材料力学附录I截面的几何性质习题解精编版

1、最新资料推荐附录 I 截面的几何性质 习题解习题 I-1 试求图示各截面的阴影线面积对 x 轴的静积。(a)解： Sx A yc (40 20) (20 10) 24000(mm3 )(b)65解： Sx A yc (20 65)42250(mm3 )(c)解： Sx A yc (100 20) (150 10) 280000(mm3)(d)解： Sx A yc (100 40) (150 20) 520000(mm3 )习题 I-2解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。dA (xd ) dx ；微分面积的纵坐标： y xsin ；微分面积对 x轴的静矩为：dSx dA y (x

2、d dx) y xd dx xsinx2 sin dxd半圆对 x 轴的静矩为：最新资料推荐r2Sxx2dx sin d 3r0 cos 033r 2r (cos cos 0)33因为 Sx A yc ，所以32r 3 1322r ycyc4r3习题 I-3 试确定图示各图形的形心位置。(a) 解：习题 I-3(a): 求门形截面的形心位置矩形LiBiAiYciAiYciYc离顶边上4002080001601280000左15020300075225000右15020300075225000140001730000123.646.4Ai=Li*BiYc= AiYci/ Ai(b) 解：习题 I

3、-3(b): 求 L 形截面的形心位置矩形LiBiAiYciAiYciYcXciAiXciXc下1601016005800080128000左90109005549500545002500575002313250053Ai=Li*BiYc= AiYci/ AiXc= AiXci/ Ai(c)最新资料推荐解：习题 I-3(c): 求槽形与 L 形组合截面的形心位置型钢号Ai(cm2 )Yci(cm )AiYci(cm3 )Yc(cm)Xci(cm )AiXci(cm3 )Xc(cm)槽钢 2032.83710328.37-1.95-64.03等边角钢80*1015.1262.3535.5462.

4、3535.54647.963363.927.6-28.49-0.6Yc= AiYci/ AiXc=AiXci/ Ai习题 I-4 试求图示四分之一圆形截面对于 x轴和 y轴的惯性矩 Ix、 I y和惯性积 I 解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。dA (xd ) dx ；微分面积的纵坐标： y xsin ；微分面积对 x轴的惯性矩为：dIx y2dA y2(xd dx) x2sin 2 xd dx x3sin2 dxd 四分之一圆对 x 轴的惯性矩为：r x3dx 0 /204si n2 d x 0 /21 cos2 d02(2 )r 1 /2d 1 /2cos2 d4 2 0

5、 2 04r8 2 12sin 2 0/22216由圆的对称性可知，四分之一圆对y 轴的惯性矩为：最新资料推荐4 r16微分面积对 x轴、 y 轴的惯性积为：I xyr r 2 x2 xdx4x440r48dI xy xydA22 r 12 2 1 r xydx 0 x(r 2 x2)dx0 2 2 2 习 题 I-5 图示直径为 d 200mm 的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为 20mm的弓形，试用积分法求余下阴影部分对其对称轴x 的惯性矩。解：圆的方程为：x2 y2 r 2如图，作两条平行 x轴的、相距为 dy 线段，截圆构成微分面积，微分面积为：dA 2 r 2 y2dy切去 2

6、 之后，剩下部分对 x 轴的惯性矩为：Ixr sin 2y2 r 2 y2dyr sin2 y(2y2 r 2) r2 y284ryarcsin8r sinr sin4r2(sin 4 )44r(4 sin4 )82 2 2 x12 (100 20) 2 10022x12 3600最新资料推荐x1 60(mm)100 20 4 tan60 3 40410048arctan53.130 0.927(rad )(4 0.927 sin212.520 ) 3.963 107(mm4)习题 I-6 试求图示正方形对其对角线的惯性矩。 解：正方形四条边的直线方程如图所示（设水平坐标轴为 z ，竖坐标轴为

7、 y ）。2I zy2dA02adz2z 2a2y2dy 022az 2adz z 22aza2y2dydz0z 22ay2dy 0dz0z 22ay2dy22a2dz222adz02 0 2 a(z2a22a2a)3d(z2 a)2 a( z 22 2 0322 a)3d( z 22 a)(z 22 a)4( z 22 a)42a22aa44a43 1616a412最新资料推荐4 故正方形对其的对角线的惯性矩为： I z a 。z 12习题 I-7 试分别求图示环形和箱形截面对其对称轴x 的惯性矩。(a)11150解： I xD4(1 2) 3.14 17541 ( )4 21177368(

