高考数学概率与统计部分知识点梳理

1、高考复习专题之：概率与统计一、概率：随机事件 a 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.随机事件a的概率0 p ( a) 1，其中当p ( a) =1时称为必然事件；当p ( a) =0时称为不可能事件 p(a)=0；注：求随机概率的三种方法： （一）枚举法例 1 如图 1 所示，有一电路ab是由图示的开关控制，闭合 a，b，c，d，e 五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路则使电路形成通路的概率是 分析：要计算使电路形成通路的概率，列举出闭合五个开关中的任意两个可能出现的结果总数，从中找出能使电路形成通路的结果数，根据概率的意义计算即可。解：闭合五个开关中的两个，可能出现的结果数

2、有 10 种，分别是 ab、ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、de，其中能形成通路的有 6 种，所以 p(通路)=6 3=10 5评注:枚举法是求概率的一种重要方法,这种方法一般应用于可能出现的结果比较少的事件的概率计算.（二）树形图法例 2 小刚和小明两位同学玩一种游戏游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负， 其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又 如，两人同时出象牌，则两人平局如果用 a、b、c 分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用 a 、b 、c 分别表示小明1 1 1的象、虎、鼠三张牌，那么一

3、次出牌小刚胜小明的概率是多少？分析：为了清楚地看出小亮胜小刚的概率，可用树状图列出所有可能出现的结果，并从中找出小刚胜小明可能出现的结果数。解：画树状图如图树状图。由树状图（树形图）或列表可知，可能出现的结果有 9 种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有 3 种所以 p（一次出牌小刚胜小明）=13点评:当一事件要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通过画树形图的方法来计算概率（三）列表法例 3 将图中的三张扑克牌背面朝上放在桌面上，从中随机摸出两张，并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位 数请你用画树形（状）图或列表的方法求：（1）组成的两位数是偶数的概率

4、；（2）组成的两位数是 6 的倍数 的概率分析：本题可通过列表的方法，列出所有可能组成的两位数的可能情况，然后再找出组成的两位数是偶数的可能 情况和组成两位数- 1 - 是 6 的倍数的可能情况。解：列的表格如下：根据表格可得两位数有：23，24，32，34，42，43所以（1）两位数是偶数的概率为231（2）两位数是 6 的倍数的概率为 3点评：当一事件要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可 能的结果，通过画树形图的方法来计算概率2.等可能事件的概率（古典概率）： p(a)=mn。3、互斥事件：（a、b 互斥，即事件 a、b 不可能同时发生）。计算公式：p(a+b)p(a)+p(

5、b)。 4、对立事件：（a、b 对立，即事件 a、b 不可能同时发生，但 a、b 中必然有一个发生）。计算公式是：p（a）+ p(b)；p(a)=1p(a)；5、独立事件：（事件 a、b 的发生相互独立，互不影响）p(ab)p(a) p(b) 。 提醒：（1）如果事件 a、b 独立，那么事件 a 与 b 、 a 与 b 及事件 a 与 b 也都是独立事件；（2）如果事件 a、b 相互独立，那么事件 a、b 至少有一个不发 生的概率是 1p（a b）1p(a)p(b)；（3）如果事件 a、b 相互独立，那么 事件 a、b 至少有一个发生的概率是 1p（ a b ）1p( a )p( b )。6、

6、独立事件重复试验：事件 a 在 n 次独立重复试验中恰好发生了 k 次的概率p ( k ) =c k p k (1 -p ) n -k n n(是二项展开式(1-p) +pn 的第 k+1 项)，其中p为在一次独立重复试验中事件 a 发生的概率。提醒：（1）探求一个事件发生的概率，关键是分清事件的性质。在求解过程中常应用等价转化思想和分解(分类 或分步)转化思想处理，把所求的事件：转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互 斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在 n 次实验中恰有 k 次发生的概率，但要注意公式的使用

7、条件。（2）事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之， 事件对立是事件互斥的充分非必要条件；（3）概率问题的解题规范：先设事件 a=“”， b=“”；列 式计算；作答。二、随机变量.1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：试验可以在相同的情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰 好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若 是一个随机变量，a，b 是常数.则 h=ax+b 也

8、是一个随机变量.一般地，若 是随机变量， f ( x) 连续函数或单调函数，则 f (x) 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量 可能取的值为： x , x , l , x , l1 2 i是取每一个值 x (i =1,2,1l) 的概率 p (x=x ) =p ，则表称为随机变量 的概率分布，简称的分布列.i ixx1x2xi- 2 -npp1p2pi有性质： p 0, i =1,2, l ； p +p +l+p +l =1 .1 1 2 i注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如： x0,5即 x可以取 05 之间的一

9、切数，包括整数、小数、无理数.3. 二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是： p( =k) =cknp k qn -k其中 k =0,1, l , n, q =1 -p于是得到随机变量 的概率分布如下：我们称这样的随机变量 服从二项分布，记作 xb（np），其中 n，p 为参数，并记cknpk qn -k=b(k;n p).二项分布的判断与应用.1 二项分布，实际是对 n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行 n 次独立重复，且每次试验只有两种结 果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.2 当随机变量的总体

10、很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时 可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.4. 几何分布：“x=k”表示在第 k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把 k 次试验时事件 a 发生记为 a ，k事 a 不发生记为 a , p(a ) =qk k，那么p( =k) =p(a a l a1 2k -1a )k.根据相互独立事件的概率乘法分式：p( =k) =p(a )p(a ) l p(a1 2x1k -1)p(a )k2=q k -1p ( k 3=1,2,3,l)于是得到随机变量 的概率分布列. kpqqpq 2pqk -1p我们称

