高中数学抛物线训练题

1、8抛物线训练题a 级保大分专练1(2018永州三模)已知抛物线 ypx2(其中 p 为常数)过点 a(1,3)，则抛物线的焦点到准线 的距离等于( )9a21c183b21d6解析：选 d 由抛物线 ypx2(其中 p 为常数)过点 a(1,3)，可得 p3，则抛物线的标准方程 1 1为 x2 y，则抛物线的焦点到准线的距离等于 .故选 d.3 62过点 p(2,3)的抛物线的标准方程是( )9 4ay2 x 或 x2 y2 39 4by2 x 或 x2 y2 39 4cy2 x 或 x2 y2 39 4dy2 x 或 x2 y2 39 4解析：选 a 设抛物线的标准方程为 y2kx 或 x2

2、my，代入点 p(2,3)，解得 k ，m ，2 39 4所以 y2 x 或 x2 y.2 33(2019龙岩质检)若直线 ab 与抛物线 y24x 交于 a，b 两点，且 abx 轴，|ab|4 2， 则抛物线的焦点到直线 ab 的距离为( )a1c3b2d5解析：选 a 由|ab|4 2及 abx 轴，不妨设点 a 的纵坐标为 2 2，代入 y24x 得点 a 的横 坐标为 2，从而直线 ab 的方程为 x2.又 y24x 的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线 ab 的 距离为 211，故选 a.x24(2018齐齐哈尔八中三模)已知抛物线 c：y 的焦点为 f，a(x ，y )是

3、c 上一点，且|af|0 02y ，则 x ( )0 0a2c4b2d4101 22a fnfnx2解析：选 d 由 y ，得抛物线的准线为 y2，由抛物线的几何意义可知，|af|2y 28y ，得 y 2，所以 x 4，故选 d.0 0 05(2019湖北五校联考)直线 l 过抛物线 y22px(p0)的焦点，且与该抛物线交于 a，b 两点，若线段 ab 的长是 8，ab 的中点到 y 轴的距离是 2，则此抛物线的方程是( )ay212x cy26xby28x dy24x解析：选 b 设 a(x ，y )，b(x ，y )，根据抛物线的定义可知|ab|(x x )p8.又 ab1 1 2 2

4、 1 2x x的中点到 y 轴的距离为 2， 2，x x 4，p4，所求抛物线的方程为 y21 28x.故选 b.6已知点 a(0,2)，抛物线 c ：y2ax(a0)的焦点为 f，射线 fa 与抛物线 c 相交于点 m，与1其准线相交于点 n.若|fm|mn|1 5，则 a 的值为( )11a b 42c 1d 4解析：选 d 依题意，点 f 的坐标为，04 ，设点 m 在准线上的射影为k，由抛物线的定义知|mf|mk|，|km|mn|1 5，则|kn|km|02 8 |kn| 8k ，k 2， 2，解得 a4.a a |km| a047抛物线 x210y 的焦点在直线 2mxmy10 上，

5、则 m_. 5 2解析：抛物线的焦点为0， ，代入直线方程 2mxmy10，可得 m . 2 52答案：52 1.8(2019沈阳质检)已知正三角形 aob(o 为坐标原点)的顶点 a，b 在抛物线 y23x 上，则aob 的边长是_ 3 1 解析：如图，设aob 的边长为 a，则 a a， a，点 a 在抛物2 2 线 y21 33x 上， a23 a，a6 3.4 2答案：6 3x29(2018广州一模)已知抛物线 y22px(p0)的焦点 f 与双曲线 y21 的右焦点重合，3若 a 为抛物线在第一象限上的一点，且|af|3，则直线 af 的斜率为_2a34x2解析：双曲线 y21 的右

6、焦点为(2,0)，抛物线方程为 y28x，|af|3，x 23，3得 x 1，代入抛物线方程可得 y 2 2.点 a 在第一象限，a(1,2 2)，a a2 2直线 af 的斜率为 2 2.12答案：2 210已知抛物线 y24x，过焦点 f 的直线与抛物线交于 a，b 两点，过 a，b 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为 c，d，则|ac|bd|的最小值为_解析：由题意知 f(1,0)，|ac|bd|af|fb|2|ab|2，即|ac|bd|取得最小值 时当且仅当|ab|取得最小值依抛物线定义知当|ab|为通径，即|ab|2p4 时为最小值，所以|ac| |bd|的最小值为 2.答案：211已

