2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第一期) 专题28 解直角三角形(含解析)

1、解直角三角形一.选择题1. （2019 江苏苏州 3 分）如图，小亮为了测量校园里教学楼 ab 的高度，将测角仪 cd 竖直放置 在与教学楼水平距离为18 3 m 的地面上，若测角仪的高度为1.5 m ，测得教学楼的顶部 a 处的仰角为30o，则教学楼的高度是（）a 55.5 mb 54 mc 19.5 md 18 ma30dc【分析】考察 30ob角的三角函数值，中等偏易题目【解答】过 d 作 de ab 交 ab 于 e ， de =bc =18 3在 rtv ade 中， tan30 o =aede ae =18 3 33=18m ab =18 +1.5 =19.5 m 故选 cadc3

2、0eb2（2019 浙江嘉兴 3 分）如图，已知o 上三点 a，b，c，半径 oc1，abc30，切线 pa 交 oc 延长线于点 p，则 pa 的长为（ ）a2 b c d【分析】连接 oa，根据圆周角定理求出aop，根据切线的性质求出oap90，解直角三角形求 出 ap 即可【解答】解：连接 oa，abc30，aoc2abc60，过点 a 作o 的切线交 oc 的延长线于点 p，oap90，oaoc1，apoatan601 故选：b ，【点评】本题考查了切线的性质和圆周角定理、解直角三角形等知识点，能熟记切线的性质是解此 题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径3（2019 浙江绍兴 4

3、 分）如图 1，长、宽均为 3，高为 8 的长方体容器，放置在水平桌面上，里面 盛有水，水面高为 6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图 2 是此时的示意 图，则图 2 中水面高度为（ ）a b c d【分析】设 dex，则 ad8x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出 de，再由勾股定 理求出 cd，过点 c 作 cfbg 于 f，由cdebcf 的比例线段求得结果即可【解答】解：过点 c 作 cfbg 于 f，如图所示：设 dex，则 ad8x，根据题意得： （8x+8）33336， 解得：x4，de4，e90，由勾股定理得：cdbcedcf90， dcebcf，

4、 decbfc90， cdebcf，即cf，故选：a【点评】本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理， 由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键4 （2019 江苏泰州 10 分）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区 ac 的坡度 i 为 1：2，顶端 c 离水平地面 ab 的高度为 10m，从顶棚的 d 处看 e 处的仰角1830，竖直的立杆上 c.d 两点间 的距离为 4m，e 处到观众区底端 a 处的水平距离 af 为 3m求：（1） 观众区的水平宽度 ab；（2） 顶棚的 e 处离地面的高度 ef（sin18300.32，tanl8300.

5、33，结果精确到 0.1m）【分析】（1）根据坡度的概念计算；（2）作 cmef 于 m，dnef 于 n，根据正切的定义求出 en，结合图形计算即可 【解答】解：（1）观众区 ac 的坡度 i 为 1：2，顶端 c 离水平地面 ab 的高度为 10m， ab2bc20（m），答：观众区的水平宽度 ab 为 20m；（2）作 cmef 于 m，dnef 于 n，则四边形 mfbc.mcdn 为矩形，mfbc10，mncd4，dnmcbf23，在 end 中，tanedn ，则 endn tanedn7.59，efen+mn+mf7.59+4+1021.6（m），答：顶棚的 e 处离地面的高度

6、ef 约为 21.6m【点评】 本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、 坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键5. （2019 湖南长沙 3 分）如图，一艘轮船从位于灯塔 c 的北偏东 60方向，距离灯塔 60nmile 的 小岛 a 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 c 的南偏东 45方向上的 b 处，这时轮船 b 与小岛 a 的距离是（ ）a30nmileb60nmilec120nmiled（30+30 ）nmile【分析】过点 c 作 cdab，则在 acd 中易得 ad 的长，再在直 bcd 中求出 bd，相加可得 ab 的长