11、服从几何分布，并记 g(k, p) =qk -1p ，其中 q =1 -p. k =1,2,3 l5. 超几何分布：一批产品共有 n 件，其中有 m（mn）件次品，今抽取 n(1 n n) 件，则其中的次品数 是一离散型随机变量，分布列为p( =k) =c k c n -k m n -mc nn(0 k m,0 n -k n -m).分子是从 m 件次品中取 k 件，从n-m 件正品中取 n-k 件的取法数，如果规定 m r 时 crm=0 ，则 k 的范围可以写为 k=0，1，n.超几何分布的另一种形式：一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，今抽取 n 件（1na+b），则次品数 的分布列

12、为p( =k) =c k cn-k a bc na +bk=0,1,l , n.超几何分布与二项分布的关系.设一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，不放回抽取 n 件时，其中次品数 服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数h的分布列可如下求得：把 a +b个产品编号，则抽取 n 次共有 ( a +b )n个可能结果，等可能：( =k)含c k a k b nn -k个结果，故p( =k) =c k a k b n -k n(a +b) na a=c k ( ) k (1 - ) n -k , ka +b a +b=0,1,2,l , n，即 h b( n aa +b).我们先为 k 个次品

13、选定位置，共 c k 种选法；然后每个次品位置有 a 种选法，每个正品位置有 b 种选法 可以证明：当产品总数n很大而抽取个数不多时， p( =k) p( =k) 回抽样.，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放- 3 -动越小.三、数学期望与方差.1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量 的概率分布为xx1x2xipp1p2pi则称 ex=x p +x p +l+x p +l为 的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型 1 1 2 2 n n随机变量取值的平均水平.2. 随机变量h=ax+b的数学期望： eh=e ( ax+b) =aex+b当

14、 a =0 时， e (b ) =b，即常数的数学期望就是这个常数本身.当 a =1时， e (x+b) =ex+b，即随机变量 与常数之和的期望等于 的期望与这个常数的和.当 b =0时， e ( ax) =aex，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.单点分布：ex=c 1=c其分布列为：p(x=1) =c.01两点分布： ex=0 q +1p = p，其分布列为：（p + q = 1）pqp二项分布：ex=k n! k!( n -k )!p k qn-k=np其分布列为 x.b ( n, p)几何分布： ex=1p其分布列为 x q ( k , p).（p 为发生

15、x的概率）3.方差、标准差的定义：当已知随机变量 的分布列为p (x=x ) =p ( k =1,2, l) k k时，则称dx=( x1-ex)2p1+(x2-ex)2p2+l+( xn-ex)2pn+l为的方差. 显然 dx0，故 sx= d x.sx为 的根方差或标准差.随机变量 的方差与标准差都反映了随机变量 取值的稳定与波动，集中与离散的程度. 4.方差的性质.dx越小，稳定性越高，波随机变量h=ax+b 的方差 d (h) =d ( ax+b) =a2dx.（a、b 均为常数）单点分布： dx=0 两点分布： dx=pq其分布列为 p(x=1) = p其分布列为：（p + q =

16、1）p0q1p二项分布： dx=npq几何分布： dx=qp 25. 期望与方差的关系.如果 ex和 eh都存在，则 e (xh)=exeh设 和 h是互相独立的两个随机变量，则 e (xh)=exeh,d (x+h)=dx+dh期望与方差的转化：dx=ex2-(ex)2e (x-ex) =e (x) -e ( ex)（因为 ex 为一常数） =ex-ex=0.四、正态分布.（基本不列入考试范围）- 4 -2y阴1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量 ，位于 x 轴上方， 落在任一区间 a, b )内的概率等于它与 x 轴.所围成的曲边梯形的面积直线 x =a与直线 x =b（如图阴影部分

17、）的曲线叫 的密度曲线，以其作为 图像的函数 f ( x )叫做 的密度函数，由于“ x (-,+)”是必然事件，故密度曲线与 x 轴所夹部分面积等于 1.ya by=f(x)x2. 正态分布与正态曲线：如果随机变量 的概率密度为：f ( x) =12 pse-( x -m) 2s2. （ x r,m,s为常数，且sf 0），称 服从参数为 m,s的正态分布，用 x n (m,s2)表示. f ( x )的表达式可简记为 n (m,s2)，它的密度曲线简称为正态曲线.正态分布的期望与方差：若 x n ( m,s2) 正态曲线的性质.曲线在 x 轴上方，与 x 轴不相交.，则 的期望与方差分别为

18、： ex=m,dx=s2.曲线关于直线 x =m对称.3 当 x =m时曲线处于最高点，当 x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲 线.4 当 x m时，曲线上升；当 x m时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以 x 轴为渐近线， 向 x 轴无限的靠近.5 当 m 一定时，曲线的形状由 s 确定， s 越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；s 越小，曲线越“瘦 高”，表示总体的分布越集中.3. 标准正态分布：如果随机变量 的概率函数为 j( x) =12 pe-x 22( -p x p +)，则称 服从标准正态分布. 即x n (0,1)有 j(x ) =p (xx )， j(x ) =1 -j(-x)求出，而 p（a b）的计算则是 p ( a p xb) =j(b) -j(a).注意：当标准正态分布的 f( x )的 x 取 0 时，有 f( x ) =0.5当 f( x)的 x 取大于 0 的数时，有 f( x ) f 0.5.比如f(0.5 -ms) =0.0793 p 0.5则0.5 -ms必然小于 0，如图.s正态分布与标准正态分布间的关系：若 x n (x -.常用 f ( x )表示，且有 p( x) =f(x) =j(m,s2)则 的分布函数通ax标准正态分布曲线 s =0.5 sa=0.5+s- 5