中考翻折问题答案解析

1、翻折问题 - - -解答题综合1aob 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，a（0，3），b（2，0），o 是坐标原点（1）将aob 先作其关于 x 轴的对称图形，再把新图形向右平移 3 个单位，在图中画出两次变换后所得的图形 ao b ；1（2）若点 m（x，y）在aob 上，则它随上述两次变换后得到点 m ，则点 m 的坐标是 1 12（1）数学课上，老师出了一道题，如图，rtabc 中，c=90， ，求证：b=30，请你完成证 明过程（2）如图，四边形 abcd 是一张边长为 2 的正方形纸片，e、f 分别为 ab、cd 的中点，沿过点 d 的折痕将纸 片翻折，使点 a 落在 ef

2、上的点 a处，折痕交 ae 于点 g，请运用（1）中的结论求adg 的度数和 ag 的长 （3）若矩形纸片 abcd 按如图所示的方式折叠，b、d 两点恰好重合于一点 o（如图），当ab=6，求 ef 的长3如图，矩形 abcd 中，ab=6，bc=8，点 e 是射线 cb 上的一个动点，把dce 沿 de 折叠，点 c 的对应点为 c（1） 若点 c刚好落在对角线 bd 上时，bc= ；（2） 若点 c刚好落在线段 ab 的垂直平分线上时，求 ce 的长；（3） 若点 c刚好落在线段 ad 的垂直平分线上时，求 ce 的长4如图，矩形纸片 abcd，将amp 和bpq 分别沿 pm 和 pq

3、 折叠（apam），点 a 和点 b 都与点 e 重合； 再将cqd 沿 dq 折叠，点 c 落在线段 eq 上点 f 处（1） 判断amp，bpq，cqd 和fdm 中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）（2） 如果 am=1，sindmf= ，求 ab 的长5如图，在矩形 abcd 中，点 e 在边 cd 上，将该矩形沿 ae 折叠，使点 d 落在边 bc 上的点 f 处，过点 f 作分、 fgcd，交 ae 于点 g 连接 dg（1）求证：四边形 defg 为菱形；（2）若 cd=8，cf=4，求的值6如图 1，一张菱形纸片 ehgf，点 a、d、c、b 分别是 ef、eh、hg、gf

4、边上的点，连接 ad、dc、cb、ab、 db，且 ad= ，ab= ；如图 2，若将fab、aed dhc cgb 分别沿 ab、ad、dc、cb 对折，点 e、f 都落在 db 上的点 p 处，点 h、g 都落在 db 上的点 q 处（1） 求证：四边形 adcb 是矩形；（2） 求菱形纸片 ehgf 的面积和边长7（1）操作发现：如图，在 rtabc 中，c=2b=90，点d 是 bc 上一点，沿 ad 折 adc，使得点 c 恰好落在 ab 上的点 e 处请写出 ab、ac、cd 之间的关系 ；（2）问题解决：如图，若（1）中c90，其他条件不变，请猜想 ab、ac、cd 之间的关系，

5、并证明你的结论；（3）类比探究：如图，在四边形 abcd 中，b=120，d=90，ab=bc，ad=dc，连接 ac，点 e 是 cd 上一点，沿 ae 折叠，使得点 d 正好落在 ac 上的 f 处，若 bc= ，直接写出 de 的长8如图，现有一张边长为 4 的正方形纸片 abcd，点 p 为 ad 边上的一点（不与点 a、点 d 重合），将正方形纸片 折叠，使点 b 落在 p 处，点 c 落在 g 处，pg 交 dc 于 h，折痕为 ef，联结 bp、bh（1）求证：apb=bph；（2）求证：ap+hc=ph； （3）当 ap=1 时，求 ph 的长9如图，折叠矩形纸片 abcd，使

6、点 b 落在 ad 边上一点 e 处，折痕的两端点分别在边 ab，bc 上（含端点），且 ab=6，bc=10，设 ae=x（1） 当 bf 的最小值等于 时，才能使点 b 落在 ad 上一点 e 处；（2） 当点 f 与点 c 重合时，求 ae 的长；（3） 当 ae=3 时，点 f 离点 b 有多远？10如图，三角形纸片中，ab=8cm，bc=6cm，ac=5cm沿过点 b 的直线折叠这个三角形，使点 c 落在 ab 边上 的点 e 处，折痕为 bd，求ade 的周长11【问题提出】如果我们身边没有量角器和三角板，如何作 15大小的角呢？【实践操作】如图第一步：对折矩形纸片 abcd，使