7、【解答】解：过 c 作 cdab 于 d 点，acd30，bcd45，ac60在 acd 中，cosacdcdac cosacd60，30 在 dcb 中，bcdb45， cdbd30 ，abad+bd30+30答：此时轮船所在的 b 处与灯塔 p 的距离是（30+30 故选：d）nmile【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转 化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线6. （2019 湖南长沙 3 分）如图，abc 中，abac10，tana2，beac 于点 e，d 是线段 be 上的一个动点，则 cd+bd 的最小值是（ ）2 22a2

8、b4 c5 d10【分析】如图，作 dhab 于 h，cmab 于 m由 tana2，设 aea，be2a，利用勾股定理构建方程求出 a，再证明 dhbd，推出 cd+bdcd+dh，由垂线段最短即可解决问题【解答】解：如图，作 dhab 于 h，cmab 于 mbeac，abe90，tana 2，设 aea，be2a，则有：100a +4aa 20，a2或2 （舍弃），be2a4 ，abac，beac，cmac，cmbe4 （等腰三角形两腰上的高相等） dbhabe，bhdbea，sindbh ，dhcd+bd，bdcd+dh，cd+dhcm，cd+bd4 ，cd+bd 的最小值为 4 故选

9、：b【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加 常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型10.二.填空题1. （2019 浙江金华 4 分）图 2.图 3 是某公共汽车双开门的俯视示意图，me，ef，fn 是门轴的滑动 轨道，e=f=90，两门 ab，cd 的门轴 a，b，c，d 都在滑动轨道上两门关闭时（图 2），a，d 分 别在 e，f 处，门缝忽略不计（即 b，c 重合）；两门同时开启，a，d 分别沿 em，fn 的方向匀速滑 动，带动 b，c 滑动；b 到达 e 时，c 恰好到达 f，此时两门完全开启。已知 ab=50cm，cd=4

10、0cm（1） 如图 3，当abe=30时，bc=_ cm（2） 在（1）的基础上，当 a 向 m 方向继续滑动 15cm 时，四边形 abcd 的面积为_cm2 【答案】 （1）90-45（2）2256【考点】解直角三角形的应用【解析】【解答】解：（1）ab=50cm，cd=40cm，ef=ad=ab+cd=50+40=90（cm），abe=30，cos30=be=25 ，同理可得：cf=20，bc=ef-be-cf=90-25-20 =90-45 （cm）；（ 2 ）作 agfn，连结 ad，如图，依题可得：ae=25+15=40（cm）， ab=50，be=30，又cd=40，sinabe

11、=，cosabe= ，df=32，cf=24，s =s - - - ，四边形 abcd 矩形 aefg aeb cfd adg=4090- 3040- 2432- 890，=3600-600-384-360，=2256.故答案为：90-45 ，2256.【分析】（1）根据题意求得 ef=ad=90cm，根据锐角三角函数余弦定义求得 be=25，同理可得： cf=20 ，由 bc=ef-be-cf 即可求得答案 . （ 2 ）作 ag fn，连结 ad，根据题意可得ae=25+15=40cm，由勾股定理得 be=30，由锐角三角函数正弦、余弦定义可求得 df=32，cf=24，由 s四边=s -

12、 - - ， 代入数据即可求得答案.形 abcd 矩形 aefg aeb cfd adg2.（2019 浙江宁波 4 分）如图，某海防哨所 o 发现在它的西北方向，距离哨所 400 米的 a 处有一艘 船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东 60方向的 b 处，则此时这艘船与哨所的距离 ob 约为 456 米（精确到 1 米，参考数据： 1.414， 1.732）【分析】通过解直角oac 求得 oc 的长度，然后通过解直角obc 求得 ob 的长度即可 【解答】解：如图，设线段 ab 交 y 轴于 c，在直角oac 中，acocao45，则 acocoa400 米，ocoa cos45

13、400 200 （米）在直角obc 中，cob60，oc200米，ob 400 456（米）故答案是：456【点评】考查了解直角三角形的应用方向角的问题此题是一道方向角问题，结合航海中的实际 问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想3. （2019 广东 4 分）如图，某校教学楼 ac 与实验楼 bd 的水平间距 cd=15 3米，在实验楼的顶部b 点测得教学楼顶部 a 点的仰角是 30 ，底部 c 点的俯角是 45 ，则教学楼 ac 的高度是 _米（结果保留根号）【答案】15+153【解析】ac=cdtan30+cdtan45=15+15 3 .【考点】解直角三

