微分在近似计算与误差估计中的应用

1、微分在近似计算与误差估计中的应用一、预备知识1利用一元函数的微分进行近似计算和误差估计若一元函数y = f(x)在点xo可微，则Ay=fJ (x0)Ax+ O(Ax)f即f(x0 +Ax)-f(x0) = f? (ko)Ax+O(Ax).当|A x|很小时，有f(x o+ A x) f(Xo) f (xo) A x由dy|x=Ko=f?则要计算f(x)的值，可找一个邻近于x的Xo,使f(Xo)与f (xo)易于计算，然后用x代换式中的Xo+A x，求得f(x)的近似值为f(Xo) + f (xo) Ax，其中A x=x xo.2利用全微分进行近似计算与误差估计若二元函数z = f(x , y)

2、在点(Xo, yo)可微，则A z= dz+ o( p )=f x(xo, yo) A x + f y(xo, yo) A y + 0( p)其中当P充分小时，有A z dz = f x(Xo, yo)A x + f y(Xo, yo)A yf(xo+ A x, yo+ A y)f(Xo, yo) + f x(xo, yo) A x+ f x(xo, yo) A y(3)若三元函数u = f(x , y, z)在点(Xo, yo, z)可微，则A u du = f x(xo, yo, Zo) A x + f y(xo, yo, Z0)A y + f x(Xo, yo, Zo) A z或f(Xo

3、+ A x, yo+ A y, z+A z)f(x, y, z) +f 工知 为，引)筈+ f y(x0( y0(孔)Ay+r 仗q,兀，30)az(4)3.绝对误差、相对误差如果某个量的精确值为儿它的近似值为亦称幌-綁是点绝对误差，并称 生J是乱的相对误差.在实际工作中，某个量的精确值往往是无法知道的，于是绝对误差和相对误差也就无法求得.但是根据测量仪器的精度等因素，有时能够确定误差在某一个范围内，如果 某个量的精确值是 A，测得它的近似值是 a,又知道它的误差不超过 3 A，即|A a|w 3 A称y测量昨对误细并称菁是测量址的相对误差限.二、应用例题例1求sin29 的近似值.解sin

4、29是函数f(x) = sinxSx= 29fl吋的值.而sin 30易于计第 则令盟 兀= 30 = y , x = x0 +As = 2? , Ax= - f p 0.01 乃(弧度L 由公式(1)，有例2证明：近似公式利用上面公式，则例3为了计算出球的体积准确到 超过多少？1 %,问度量球半径R时，所产生的相对误差应不7T511129 = an( - 00175)6K兀a sin + (cos )( 0.0175661 43=-X 0 01752 2V?=苕 + 1*2 += 2.033,3* 237100=圉-282 - 厂妄=1.938,解设f仗）二存，由公式（从有J1+舒1+命或冶

5、+宀+為=2 -1.732X0.01752 2=-0.0151 0.485.2其中kl与誹目比时，XI为高阶穷小，并用此公式近似计算松与;W.4解球体积V二贝IJ从而VVHR3=3|1300Q OR%,所以度量球半径R时，所产生的相对误差不得超过 0.33%.例4证明：根据正切对数表所求得的角度，比用具有同样多位小数正弦对数表求 得的角度更为精确.证明 设 y1(x) = Intanx, y2(x) = In si nx，则16】鬥切H .tan XjjQ兀鬥帆IG丄rii讣 tan Hq若对数表具有n位，则sec2 x0tan|引匾 O.5Xio-ft|Ak2|0.5X 10nfIX0.5X

6、W-11 sec Xq与|Ax2|tanxo|XO.5XlO-n,于是|AxJ|AXj|.一般来说，根据正切对数表所求得的角度，比用具有同样多位小数的正弦对数表求 得的角度更为精确.例5求1.083.96的近似值.解 设 f(x , y) = xy，令 Xo= 1, yo= 4, A x= 0.08, A y = 0.04，由公式(3), 有1.083.96= f(x 0+ A x, y+A y)f(1 , 4) + f x(1 , 4)X 0.08 + f y(1, 4) X ( 0.04)=1+ 4X 0.08+ 1X ln1 X (- 0.04)=1+ 0.32= 1.32例6现测得某三

