2x +1 3x 3 +5 x 2 +0 x -23x 3 +3 x 2.2 x2+0 x.2 x 2

15、+2 x. -2 x -2. -2 x -2.0解 原式 = （x+1)(3 x2+2x-2)(15) 、解方程法此方法是对 ax 2 +bx +c 分解的万能方法，但在学过解方程后才会使用设 ax2+bx +c =0解得方程得x =x , x =x 1 22 ax 2 +bx +c =a ( x -x )( x -x )1 2例： x2-x-1 分解因式设 x 2 -x -1 =0解得方程得x =11 + 5 1 - 5, x =2 2 x 2 -x -1 =( x -1 + 5 1 - 5 )( x - )2 2 多项式因式分解的一般步骤：1 如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；2

16、如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；3 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.考虑到每种方法只有一个例题，下面提供一些题目，供大家练习。（1） ( ab +b ) 2 -( a +b )2（2） ( a 2 -x 2 ) -4 ax ( x -a )2（3） 3a3b2c -6 a2b2c2+9 ab2c3（4）xy62x3y (a2-x2) -4 ax ( x -a )2（5） (3a -b )2-4(3a -b )( a +3b ) +4( a +3b)2（6）12 x229x15（7）(x2)(x3)(x2)(x4) （8）x(y2)xy1（9）4 x 2 4xy y 2 4x2y3 （10） 2 x 4 +13 x 3