二重积分地计算方法

1、1利用直角坐标系计算1.1积分区域为X型或Y型区域时二重积分的计算对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决.在直角坐标系下，被积分函数 f（x,y）在积分区域D上连续时，若D为x型区域（如图1）,即D =（x, y）fi（x）兰xE2（x）, an, 其中1（x）, 2（x）在a,b上连续，则有(1)b Q(x).f(x,y)d匚adx* f(x,y)dy ；D1若D为y型区域（如图2）,即D =（x, y）*1（y） E y兰屮2（y）, c兰y ,其中屮1（y）,屮2（y）在c,d上连续,则有Jd(7c01(2)dg( y)f(x,y)d；c dy *y)f(x,y)dx

2、.D计算11 ydxdy，其中D是由x=2 , y=x，及xy=1所围成.D x分析 积分区域如图3所示，为x型区域D二!（x,y*Ex兰2Ey兰xl .确定了积分区域然后可以Ix J利用公式（1）进行求解.解 积分区域为x型区域D(x,y2，x2每dxdy =D x21 dx 1xy2D21D1=1O12xy=xT2 I 13x 丿 xdx13721 _27r12 j均为x型区D2 - x, y 1 _ x _3,2y _ y _3 - xf(3)和(1)可进行计算.解D划分为( x 1D = |(x, y)0 兰 x1,?兰 y 兰2xj，1 12 x1 2x-dx1 3 一 xc0 2V

3、21 2x23-x0dx x dy 订 dx x dy2 2D2 一 x, y 1 _ x _ 3,2y _ y _ 3 -x/域x乞1，0乞y乞2 .接求得，以至于不能现当我们把积分区域被积函数在每一个积1.3被积函数较为复杂时二重积分的计算二重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复杂，虽然能 定出积分限，但被积函数的原函数不易求出或根本求不出，这时可根据被积函数划分积分区域，然后 进行计算.例3计算二重积分JJ Jy_x2|dxdy，其中D为区 D 分析由于被积函数含有绝对值，其原函数不能直 直接化为二次积分进行计算，观察函数本身，不难发；2 2划分为Di

4、= X f，D2二两部分后，I1EX 兰 11EX 兰 1分区域都可以化为基本函数，其原函数很容易求得.解区域D如图6可分为DA1D2，其中f 2f2nJ兰y兰2，D2=兰y兰x1兰x11兰x兰1由公式(3)则H Jy - x2 dxdy = Jjjy _x2dxdy + Jjjx2 _ydxdyDDD2=.Jx x2 y _x2dy dx0 x2 - ydy:52利用变量变换法计算定理1设f (x, y)在有界区域D上可积，变换T : x =x u,v ， y = y u, v，将u,v平面按段光滑封闭曲线所围成的区域厶一对一地映成x, y平面上的区域D，函数x u,v ，y u, v在厶内

5、分别具有一阶连续偏导数且它们的雅克比行列式J u,v =-=0, u, :.贝U勺u,v)!)f(x,y)d ： = f x u,v , y u,v J u,v dudv(4)DL(4)式叫做二重积分的变量变换公式，2.1根据被积函数选取新变量使被积函数简化当被积函数较为复杂，这时可以考虑利用变量变换化被积函数为简单函数，原积分区域相应的转 化为新的积分区域，进而利用公式进行计算.x例4求 ex ydxdy，其中D是由x = 0, y=O,x y =1所围曲线（图7）D分析 由于被积函数含有e的指数，且较为复杂，这时可以考虑替换变量，简化被积函数，如果做替换T : u =x y,v =x y.

6、在变换T作用下区域D的原像厶如图8所示，根据二重积分的变量变换公式,积分计算就简单了.1解做变换T :x=2 u v | 2 y =2 u _v所以XTx亠yu Dex ydxdf dudq1v -odU./U=2 ov e _e dvu = f x,y ,v = g x,y 且2.2根据积分区域选择新变量计算二重积分当被积函数比较简单，积分区域却比较复杂时，可考虑积分区域，若有m mu乞n, ：乞v乞一则把xy平面上的积分区域D对应到uv平面上简单的矩形区域,-：,然后根据二重积分的变量变换公式（4）进行计算.例5求抛物线y2二mx, y2 = nx和直线y = x, y二：x所围区域D的面

7、积D .分析D的面积D二dxdy .实际是计算二重积分iidxdy,其被积函数很简单，但是积分区域却比较复杂，观察积分区域不难发现2 2yym , n =xx2，如果设u二上，v =，贝U有x x解D的面积.L：；：D = dxdyD作变换ux 2v ， A = m,n k (a, B 1vy 二uJ u,v = L4 , u,v ：.v所以“ uPdvW)pdxdv4dudvl4nn2 -udu =mm2 U36： 33x求 二dxdy . D : xy =1,xy 二 3,y2 二 x, y2 =3x所围区域.d y xy分析2积分区域的处理与上题类似，可以做变量替换T: u二xy,v二丄

