考研数学二分类模拟题17

考研数学二分类模拟题17一、填空题1.

设y=x5+5x-tan(x2+1)，则y'=______．正确答案：5x4+5xln5-2xsec2(x2+1)．[解析]y'=5x4+5xln5-2（江南博哥）xsec2(x2+1)．

2.

，则y'=______．正确答案：[解析]

3.

f(sinx)=cos2x+3x+2，则f'(x)=______．正确答案：[解析]由f(sinx)=cos2x+3x+2，得f(sinx)=1-2sin2x+3x+2，

f(x)=1-2x2+3arcsinx+2，

4.

y=xsin2(2x+1)，则y'=______．正确答案：[解析]，则

5.

xy=yx，则y'=______．正确答案：[解析]由xy=yx，得ylnx=xlny，两边求导数得解得．

6.

设f(x)一阶可导，且f(x)=f'(x)=1，则正确答案：2[解析]

7.

设函数y=f(x)由方程xy+2lnx=y4所确定，则曲线y=f(x)在(1，1)处的法线方程为______．正确答案：y=-x+2[解析]xy+2lnx=y4两边对x求导得，

将x=1，y=1代入得，

故曲线y=f(x)在点(1，1)处的法线为y-1=-(x-1)，即．y=-x+2．

8.

正确答案：[解析]由得

9.

设周期为4的函数f(x)处处可导，且，则曲线y=f(x)在(-3，f(-3))处的切线为______．正确答案：y=-2x+4[解析]由得f(1)=2，

再由得f'(1)=-2，

又f(-3)=f(-4+1)=f(1)=2，f'(-3)=f'(-4+1)=f'(1)=-2，

故曲线y=f(x)在点(-3，f(-3))处的切线为y-2=-2(x+3)，即y=-2x-4．

10.

设f(x)为偶函数，且f'(-1)=2，则正确答案：-8[解析]因为f(x)为偶函数，所以f'(x)为奇函数，于是f'(1)=-2，

11.

设f(x)在x=a处可导，则正确答案：2f(a)×5'f(a)=10f(a)f'(a)[解析]因为f(x)在x=a处可导，所以f(x)在x=a处连续，于是

12.

设f'(a)存在且不等于零，则正确答案：[解析]

13.

设f(x)为奇函数，且f'(1)=2，则正确答案：6[解析]因为f(x)为奇函数，所以f'(x)为偶函数，

由得

14.

设，且f'(0)存在，则a=______，b=______，c=______．正确答案：2

-2

2[解析]f(0)=2，f(0-0)=c，

因为f(x)在x=0处连续，所以f(0+0)=f(0)=f(0-0)，

从而a=2，c=2，即

因为f(x)在x=0处可导，即f'+(0)=f'-(0)，故b=-2．

15.

设f(x)在x=2处可导，且，则f(2)=______，f'(2)=______．正确答案：0，8[解析]因为，所以，再由f(x)在x=2处的连续性得f(2)=0．

由，得f'(2)=8．

16.

设f(x)二阶连续可导，且，f"(0)=e，则正确答案：[解析]由得f(0)=0，f'(0)=1，

于是

17.

设f(u)可导，y=f(x2)在x0=-1处取得增量Δx=0.05时，函数增量Δy的线性部分为0.15，则f'(1)=______．正确答案：[解析]由dy=2xf'(x2)Δx得dy|x=-1=-2f'(1)×0.05=-0.1f'(1)，

因为Δy的线性部分为dy，由-0.1f'(1)=0.15得．

18.

设，则正确答案：[解析]

19.

设则正确答案：[解析]

20.

设曲线y=lnx与相切，则公共切线为______．正确答案：[解析]设当x=a时，两条曲线相切，由得a=e2．两条曲线的公共切线为，整理得切线为．

21.

曲线在点(0，1)处的法线方程为______．正确答案：y=-2x+1[解析]在点(0，1)处t=0，

，则对应点处法线的斜率为-2，

所以法线方程为y-1=-2(x-0)，即y=-2x+1．

22.

曲线r=eθ在处的切线方程为______．正确答案：[解析]当时，x=0，

，所求切线方程为．

23.

设，则t=0对应的曲线上点处的法线为______．正确答案：y=-2x[解析]t=0对应的曲线上点为(0，0)，

又，切线斜率为，

故法线方程为y-0=-2(x-0)，即y=-2x．

24.