7、ad 与 bc 重合，得到折痕 ef，把纸片展开，得到 adefbc第二步：再一次折叠纸片，使点 a 落在 ef 上的点 n 处，并使折痕经过点 b，得到折痕 bm折痕 bm 与折痕 ef 相交于点 p连接线段 bn，pa，得到 pa=pb=pn【问题解决】（1） 求nbc 的度数；（2） 通过以上折纸操作，还得到了哪些不同角度的角？请你至少再写出两个（除nbc 的度数以外）（3） 你能继续折出 15大小的角了吗？说说你是怎么做的12已知矩形 abcd 中，ab=3cm，ad=4cm，点 e、f 分别在边 ad、bc 上，连接 b、e，d、f分别把 bae 和 rtdcf 沿 be，df 折叠

8、成如图所示位置（1） 若得到四边形 bfde 是菱形，求 ae 的长（2） 若折叠后点 a和点 c恰好落在对角线 bd 上，求 ae 的长2213如图 1，矩形纸片 abcd 的边长 ab=4cm，ad=2cm同学小明现将该矩形纸片沿 ef 折痕，使点 a 与点 c 重 合，折痕后在其一面着色（如图 2），观察图形对比前后变化，回答下列问题：（1） gf fd：（直接填写=、）（2） 判断cef 的形状，并说明理由；（3） 小明通过此操作有以下两个结论：1 四边形 ebcf 的面积为 4cm2 整个着色部分的面积为 5.5cm运用所学知识，请论证小明的结论是否正确14操作：准备一张长方形纸，按

9、下图操作：（1） 把矩形 abcd 对折，得折痕 mn；（2） 把 a 折向 mn，得 rtaeb；（3） 沿线段 ea 折叠，得到另一条折痕 ef，展开后可得到ebf 探究：ebf 的形状，并说明理由15 1）如图 1，将abc 纸片沿 de 折叠，使点 a 落在四边形 bcde 内点 a的位置，若a=40，求1+2 的度数；（2） 通过（1）的计算你发现1+2 与a 有什么数量关系？请写出这个数量关系，并说明这个数量关系的正确 性；（3） 将图 1 中abc 纸片的三个内角都进行同样的折叠如果折叠后三个顶点 a、b、c 重合于一点 o 时，如图 2，则图中+= ；1+2+3+4+5+6=

10、；如果折叠后三个顶点 a、b、c 不重合，如图 3，则中的关于“1+2+3+4+5+6”的结论是否仍然 成立？请说明你的理由16如图，长方形纸片 abcd，点 e、f 分别在边 ab、cd 上，连接 ef，将bef 对折，点 b 落在直线 ef 上的 b 处，得到折痕 ec，将点 a 落在直线 ef 上的点 a处，得到折痕 en（1）若beb=110，则bec= ，aen= ，bec+aen= （2）若beb=m，则（1）中bec+aen 的值是否改变？请说明你的理由（3）将ecf 对折，点 e 刚好落在 f 处，且折痕与 bc 重合，求dna17如图abc 中，b=60，c=78，点 d 在

11、 ab 边上，点 e 在 ac 边上，且 debc，将ade 沿 de 折 叠，点 a 对应点为 f 点（1） 若点 a 落在 bc 边上（如图 1），求证：bdf 是等边三角形；（2） 若点 a 落在三角形外（如图 2），且 cfab，求cef 各内角的度数18如图 1，四边形 oabc 中，oa=a，oc=3，bc=2，aoc=bco=90，经过点 o 的直线 l 将四边形分成两 部分，直线 l 与oc 所成的角设为 ，将四边形 oabc 的直角ocb 沿直线 l 折叠，点 c 落在点 d 处（如图 1）（1） 若折叠后点 d 恰为 ab 的中点（如图 2），则 = ；（2） 若 =45，

12、四边形 oabc 的直角ocb 沿直线 l 折叠后，点 b 落在点四边形 oabc 的边 ab 上的 e 处（如图 3），求 a 的值19在abc 中，c=90，ac=6， bc=8，d、e 分别是斜边 ab 和直角 边 cb 上的点，把abc 沿着直线 de 折叠，顶点 b 的对应点是 b（1） 如图（1），如果点 b和顶点 a 重合，求 ce 的长；（2） 如图（2），如果点 b和落在 ac 的中点上，求 ce 的长20把一张矩形纸片 abcd 按如图方式折叠，使顶点 b 和 d 重合，折痕为 ef （1）连接 be，求证：四边形 bfde 是菱形；（2）若 ab=8cm，bc=16cm，

13、求线段 df 和 ef 的长21如图，矩形 abcd 中，ab=8cm，bc=6cm，动点 p 从点 a 出发，以每秒 1cm 的速度沿线段 ab 向点 b 运动， 连接 dp，把a 沿 dp 折叠，使点 a 落在点 a处求出当bpa为直角三角形时，点 p 运动的时间22在矩形 abcd 中， =a，点 g，h 分别在边 ab，dc 上，且 ha=hg，点 e 为 ab 边上的一个动点，连接 he， 把ahe 沿直线 he 翻折得到fhe如图 1，当 dh=da 时，（1） 填空：hga= 度；（2） 若 efhg，求ahe 的度数，并求此时 a 的最小值；23如图 1，abc 中，沿bac