14、角形，特殊三角函数值4.（2019 贵州毕节 5 分）三角板是我们学习数学的好帮手将一对直角三角板如图放置，点 c 在 fd 的延长线上，点 b 在 ed 上，abcf，facb90，e45，a60，ac10，则 cd 的长度是 155 【分析】过点 b 作 bmfd 于点 m，根据题意可求出 bc 的长度，然后在efd 中可求出edf45， 进而可得出答案【解答】解：过点 b 作 bmfd 于点 m，在acb 中，acb90，a60，ac10，abc30，bc10tan6010 abcf，bmbcsin30 5 ， cmbccos3015，在efd 中，f90，e45， edf45，mdbm

15、5 ，cdcmmd155故答案是：155 【点评】 本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意 建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答5.（2019，山东枣庄，4 分）如图，小明为了测量校园里旗杆 ab 的高度，将测角仪 cd 竖直放在距旗杆 底部 b 点 6m 的位置，在 d 处测得旗杆顶端 a 的仰角为 53，若测角仪的高度是 1.5m，则旗杆 ab 的高度约为 9.5 m（精确到 0.1m参考数据：sin530.80，cos530.60，tan531.33）【分析】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可 【解答】解：过 d 作 deab，在 d

16、处测得旗杆顶端 a 的仰角为 53，ade53，bcde6m，aede tan5361.337.98m，abae+beae+cd7.98+1.59.48m9.5m，故答案为：9.5【点评】此题考查了考查仰角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形注意 方程思想与数形结合思想的应用6.（2019 湖北黄石 3 分）如图，一轮船在 m 处观测灯塔 p 位于南偏西 30方向，该轮船沿正南方 向以 15 海里/小时的速度匀速航行 2 小时后到达 n 处，再观测灯塔 p 位于南偏西 60方向，若该轮船继续向南航行至灯塔 p 最近的位置 t 处，此时轮船与灯塔之间的距离 pt 为 15 保留

17、根号）海里（结果【分析】根据“若该轮船继续向南航行至灯塔 p 最近的位置 t 处，此时轮船与灯塔之间的距离为 pt”， 得 ptmn，利用锐角三角函数关系进行求解即可【解答】解：由题意得，mn15230 海里，pmn30，pnt60，mpnpmn30，pnmn30 海里，ptpn sinpnt15海里故答案为：15 【点评】本题考查解直角三角形的应用方向角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是求得pn 的长度，属于中考常考题7. （2019 湖北天门 3 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 oa b c ，a a b c ，a a b c ，都是1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3菱形

18、，点 a ，a ，a ，都在 x 轴上，点 c ，c ，c ，都在直线 y 1 2 3 1 2 3x+上，且c oa c a a 1 1 2 1 2c a a 60，oa 1，则点 c 的坐标是 （97，32 3 2 3 1 6） 【分析】根据菱形的边长求得 a a a 的坐标然后分别表示出 c c c 的坐标找出规律进而求得 c1. 2. 3 1. 2. 3 6的坐标【解答】解：oa 1，1oc 1，1c oa c a a c a a 60，1 1 2 1 2 3 2 3c 的纵坐标为：sin60 oc 1 1，横坐标为 cos60 oc ，1c （ ， ），1四边形 oa b c ，a a

19、 b c ，a a b c ，都是菱形，1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3a c 2，a c 4，a c 8，1 2 2 3 3 4c 的纵坐标为：sin60 a c 2 1 2，代入 yx+求得横坐标为 2，c （，2， ）， 2c 的纵坐标为：sin60 a c 4 3 2 3c （11，4），3c （23，8），4c （47，16），5c （97，32）；6故答案为（97，32），代入 yx+求得横坐标为 11，【点评】本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了菱形的性质，解直角三角形，根据已知点的变化规律求出菱形的边长，得出系列 c 点的坐标，找出规律是解题的关键8. （201