设函数y=y(x)由方程ex+y+cos(xy)=0确定，则正确答案：[解析]方程两边对x求导，得

，解得．

25.

设，f(n)(x)=______．正确答案：[解析]令，解得A=3，B=-2，即，于是．

26.

设f(x)=ln(2x2-x-1)，则f(n)(x)=______．正确答案：[解析]f(x)=ln[2x+1)(x-1]=ln(2x+1)+ln(x-1)，，

27.

设，其中f连续，则φ"(x)=______．正确答案：[解析]

28.

设f(x)连续，则正确答案：f(x)[解析]

于是，故．

29.

曲线的斜渐近线为______．正确答案：y=x+3[解析]

则斜渐近线为y=x+3．

30.

曲线的斜渐近线为______．正确答案：y=x[解析]由，得曲线的．

斜渐近线为y=x．

31.

y=ex在x=0处的曲率半径为R=______．正确答案：[解析]y'(0)=1，y"=1，则曲线y=ex在x=0处的曲率为，则曲率半径为．

二、选择题1.

曲线的渐近线有______．A.1条B.2条C.3条D.4条正确答案：B[解析]得x=0为铅直渐近线；由得为水平渐近线，显然该曲线没有斜渐近线，又因为x→1及x→-2时，函数值不趋于无穷大，故共有两条渐近线，应选B．

2.

函数f(x)=x3-3x+k只有一个零点，则k的范围为______．A.|k|＜1B.|k|＞1C.|k|＞2D.k＜2正确答案：C[解析]

令f'(x)=3x2-3=0，得x=±1，f"(x)=6x，

由f"(-1)=-6＜0，得x=-1为函数的极大值点，极大值为f(-1)=2+k，

由f"(1)=6＞0，得x=1为函数的极小值点，极小值为f(1)=-2+k，

因为f(x)=x3-3x+k只有一个零点，所以2+k＜0或-2+k＞0，故|k|＞2，选C．

3.

设f(x)在x=0的邻域内有定义，f(0)=1，且，则f(x)在x=0处______．A.可导，且f'(0)=0B.可导，且f'(0)=-1C.可导，且f'(0)=2D.不可导正确答案：B[解析]

而

所以，选B．

4.

设，则在x=a处______．A.f(x)在x=a处可导且f'(a)≠0B.f(a)为f(x)的极大值C.f(a)不是f(x)的极值D.f(x)在x=a处不可导正确答案：B[解析]由，根据极限的保号性，存在δ＞0，当0＜|x-a|＜δ时，有，从而有f(x)＜f(a)，于是f(a)为f(x)的极大值，选B．

5.

设函数f(x)在|x|＜δ内有定义且|f(x)|≤x2，则f(x)在x=0处______．A.不连续B.连续但不可微C.可微且f'(0)=0D.可微但f'(0)≠0正确答案：C[解析]显然f(0)=0，且，所以f(x)在x=0处连续．

又由得，根据夹逼定理得，即f'(0)=0，选C．

6.

设，其中g(x)为有界函数，则f(x)在x=0处______．A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导正确答案：D[解析]因为，，所以f(x)在x=0处连续；

，即f'+(0)=0，

，即f'-(0)=0，

因为f'+(0)=f'-(0)=0，所以f(x)在x=0处可导，应选D．

7.

设f(x)连续，且，则______．A.f(x)在x=0处不可导B.f(x)在x=0处可导且f'(0)≠0C.f(x)在x=0处取极小值D.f(x)在x=0处取极大值正确答案：D[解析]由得f(0)=1，

由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜|x|＜δ时，，即f(x)＜1=f(0)，

故x=0为f(x)的极大点，应选D．

8.

设f(x)具有二阶连续导数，且，则______．A.x=1为f(x)的极大点B.x=1为f(x)的极小点C.(1，f(1))为y=f(x)的拐点D.x=1不是f(x)的极值点，(1，f(1))也不是y=f(x)的拐点正确答案：C[解析]由及f(x)二阶连续可导得f"(1)=0；

因为，所以由极限保号性，存在δ＞0，当0＜|x-1|＜δ时，，从而

故(1，f(1))是曲线y=f(x)的拐点，应选C．

9.

设f(x)二阶连续可导，f'(0)=0，且，则______．A.x=0为f(x)的极大点B.x=