8、mm4)x 6464175(b)11I x 150 210390 1503 90449999(mm4 )x 12 12 习题 I-8 试求图示三角形截面对通过顶点 A 并平行于底边 BC的 轴的惯性矩。解：已知三角形截面对以 BC边为轴的惯性矩是，利用平行轴定理， 可求得截面对形心轴 的惯性矩所以再次应用平行轴定理，得最新资料推荐 习题 I-9 试求图示 的半圆形截面对于轴 的惯性矩，其中轴 与半圆形的底边 平行，相距 1 m 。解：已知半圆形截面对其底边的惯性矩是，用平行轴定理得截面对形心轴的惯性矩再用平行轴定理，得截面对轴的惯性矩 习题 I-10 试求图示组合截面对于形心轴 x 的惯性矩。

9、的等边三角形。该等的距离是解： 由于三圆直径相等，并两两相切。它们的圆心构成一个边长为 边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴最新资料推荐面一个圆的圆心到 轴的距离是 2 3d 。6利用平行轴定理，得组合截面对 轴的惯性矩如下： 习题 I-11 试求图示各组合截面对其对称轴的惯性矩。解：（ a）22a 号工字钢对其对称轴的惯性矩是。利用平行轴定理得组合截面对轴 的惯性矩128.4I z 3.4 107 ( 120 103 1152 120 10) 2 65760000 ( mm4 ) z 12（b）等边角钢的截面积是 ，其形心距外边缘的距离是mm，求得组合截面对轴的惯

10、性矩如下：8最新资料推荐 习题 I-12 试求习题 I-3a 图所示截面对其水平形心轴 的惯性矩。关于形心位置，可利用该题的结果。解： 形心轴 位置及几何尺寸如图所示。惯性矩 计算如下： 习题 I-12 试求图示各截面对其形心轴 x 的惯性矩。习题 I-13(a)图形bihiAiYciAiYciYcaiIxc4 Ix(mm )上矩形100010010000065065000000225833333335145833333下矩形3006001800003005400000012554000000008212500000全图28000011900000042513358333333习题 I-13(

11、 b)图形bihiAiYciAiYciYcaiIxcIx(mm4)上图 (3)2515037502751031250148703125089601489中图 (2)20015030000125375000025625000056328044下图(1)10050500025125000102104166752667577全图3875049062501271985971109最新资料推荐 习题 I-14 在直径 D 8a 圆截面中，开了一个 对其水平形心轴和竖直轴形心的惯性矩 I x和 I y xy2a 4a 的矩形孔，如图所示。试求截面解：先求形心主轴 的位置截面图形对形心轴的静矩（面积矩）等于

12、零：y 轴向下为正）组合图形对过圆心轴x1 的惯性矩）10习题 I-13(c)图 形bihirAiYciAiYciYcIxc(mm4)ai4 Ix(mm )矩形2140115024610005751415075000271222708333159333213698275半 圆790-980333335-32869266742750202791399198820222116全图14806671086382333734134393476159半圆：yc4r /3半圆： I xcr4/8 8r 4/9习题 I-13(d)图 形bihiAiYciAiYciYcaiIxciIx(mm4)从下往上2201

13、635208281603747509349243861318014252023579603594116032482128016674107843673957728040824269940824269922014308071121898803295030733343258744594005722.52893613341270344643677352390991273413822023302914习题 I-14b(a)h(a)r(a)Ai(a2)Yci(a)AiYciYc(a)IxcaiIx(a4)矩 形42-8.001-82.6671.189314.0圆450.2700201.062 -0.18

14、93 202.942.27-8-0.1893188.9（组合图形对形心轴x 的惯性矩）最新资料推荐 习题 I-15 正方形截面中开了一个直径为 d 100mm 的半圆形孔， 如图所示。 试确定截 面的形心位置，并计算对水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩。解：习题 I-15图形bihirAiYciAiYciYcIxciaiIx正方形2002004000010040000001333333332133546801半圆50-392779-309365685977242860346全图3607336906351021306864554ryc 1003r4 8r 4I xc 8 9Ix I xc a2A形心