20、9 湖北孝感 3 分）如图，在 p 处利用测角仪测得某建筑物 ab 的顶端 b 点的仰角为 60， 点 c 的仰角为 45，点 p 到建筑物的距离为 pd20 米，则 bc （20 20） 米【分析】根据正切的定义求出 bd，根据等腰直角三角形的性质求出 cd，结合图形计算，得到答案【解答】解：在 pbd 中，tanbpd 则 bdpd tanbpd20 ，在 pbd 中，cpd45，cdpd20，bcbdcd2020，故答案为：（2020）【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函 数的定义是解题的关键三.解答题1. （2019 浙江金华 8 分）

21、如图，在 oc 相交于点 doabc，以 o 为图心，oa 为半径的圆与 c 相切于点 b，与（1）求的度数。（2）如图，点 e 在o 上，连结 ce 与o 交于点 f。若 ef=ab，求oce 的度数【答案】 （1）如图，连结 ob，设o 半径为 r，bc 与o 相切于点 b， obbc，又四边形 oabc 为平行四边形， oabc，ab=oc，aob=90，又oa=ob=r，ab=r，aob，obc 均为等腰直角三角形， boc=45，弧 cd 度数为 45.（2）作 ohef，连结 oe，由（1）知 ef=ab=r，oef 为等腰直角三角形，oh=ef=r，在 ohc 中，sinoce=

22、 = ，oce=30.【考点】切线的性质，解直角三角形的应用【解析】【分析】（1）连结ob，设o 半径为 r，根据切线性质得 obbc，由平行四边形性质得 oabc，ab=oc，根据平行线性质得aob=90，由勾股定理得 ab=r，从而可得aob，obc 均为等腰直角三角形，由等腰直角三角形性质得boc=45，即弧 cd 度数.（2）作 ohef，连结 oe，由（1）知ef=ab=r，从而可得oef 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质得 oh=ef=r，在ohc 中，根据正弦函数定义得 sinoce= ，从而可得oce=30.2（2019 浙江绍兴 8 分）如图 1 为放置在水平桌面 l

23、 上的台灯，底座的高 ab 为 5cm，长度均为 20cm 的连杆 bc，cd 与 ab 始终在同一平面上（1）转动连杆 bc，cd，使bcd 成平角，abc150，如图 2，求连杆端点 d 离桌面 l 的高度 de （2）将（1）中的连杆 cd 再绕点 c 逆时针旋转，使bcd165，如图 3，问此时连杆端点 d 离桌 面 l 的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到 0.1cm，参考数据： 1.41， 1.73）【分析】（1）如图 2 中，作 bode 于 o解直角三角形求出 od 即可解决问题（2）作 dfl 于 f，cpdf 于 p，bgdf 于 g，chbg 于 h则四边形

24、pchg 是矩形，求出 df，再 求出 dfde 即可解决问题【解答】解：（1）如图 2 中，作 bode 于 ooeaboebae90， 四边形 aboe 是矩形， oba90，dbo1509060，odbd sin6020 dfod+oeod+ab20（cm），+539.6（cm）（2）作 dfl 于 f，cpdf 于 p，bgdf 于 g，chbg 于 h则四边形 pchg 是矩形，cbh60，chb90，bch30，bcd165，dcp45，chbcsin6010 （cm），dpcdsin4510（cm），dfdp+pg+gfdp+ch+ab（10 下降高度：dedf20 +510+1

25、010+5）（cm），510 10 3.2（cm）【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问 题3. (2019 安徽)（10 分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具如图 1，明朝科学家徐光启在农 政全书中用图画描绘了筒车的工作原理如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心 o 为圆心的圆已 知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦 ab 长为 6 米，oab41.3，若点 c 为运行轨道的最高 点（c，o 的连线垂直于 ab），求点 c 到弦 ab 所在直线的距离（参考数据：sin41.30.66，cos41.30.75，tan41.30.88）【分析】

26、连接 co 并延长，与 ab 交于点 d，由 cd 与 ab 垂直，利用垂径定理得到 d 为 ab 的中点，在 直角三角形 aod 中，利用锐角三角函数定义求出 oa，进而求出 od，由 co+od 求出 cd 的长即可 【解答】解：连接 co 并延长，与 ab 交于点 d，cdab，adbd ab3（米），在 aod 中，oab41.3，cos41.3 ，即 oa 4（米），tan41.3 ，即 odad tan41.330.882.64（米）， 则 cdco+od4+2.646.64（米）【点评】此题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，以及圆周角定理，熟练掌握各自的性质是解 本题的关键4(