7、角形两边及其夹角分别为a= 12.50, b= 8.30, C = 30.测量a,b的误差为土 0.01, C的误差为土 0.1，求用公式计算三角形面积时，所产生的绝对误差与相对误差.解依题意测量a, b, C绝对误差限分别为|A a= 0.01, |A b|= o.oi, |Aq=o,r1800由公式，有|ASMdS|=|_Aa+_Ab+_AC|f|A|f| + |g|AC|=HbsiaC|Aa|+ HaanC | |b| + |abcosC|Aqww将各数据代入上式得S的绝对误差为|A S| 0.13 及碍呗加皿如从而，S的相对误差为AS0.13254求方程的近似解，可分两步进行：第一步是

8、确定根的大致范围，即确定一个区间a, b,使所求的根是位于这个区间内的唯一实根，称为根的隔离，并称此区间a, b为隔离区间.第二步是以根的隔离区间的端点作为根的初始近似值，逐步提高根的近似值的精确 度，直至得到满足精确度要求的近似解为止.1二分法设函数f(x)在区间a, b上连续，f(a) f(b) v0,且方程f(x) = 0在(a, b)内仅有 个实根E，于是a, b即为这个根的一个隔离区间.不妨设f(a)0,将闭区间鬲切二等分分点是 若F(学尸O则1=-即为所求的根.若耳)工山当f()o时，则函数f在闭区间血学的两个端点的a+ Ua + k函数值的符号相反I当f(斗)0时，则函数谑)在闭

9、区间耳，b的两个端点的MW函数值的符号相反.于是，两个闭区间図 孚与孚，匕中必有一个使函数f在两个端点的函数值的符号相反，将此闭区间表为%有f(a1)f(b1)0,且巧febz 再将小唧二等分，若f玉尹尸,则“今即为所求的根. 若F(咨5)弄0,重复上述做法，于是，两个闭区间血，岁1与生学、%中必有一个使國数碗)在两个端点的函数值的符号相反，将此闭区间表为g bj, 有fCa3)f(b2)0,且習 E根据判别式(-)a-AC= 1F - 3X0 9= -1490t故函数锻)在R上严格递增，方程f(x) = 0仅有一个实根.由 f(0) = 1.4v0 与 f(1) = 1.60 知，方程 f(

10、x) = 0 的根在0, 1内，取 a = 0, b= 1 , 则0 , 1即是一个隔离区间.经计算，有E 1 = 0.5, f( E 1) = 0.55v 0,取 a1 = 0.5, b1 =1 ;E 2= 0.75, f( E 2) = 0.320，取 a2= 0.5, b2 = 0.75;E 3= 0.625, f( E 3) = 0.16v0,取 a3= 0.625, b3= 0.75;E 4= 0.687, f( E 4) = 0.0620,取 a4 = 0.625, b4 = 0.687;E 5=0.656,f(E5) = 0.054v0，取as= 0.656 ,b5=0.687;

11、E 6=0.672 ,f(E6) = 0.0050,取 a6 = 0.656 , b = 0.672;E 7=0.664 ,f(E7) = 0.025V0,取az= 0.664 ,b7=0.672;E 8=0.668 ,f(E8) = 0.010V0,取a8= 0.668 ,b$=0.672;E 9= 0.672 , f( E 9) = 0.002V0,取 a9= 0.670 , b9= 0.672;于是，0.670 v E v 0.671.要用0.670作为根的不足近似值，或用0.671作为根过剩近似值，其误差都小于10-3.设f(x)在a, b上存在二阶导数，f(a) f(b) v 0,且

12、f (x)与f (x)在a, b上保持定 号，贝【J方程f(x) = 0在(a, b)内有且仅有一个实根E . a, b即为根的一个隔离区间，由f (x)与f(x)的正、负号之间有不同的组合，曲线y=f(x)在a, b上图形只有如图所示的四种不同的情形.2.弦位法如图.将伍,切上的曲线弧G的两端联成弦AB ,用弦AB与盘轴的交点横坐标作为方程根的近似值，这种方法称为弦位法.如果f (x)与f (x)同号，令x0= a, 以点A(x, f(x。)为已知点的弦AB方程为令y = 0,求得这弦与x轴的交点横坐标X1是如果f (x)与f(X)异号，令X0= b,用同样方法，求得弦与 是x轴的交点横坐标