15、位置： X（ 0， 102）。对水平形心轴的惯性矩： I x 130686455 mm 4 。对竖直形心轴的惯性矩：11最新资料推荐a4 r 4 200412 8 123.14159 5048130878966(mm4)习题 I-15图形arIy ( mm4)正方形200133333333.3半圆502454367全arIy128习题 I-16 图示由两个 20a号槽钢组成的组合截面， 若欲使截面对两对称轴的惯性矩 I x 和 I y 相等，则两槽钢的间距 a 应为多少？解： 20a 号槽钢截面对其自身的形心轴；横截面积为。、 的惯性矩是 ，；槽钢背到其形心轴 的距离

16、是根据惯性矩定义 和平行轴定理，组合截面对 ， 轴的惯性矩分别是等式两边同除以 2，然后代入数据，得12最新资料推荐于是所以，两槽钢相距 习题 I-17试求图示截面的惯性积xy解：设矩形的宽为 b高为 h，形心主惯性轴为 xc0yc ，则由平行移轴公式得：h b 1 2 2I xy I xCyC abA 0 ( ) ( ) bhb2h2C C 2 2 41 故，矩形截面对其底边与左边所构成的坐标系的惯性积为： I xy 1b2h2 xy 4习题 I-17图形bhIxy左矩形10100250000下矩形 :10010250000重复加的矩形10102500全图上图 +下图 - 重复图 =4975

17、00习题 I-18 图示截面由两个 125mm 125mm 10mm的等边角钢及缀板(图中虚线)组合而成。试求该截面的最大惯性矩 I m ax和最小惯性矩 I max。 解 ：从图中可知，该截面的形心 C 位于两缀板共同的形心上。 过 C 点作水平线， 向右为 xc 轴正向； 过 C 点，垂直于 xc轴的13最新资料推荐直线为 yc轴向上为正。把 xccyc坐标绕 C 点逆时针转 450 后所得到的坐标系是截面的的两条对称轴， 也就是该截面的形心主惯性轴 x0,y0。主惯性矩查型钢表得：12.5 号等边角钢的参数如下：I minI y0Ix0I max ，2 4 4A 24.373cm ， I

18、 y0 I x0 149.46cm ， I x0 I y0 573.89cm ， z0 3.45cm角钢形心主惯性轴与截面形心主惯性轴之间的距离：a 2z01 2(3.45 0.5) 3.95 2cm2Imax I x 2 149.46 (3.95 2)2 24.373 1820( cm4 )I min I y0 2 573.89 1148(cm )注：缀板用虚线画出，表示其面积可忽略不计)习题 I-19 试求图示正方形截面的惯性积I x1y1和惯性矩 Ix1 ， I y1并作出比较。解： I xa412Iy12I xyIxx1x,y 为形心主惯性轴）I I I2 y x 2 y cos2 I

19、 xy sin 244aa412 12 0 0 a42 1214最新资料推荐a4 a4Iy1x y x y cos2 I xy sin 2 12 2 12 0 0 1a2x1y1Ix Iy sin22I xy cos2000结论：1、过正方形形心的一对相互垂直的轴，它们的惯性矩相等，它们的惯性积为零；2、过正方形形心的一对相互垂直的轴，绕形心转动之后，惯性矩、惯性积保持不变。习题 I-20 确定图示截面的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。(a)解： 截面的形心主惯性轴与竖直矩形的形心主惯性轴重合。1 3 400 40 2 1 3 4Ix 200 403 ()2 200 40 2 20 (4

20、00 2 40)3 575146666.5(mm4 )Iy 1 40 2003 (200 20)2 200 40 2 1 320 203 183146666.6(mm4 ) 12 2 2 12Ixy (400 40) (200 20) 200 40 2259200000(mm4 )tan2 02Ixy( 2) ( 259200000)575146666.5 181346666.61.31642 0 arctan1.3164 52 0470 26024IxIyIxy575146666.5183146666.6-259200000Ix0=704109187575146666.5183146666.6-259200000Iy0=5418414615最新资料推荐x0(Ix I y)2 4Ixyy0(b)解：以 20号槽钢（图 I）的下边缘为 x 轴，左边缘为 y轴，建立坐标系。 8号槽钢编号 为图 II 。则组合截面的形心计算如下：习题 I-20(b)长度单位 :cm图形AiXciYciA