27、2019 甘肃省陇南市)（8 分）图是放置在水平面上的台灯，图是其侧面示意图（台灯底座高度 忽略不计），其中灯臂 ac40cm，灯罩 cd30cm，灯臂与底座构成的cab60cd 可以绕点 c 上下调节一定的角度使用发现：当 cd 与水平线所成的角为 30时，台灯光线最佳现测得点 d到桌面的距离为 49.6cm请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取 1.73）【分析】如图，作 ceab 于 e，dhab 于 h，cfdh 于 f解直角三角形求出dcf 即可判断 【解答】解：如图，作 ceab 于 e，dhab 于 h，cfdh 于 fcehcfhfhe90， 四边形 cehf 是

28、矩形，cefh，在 ace 中，ac40cm，a60， ceac sin6034.6（cm）， fhce34.6（cm）dh49.6cm，dfdhfh49.634.615（cm），在 cdf 中，sindcf ，dcf30，此时台灯光线为最佳【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决 问题，属于中考常考题型5 (2019 甘肃省天水市)某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为 6 米，坡面 bc 的坡度为 1：1， 文化墙 pm 在天桥底部正前方 8 米处（pb 的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡 度，使新坡面的坡度为 1： （参考数据：

29、 =1.414， =1.732）（1） 若新坡面坡角为，求坡角度数；（2） 有关部门规定，文化墙距天桥底部小于 3 米时应拆除，天桥改造后，该文化墙 pm 是否需要 拆除？请说明理由22.【答案】解：（1）新坡面坡角为，新坡面的坡度为 1： ，tan= ，=30；（2）该文化墙 pm 不需要拆除，理由：作 cdab 于点 d，则 cd=6 米，新坡面的坡度为 1： tancad=，解得，ad=6米，坡面 bc 的坡度为 1：1，cd=6 米， bd=6 米，ab=ad-bd=（-6）米，又pb=8 米，pa=pb-ab=8-（ -6）=14-6 14-61.7323.6 米3 米，该文化墙 p

30、m 不需要拆除【解析】（1）根据新的坡度，可以求得坡角的正切值，从而可以解答本题；（2）根据题意和题目中的数据可以求得 pa的长度，然后与 3 比较大小即可解答本题本题考查解直角三角形的应用 -坡度坡角文题，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角 的三角函数值和数形结合的思想解答6（2019 广西池河 8 分）如图，在河对岸有一棵大树 a，在河岸 b 点测得 a 在北偏东 60方向上， 向东前进 120m 到达 c 点，测得 a 在北偏东 30方向上，求河的宽度（精确到 0.1m）参考数据： 1.414， 1.732【分析】过点 a 作 ad直线 bc，垂足为点 d，在 abd 和 acd 中，

31、通过解直角三角形可求出 bd，cd 的长，结合 bcbdcd120，即可求出 ad 的长【解答】解：过点 a 作 ad直线 bc，垂足为点 d，如图所示在 abd 中，tanbad，bdad tan60ad；在 acd 中，tancad，cdad tan30adbcbdcdad120，ad103.9河的宽度为 103.9 米【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，利用解直角三角形结合 bcbdcd120， 找出关于 ad 的长的一元一次方程是解题的关键7（2019 甘肃武威 8 分）如图是图是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂 ac 40cm，灯罩 cd30cm，灯臂与底座

32、构成的cab60cd 可以绕点 c 上下调节一定的角度使用 发现：当 cd 与水平线所成的角为 30时，台灯光线最佳现测得点 d 到桌面的距离为 49.6cm请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取 1.73）【分析】如图，作 ceab 于 e，dhab 于 h，cfdh 于 f解直角三角形求出dcf 即可判断 【解答】解：如图，作 ceab 于 e，dhab 于 h，cfdh 于 fcehcfhfhe90， 四边形 cehf 是矩形，cefh，在 ace 中，ac40cm，a60， ceac sin6034.6（cm）， fhce34.6（cm）dh49.6cm，dfdhfh49