14、的平分线 ab 折叠，点 b 落在 a 处剪掉重叠部分；将余下部分沿b a c 的1 1 1 1平分线 a b 折叠，点 b 落在 a 处剪掉重叠部分；将余下部分沿ba c 的平分线 a b 1 2 1 2 n n n n+1重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，bac 是abc 的好角折叠，点 b 与点 c n小丽展示了确定bac 是abc 的好角的两种情形情形一：如图 2，沿等腰三角形 abc 顶角bac 的平分线 ab1折叠，点 b 与点 c 重合；情形二：如图 3，沿bac 的平分线 ab 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿b a c 的1 1 1平分线 a b 折叠，此时点 b

15、与点 c 重合1 2 1（1） 情形二中，b 与c 的等量关系 （2） 若经过 n 次折叠bac 是abc 的好角，则b 与c 的等量关系 （3） 如果一个三角形的最小角是 4，直接写出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好 角答： 24在矩形纸片 abcd 中，ab=6，bc=8，将矩形纸片折叠，使点 b 与点 d 重合（如图），（1）求证：四边形 bedf 是菱形；（2）求折痕 ef 的长25如图 1，abcd 是一张矩形纸片，ad=bc=1，ab=cd=5在矩形 abcd 的边 ab 上取一点 m，在 cd 上取一 点 n，将纸片沿 mn 折叠，使 mb 与 dn 交

16、于点 k，得到mnk，kb 交 mn 于 o（1） 若1=80，求mkn 的度数；（2） 当 b 与 d 重合时，画出图形，并求出kon 的度数；（3） mnk 的面积能否小于 2？若能，求出此时1 的度数；若不能，试说明理由26七年级科技兴趣小组在“快乐星期四”举行折纸比赛，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：如果由信纸折成的长方形纸条（图）长为 26 厘米，回答下列问题：（1）如果长方形纸条的宽为 2 厘米，并且开始折叠时起点 m 与点 a 的距离为 3 厘米，那么在图中，bm=厘米；在图中，bm=厘米（2） 如果信纸折成的长方形纸条宽为 2cm，为了保证能折成图形状（即纸条两端均

17、刚好到达点 p），纸条长至少 多少厘米？纸条长最小时，长方形纸条面积是多少？（3） 如果不但要折成图的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点 p 的长度相等，即最终图形是对称图形， 假设长方形纸条的宽为 x 厘米，试求在开始折叠时（图）起点 m 与点 a 的距离（用含 x 的代数式表示）（温馨 提示：别忘了用草稿纸来折一折哦！）27将四张形状，大小相同的长方形纸片分别折叠成如图所示的图形，请仔细观察重叠部分的图形特征，并解决下 列问题：（1） 观察图，1 和2 有怎样的关系？并说明你的依据（2） 猜想图中重叠部分图形mbd 的形状（按边），验证你的猜想（3） 若图中1=60，猜想重叠部分图形m

18、ef 的形状（按边），验证你的猜想28如图，长方形纸片 abcd 中，ab=10，将纸片折叠，使顶点 b 落在边 ad 上的 e 点处，折痕的一端 g 点在边 bc 上（1） 如图（1），当折痕的另一端 f 在 ab 边上且 ae=5 时，求 af 的长；（2） 如图（2），当折痕的另一端 f 在 ad 边上且 bg=13 时，求 af 的长29矩形 abcd 沿 ef 折叠，使点 b 落在 ad 边上的 b处，再沿 bg 折叠四边形，使 bd 边与 bf 重合，且 bd过点 f已知 ab=4，ad=1（1） 试探索 ef 与 bg 的位置关系，并说明理由；（2） 若四边形 efgb是菱形，求

19、bfe 的度数；（3） 若点 d与点 f 重合，求此时图形重叠部分的面积30（1）操作发现：如图，在 rtabc 中，c=2b=90，点d 是 bc 上一点，沿 ad 折 adc，使得点 c 恰好落在 ab 上的点 e 处，请写出 ab、ac、cd 之间的关系（2）问题解决：如图，若（1）中c90，其他条件不变，请猜想 ab、ac、cd 之间的关系，并证明你的结论；（3）类比探究：如图，在四边形 abcd 中，b=120，d=90，ab=bc，ad=dc，连接 ac，点 e 是 cd 上一点，沿 ae 折叠，使得点 d 正好落在 ac 上的点 f 处，若 bc=3，直接写出 de 的长翻折问题