7、知抛物线 y22px(p0)的焦点为 f，a 是抛物线上横坐标为 4，且位于 x 轴上方的点，a 到抛物线准线的距离等于 5，过 a 作 ab 垂直于 y 轴，垂足为 b，ob 的中点为 m.(1) 求抛物线的方程；(2) 若过 m 作 mnfa，垂足为 n，求点 n 的坐标p解：(1)抛物线 y22px(p0)的准线为 x ，2p于是 4 5，p2.2抛物线方程为 y24x.(2)点 a 的坐标是(4,4)，由题意得 b(0,4)，m(0,2)4又f(1,0)，k ，fa3mnfa，k .mn4fa 的方程为 y (x1)，33mn 的方程为 y2 x，48 4联立，解得 x ，y ，5 5

8、8 4点 n 的坐标为， .5 512已知抛物线 c：y22px(p0)的焦点为 f，抛物线 c 与直线 l ：yx 的一个交点的横坐1标为 8.31 2642p 3p (1) 求抛物线 c 的方程；(2) 不过原点的直线 l 与 l 垂直，且与抛物线交于不同的两点 a，b，若线段 ab 的中点为 p，2 1且|op|pb|，求fab 的面积解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，8)，(8)22p8，2p8，抛物线 c 的方程为 y28x.(2)直线 l 与 l 垂直，故可设直线 l ：xym，a(x ，y )，b(x ，y )，且直线 l 与 x 轴的交2 1 2 1 1 2 2 2点

9、为 m.y28x， 由xym，得 y28y8m0，6432m0，m2. y y 8，y y 8m，1 2 1 2y2y2x x 1 2m2.由题意可知 oaob，即 x x y y m28m0，1 2 1 2m8 或 m0(舍去)，直线 l ：xy8，m(8,0)21故 |fm|y y |3 fab fmb fma 1 2y y1 224y y 24 5.1 2b 级创高分自选1设抛物线 c：y22px(p0)的焦点为 f，准线为 l，mc，以 m 为圆心的圆 m 与准线 l 相切 于点 q，q 点的纵坐标为 3p，e(5,0)是圆 m 与 x 轴不同于 f 的另一个交点，则 p( )a1c3

10、解析：选 bb2d4如图，抛物线 c：y22px(p0)的焦点 f，02 ，由 q点 的 纵坐标为 3 p 知 m 点的纵坐标为 3 p ，则 m 点的横坐标 x 3p2，即m ， 3p 2 p53p 2.由题意知点 m 是线段 ef 的垂直平分线上的点， 2 2p2，解得p2.故选 b.2(2018全国卷)已知点 m(1,1)和抛物线 c：y24x，过 c 的焦点且斜率为 k 的直线与 c 交于 a，b 两点若amb90，则 k_.解析：法一：设点 a(x ，y )，b(x ，y )，1 1 2 241 22 22kkk222y214x1， 则y24x2，y2y24(x x )，1 2 1

11、2y y 4k .x x y y1 2 1 2设 ab 中点 m(x ，y )，抛物线的焦点为 f，分别过点 a，b 作准线 x1 的垂线，垂足为 a，0 0b，1 1则|mm| |ab| (|af|bf|)2 21 (|aa|bb|)2m(x ，y )为 ab 的中点，0 0m 为 ab的中点，mm平行于 x 轴，y y 2，k2.1 2法二：由题意知，抛物线的焦点坐标为 f(1,0)，设直线方程为 yk(x1)，直线方程与 y24x 联立，消去 y，得 k2x2(2k24)xk20.设 a(x ，y )，b(x ，y )，1 1 2 22k24则 x x 1，x x .1 2 1 2 k2

12、由 m(1,1)，得 am (1x 1y )，1, 1bm (1x 1y )2, 2 由amb90，得 am bm 0，(x 1)(x 1)(y 1)(y 1)0，1 2 1 2x x (x x )1y y (y y )10.1 2 1 2 1 2 1 2又 y y k(x 1)k(x 1)k2x x (x x )1，y y k(x x 2)， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22k 4 2k 4 2k4 1 1k21 1k 2 10，4 4整理得 10，解得 k2.k2 k答案：23(2019洛阳模拟)已知抛物线 c：x22py(p0)，过焦点 f 的直线交 c 于 a，b 两点，d 是 抛物线的准线 l 与 y 轴的交点(1)若 abl，且abd 的面积为 1，求抛物线的方程；5p2 1212 211 11 1 2 1an1x 11(2)设 m 为 ab 的中点，过 m 作 l 的垂线，垂足为 n.证明：直线 an 与抛物线相切 解：(1)abl，|fd|p，|ab|2p. p2，p1，abd故抛物线 c 的方程为 x22y.p(2)设直线 ab 的方程为 ykx ，2ykx ， 由得 x22kpxp20.x2