33、.634.615（cm），在 cdf 中，sindcf ，dcf30，此时台灯光线为最佳【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决 问题，属于中考常考题型8. （2019 甘肃 6 分）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制中小学 楼梯宽度的范围是 260mm300mm 含（300mm），高度的范围是 120mm150mm（含 150mm）如图是某 中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：ab，cd 分别垂直平分踏步 ef，gh，各踏步互相平行， abcd，ac900mm，acd65，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定（

34、结果精确到 1mm，参考数据：sin650.906，cos650.423）【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得 bm 和 dm 的长，然后计算 出该中学楼梯踏步的宽度和高度，再与规定的比较大小，即可解答本题【解答】解：连接 bd，作 dmab 于点 m，abcd，ab，cd 分别垂直平分踏步 ef，gh，abcd，abcd，四边形 abcd 是平行四边形，cabd，acbd，c65，ac900，abd65，bd900，bmbd cos659000.423381，dmbd sin659000.906815， 3813127，120127150，该中学楼梯踏步的高度符合

35、规定，8153272，260272300，该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结 合的思想解答9. （2019 广东深圳 8 分）如图所示，某施工队要测量隧道长度 bc，ad=600 米，adbc，施工队站 在点 d 处看向 b，测得仰角 45，再由 d 走到 e 处测量，deac，de=500 米，测得仰角为 53，求隧道 bc 长.（sin534 3 4 ，cos53 ，tan53 ）.5 5 3【考点】直角三角形的边角关系的应用. 【答案】10. （2019 南京

36、8 分）如图，山顶有一塔 ab，塔高 33m计划在塔的正下方沿直线 cd 开通穿山隧 道 ef从与 e 点相距 80m 的 c 处测得 a.b 的仰角分别为 27、22，从与 f 点相距 50m 的 d 处测得 a 的仰角为 45求隧道 ef 的长度（参考数据：tan220.40，tan270.51）【分析】延长 ab 交 cd 于 h，利用正切的定义用 ch 表示出 ah、bh，根据题意列式求出 ch，计算即 可【解答】解：延长 ab 交 cd 于 h，则 ahcd，在 ahd 中，d45，ahdh，在 ahc 中，tanach ，ahch tanach0.51ch，在 bhc 中，tanb

37、ch ，bhch tanbch0.4ch，由题意得，0.51ch0.4ch33， 解得，ch300，ehchce220，bh120， ahab+bh153，dhah153，hfdhdf103，efeh+fh323，答：隧道 ef 的长度为 323m【点评】 本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函 数的定义是解题的关键11. （2019 湖南怀化 10 分）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸 b 处 测得对岸 a 处一棵柳树位于北偏东 60方向，他以每秒 1.5 米的速度沿着河岸向东步行 40 秒后到 达 c 处，此时测得柳树位于北偏

38、东 30方向，试计算此段河面的宽度【分析】如图，作 ad于 bc 于 d由题意得到 bc1.54060 米，abd30，acd60， 根据三角形的外角的性质得到bacacdabc30，求得abcbac，得到 bcac60 米在 acd 中，根据三角函数的定义即可得到结论【解答】解：如图，作 ad于 bc 于 d由题意可知：bc1.54060 米，abd30，acd60，bacacdabc30，abcbac，bcac60 米在 acd 中，adac sin606030 （米）答：这条河的宽度为 30米【点评】此题主要考查了解直角三角形方向角问题，解题时首先正确理解题意，然后作出辅助线 构造直角三

39、角形解决问题12. （2019 湖南邵阳 8 分）某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示已知真空集热 管 de 与支架 cb 所在直线相交于点 o，且oboe；支架 bc 与水平线 ad 垂直ac40cm，ade30， de190cm，另一支架 ab 与水平线夹角bad65，求 ob 的长度（结果精确到 1cm；温馨提示： sin650.91，cos650.42，tan652.14）【分析】设 oeob2x，根据含 30 度角的直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答 案【解答】解：设 oeob2x，odde+oe190+2x，ade30，oc od95+x，bcocob95