13、X1 Ca) )0f GO f1 ()a(b) f Ca)0J f (b) 0 r(wo, e*ooE；(A) (a) 0 (b)03 0, f* 6c) 0xc - a耳長严)由图可见，弦AB与x轴的交点的横坐标xi比a(情形(a), (d)或比b(情形(b), (c)更接近方程根E .用同样方法，从新区间xi, b或a, xi)出发，可得比xi更接近E的X2，如此继续下去，一般地，从区间 xn-1, b或a, xn-1出发，得根的近似值为b 一盟皆iJ jff(g)F(gJ或J】 FgJ-吃)2)(4)当nf*时，xnf E，其中满足 近似根数列，有avx1 vx2vv xn E ,满足(

14、4)式的近似根数列，有E v v xn vxn-1v v X2 xi v b.在区间xn , E 或E , xn上应用拉格朗日定理，有f(xn) = f(xn) - f( E ) = (xn - E )f (c)(在 xn 与 E 构成区间内)i殳rmn |f; (x) |3 由mC| fy (c) |,则xbm这样，由（5）式就可判定近似根xn与E近似程度.例8用弦切法求方程x3 2x2 4x 7= 0的实根的近似值，精确到10-2 .解设-4x-7,由f(3)-100,且VxE (3, 4)有f (x) = 3x3 4x 4 0,则方程F仗）=0在3, 4内仅有一个实根，3, 4即是一个隔

15、离区间且m二min Ify3 x 4XVxE （3, 4）P有广0 = 6盟-40,令矶二玉b = 4.由式，有七厂諾為叭)4 3=3_ f(4)-f(3)ft353.52令xi = 3.52，由式，有同法可得=3.52 一3.61x3 = 3.614 一 3.52f(4f-f(3.52)f(3.52)4-3.61f(4)-f(361)f(3.61)363.显然 f(x)v 0, i = 1, 2, 3,所以 x0vX! vx2v x3 v E .由误差估计公式，有0.041TT0 0043630 0故函数F(刃在R上严格递増，又hm f(对二+8, 0)=-2,所以方程f(x)= 0 0,故

16、唯一正实根在区间(2, 2.1)内，且VxN 2.1,有f (x) = 0.1sinx 0与f (x)同号，令X1= 2,由式，有-0.0904X(21- 2)0.0904 X 0 0137= 2 + 0.0868= 2 0868.从而 哄)=0.0868 0.1 sin 2.0868p 0.0002V 0Xj = 2.0868 - 0.0002X(2.1- 2.0868)0 0002+ 0 0137=2.0870从而f(2.087) = 0.0870- 0.1 sin 2.087=0.000030,于是，方程的根 E (2.0868, 2.0870).其误差不超过103 切线法如图，用曲线弧

17、一端的切线来代替曲线弧，从而求出方程实根的近似值，这种方法 称为切线法在曲线弧的端点纵坐标与f (x)同号的曲线端点处作曲线的切线，如图,情形(a), (d)作点B处(情形(b), (c)作点A处)的曲线切线.令x= b(x= a),则点B(xo, f(Xo)(A(xo, f(xo)处曲线切线方程为y f(xo) = f (xo)(x xo)令y = o,求得这切线与x轴交点横坐标Xi是由图可见，端点B处(A处)的曲线切线与x轴交点的横坐标xi比b(情形(a), (d)或 a(情形(b), (c)更接近方程根E .(xn -1f(x n-1)作切线，得根的近似值为-31o .再在点(xi, f(xi)作切线，可得根的近似值X2，如此继续下去，一般地，在点例10用切线法求方程x3 + i.ix2+ o.9x 1.4 = o的实根的近似值，精确到解+ llx3 + 0.9x- 14,由例7知0, 1)是根的一个隔离区间* D 1,有f (x) = 3x2 + 2.2x + o.9 of (x) = 6x+ 2.2o.由f(o) v o, f(1) o，则f (x)与f(