8、，它把xy平面上的区域D对x应到uv平面上的矩形区域u = xyT： y2 v丄L x在变换T作用下，区域D的原像：=1 u,v 1 _ u _ 3,1 _ v _3J ,J u,v3v所以3x 1D厂x严Hdudv3v二 3dv 3-11 v v uv=2I n 22.3利用极坐标变换计算二重积分当被积函数含有f x2y2、f -或f y形式或积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较 3lx丿方便，如圆形及圆形区域的一部分，可考虑用极坐标变换fx = r costT :， 0 ： ： v : ,0 ： ： V : 2 二y = r s in 日这个变换除原点和正实轴外是一一对应的(严格来说极

9、坐标变换在原点和正实轴上不是一对一的,但可以证明公式(1)仍然成立)，其雅可比行列式为r.(1)如果原点0-D，且xy平面上射线二常数与积分区域D的边界至多交于两点，则 厶必可表示为r,v : r 三 r2v，： v :-则有Pr2阿f x, y dxdy 二 d . f r cos, r sin rdr D:r1 I (5)那么类似地，若xy平面上的圆r二常数与积分区域d的边界至多交于两点，则211 f x, y dxdy rdr f rcosrs in d Dr1二必可表示为(6)(2)如果原点O为积分区域D的内点，D的边界的极坐标方程为r=r二，则厶可表示成则有2 応r(9ff f (x

10、, y dxdy = J0 d日* (r cos日,r sin 日drD(7)(3)如果原点O在积分区域D的边界上，贝U丄为那么0 _ r _ r V , :- _: -: r JJ f (x, y pxdy = J dTf (r cos日,r si n8ydr(8)D-例7计算ff 1 d22，其中D为圆域：x2+yGld 1 -x - y分析观察到积分区域为圆域，被积函数的形式为f(x2 y2)，且原点为D的内点，故可采用极坐标变换T: xzco*0，”1，可以达到简化被积函数的目的.y =rsin日,0兰日兰2兀解作变换则有2 二 1=0叽_1_、1 - r2rdr2 二 小2 二.例8

11、计算二重积分！ I ydxdy，其中D是由直线x = -2, y = 0, y = 2，D以及曲线x = - 2y - y所围成而积分区域D与D1据极坐标变换简化区域，D1为半圆区2 2.ydxdy 二严 0dy =4，D D1又精彩文档故原式Di: 0 三 r M2sin v,-211 ydxdy =D1JT2sin 0Id rsinrdr21_2cos24Z2 二I2 丿22.4利用广义极坐标变换计算一些二重积分与极坐标类似，作如下广义极坐标变换:x = ar cosT,0 兰 r 兰旳T ： y 二 brsin0 _ 2二并且雅可比行列式J u,v = abr同样有iif x, y dx

12、dy 二 f arcosv,brs in v abrdrd vD(9)d；22y2 dxdy，其中 D= $(x,y：O兰 y 兰 bJ1_2,0 一 x 一 a分析根据给出被积函数和积分区域的形式,我们可以确定采用广义极坐标变换x 二 ar cos,0 _ r _1T:.二，可以达到简化积分区域和被积函数的目的.|y =brsin日,0兰日乞一I.2解作广义极坐标变换x = ar cos 入0 - rT:| y = br sin B,0 兰日-1二，J u,v = abr ydxdy =2 x ydxdy =2 dy DDix2ydxyO1132y1 y22dy=151 y252_,20 二

13、扁 4 2-1 .3.2分段函数和带绝对值函数的二重积分计算分段函数：首先画出被被积函数和积分区域的图形，然后根据分段函数表达式将积分区域划分成 若干个子区域，是在每个子区域上的被积函数的表达式是唯一的，最后再由性质加以讨论.被积函数带绝对值时，首先去掉绝对值号，同样也将积分区域划分成若干个子区域，使每个子区 域上被积函数的取值不变号.例 11 求.x2 y2 -4 dxdy， 其中D为x2 y2 一9围成的区域.D分析 被积函数表达式含有绝对值，为了去掉绝对值符号，应将积分区域分成使得x2 y2 -4一0及X2 y2 -4乞0的两部分，在两部分上分别积分后，再相加.解 为去绝对值号，将D分成若干个子区域，即2 2 2 2D1 : x y 4D2: ： x y 0, y 00,其他12b a 0 .所示三个区域,根 积分,再利用二重例 12 求 i if x, y dxdy,其中Dx y 二 a,x y 二