40、+x2x95x，tanbad2.14，解得：x9，ob2x18【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型 13. （2019 湖南岳阳 8 分）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一如图，小亮的目高 cd 为 1.7 米，他站在 d 处测得塔顶的仰角acg 为 45，小琴的目高 ef 为 1.5 米，她站在距离塔底中心 b 点 a 米远的 f 处，测得塔顶的仰角aeh 为 62.3（点d.b.f 在同一水平线 上，参考数据：sin62.30.89，cos62.30.46，tan62.31.9）（1） 求小亮与塔底中心的距离 bd

41、；（用含 a 的式子表示）（2） 若小亮与小琴相距 52 米，求慈氏塔的高度 ab【分析】（1）根据正切的定义用 a 表示出 ah，根据等腰直角三角形的性质计算；（2）根据题意列方程求出 a，结合图形计算，得到答案【解答】解：（1）由题意得，四边形 cdbg、hbfe 为矩形，gbcd1.7，hbef1.5，gh0.2，在 ahe 中，tanaeh ，则 ahhe tanaeh1.9a，agahgh1.9a0.2，在 acg 中，acg45，cgag1.9a0.2，bd1.9a0.2，答：小亮与塔底中心的距离 bd（1.9a0.2）米；（2）由题意得，1.9a0.2+a52，解得，a18，则

42、ag1.9a0.234.4，abag+gb36.1，答：慈氏塔的高度 ab 为 36.1 米【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角 三角函数的定义是解题的关键14.（(2019，山西，9 分）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测 量方案，并利用课余时间完成了实地测量.他们在旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测 量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）任务一：两次测量 a，

43、b 之间的距离的平均值是m.任务二：根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出学校学校旗杆 gh 的高度.（参考数据：sin25.70.43，cos25.70.90，tan25.70.48，sin310.52，cos310.86， tan310.60）任务三：该“综合与实践”小组在定制方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度” 的方案，但未被采纳.你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）.【解析】解：任务一：由题意可得：四边形 acdb，四边形 adeh 都是矩形eh=ac=1.5，cd=ab=5.5任务二：设 ec=x m在 deg 中：dec=90，gde=31tan31

44、=eg x ， de = .de tan 31在 ceg 中：ceg=90，gce=25.7.tan25.7=eg x，ce=ce tan 25.7cd=ce-de，x x- =5.5 ， x =13.2 tan 25.7 tan 31gh=ce+eh=13.2+1.5=14.7 答：旗杆 gh 的高度为 14.7m任务三：答案不唯一：没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等.15.(2019，四川成都，8 分）2019 年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提 升了成都市的国际影响力.如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼 a 处，测得起点拱门 cd 的顶部

45、 c 的俯角为 35，底部 d 的俯角为 45，如果 a 处离地面的高度 ab=20 米，求起点拱门 cd 的高度.（结 果精确到 1 米；参考数据：sin350.57，cos350.82，tan350.70）【解析】本题主要考察直角三角形中三角函数的运用，利用方程思想建立等量关系.解：过 a 作 cd 垂线，垂足为 e，如图所示.ce=aetan35，ed=aetan45.cd=de-ce.设 ae 长度为 x，得 20=xtan45-xtan35解得：x=6答：起点拱门的高度约为 6 米.16（2019，四川巴中，8 分）某区域平面示意图如图所示，点 d 在河的右侧，红军路 ab 与某桥

46、bc 互相 垂直某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在 c 处测得点 d 位于西北方向，又在 a 处测 得点 d 位于南偏东 65方向，另测得 bc414m，ab300m，求出点 d 到 ab 的距离（参考数据 sin650.91，cos650.42，tan652.14）【分析】过点 d 作 deab 于 e，过 d 作 dfbc 于 f，则四边形 ebfd 是矩形，设 dex，根据 be dfcf，列方程可得结论【解答】解：如图，过点 d 作 deab 于 e，过 d 作 dfbc 于 f，则四边形 ebfd 是矩形，设 dex，在 ade 中，aed90，tandaeaebe300，又 bfdex，cf414x，在 cdf 中，dfc90，dcf45，dfcf414x，又 becf，即：300 414x，解得：x214，故：点 d 到 ab 的距离是 2