20、-解答题综合参考答案与试题解析一解答题（共 30 小题）1（2016安徽模拟）aob 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，a（0，3），b（2，0），o 是坐标原 点（1）将aob 先作其关于 x 轴的对称图形，再把新图形向右平移 3 个单位，在图中画出两次变换后所得的图形 ao b ；1（2）若点 m（x，y）在aob 上，则它随上述两次变换后得到点 m ，则点 m 的坐标是 （x+3，y） 1 1【分析】（1）首先确定 a、b、c 三点关于 x 轴的对称点位置，再向右平移 3 个单位找到对应点位置，然后再连接即 可；（2）根据关于 x 轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标相反可得点

21、 m（x，y）关于 x 轴的对称图形上的点 的坐标为（x，y），再向右平移 3 个单位，点的横坐标+3，纵坐标不变【解答】解：（1）如图所示：（2）点 m（x，y）关于 x 轴的对称图形上的点的坐标为（x，y），再向右平移 3 个单位得到点 m 的坐标是（x+3，1y）故答案为：（x+3，y）【点评】此题主要考查了作图平移变换和轴对称变换，关键是掌握点的坐标的变化规律2（2016贵阳模拟）（1）数学课上，老师出了一道题，如图，rtabc 中，c=90， ，求证：b=30， 请你完成证明过程（2）如图，四边形 abcd 是一张边长为 2 的正方形纸片，e、f 分别为 ab、cd 的中点，沿过点

22、d 的折痕将纸 片翻折，使点 a 落在 ef 上的点 a处，折痕交 ae 于点 g，请运用（1）中的结论求adg 的度数和 ag 的长 （3）若矩形纸片 abcd 按如图所示的方式折叠，b、d 两点恰好重合于一点 o（如图），当ab=6，求 ef 的长【分析】（1）rtabc 中，根据 sinb = ，即可证明b=30；（2） 求出fad 的度数，利用翻折变换的性质可求出adg 的度数，在 afd 中求出 af，得出 ae，在 rtaeg 中可求出 ag，利用翻折变换的性质可得出 ag 的长度（3） 先判断出 ad= ac，得出acd=30，dac=60，从而求出 ad 的长度，根据翻折变换的

23、性质可得出daf=fao=30，在 rtadf 中求出 df，继而得出 fo，同理可求出 eo，再由 ef=eo+fo，即可得出答案【解答】（1）证明：rtabc 中，c=90，sinb= = ，b=30；（2）解：正方形边长为 2，e、f 为 ab、cd 的中点， ea=fd= 边长=1，沿过点 d 的抓痕将纸片翻折，使点 a 落在 ef 上的点 a处， ad=ad=2， = ，fad=30，可得fda=9030=60，a 沿 gd 折叠落在 a处，adg=adg，ag=ag，adg= = =15，ad=2，fd=1，af= = ，ea=efaf=2 ，eag+daf=180gad=90，e

24、ag=90daf=9030=60，ega=90eag=9060=30，则 ag=ag=2ea=2（2 ）；（3）解：折叠后 b、d 两点恰好重合于一点 o， ao=ad=cb=co，da= ，d=90，dca=30，ab=cd=6，2 2 2在 rtacd 中， =tan30，则 ad=dctan30=6=2 ，daf=fao= dao=30， =tan30= ，df= ad=2，df=fo=2，同理 eo=2，ef=eo+fo=4【点评】本题考查了翻折变换的知识，涉及了含 30角的直角三角形的性质、平行四边形的性质，综合考察的知识 点较多，注意将所学知识融会贯通3（2016贵阳模拟）如图，矩

25、形 abcd 中，ab=6，bc=8，点 e 是射线 cb 上的一个动点， dce 沿 de 折叠， 点 c 的对应点为 c（1） 若点 c刚好落在对角线 bd 上时，bc= 4 ；（2） 若点 c刚好落在线段 ab 的垂直平分线上时，求 ce 的长；（3） 若点 c刚好落在线段 ad 的垂直平分线上时，求 ce 的长【分析】（1）根据点 b，c，d 在同一直线上得出 bc=bddc=bddc 求出即可；（2）利用垂直平分线的性质得出 cc=dc=dc，则c 是等边三角形，进而利用勾股定理得出答案； （3）利用当点 c在矩形内部时，当点 c在矩形外部时，分别求出即可【解答】解：（1）如图 1，

26、点 b，c，d 在同一直线上，bc=bddc=bddc=106=4；故答案为：4；（2）如图 2，连接 cc，点 c在 ab 的垂直平分线上，点 c在 dc 的垂直平分线上，cc=dc=dc，则dcc 是等边三角形，设 ce=x，易得 de=2x，由勾股定理得：（2x） x =6 ，解得：x=2 ，即 ce 的长为 2 ；（3）作 ad 的垂直平分线，交 ad 于点 m，交 bc 于点 n，分两种情况讨论：当点 c在矩形内部时，如图 3，点 c在 ad 的垂直平分线上，dm=4，dc=6，22222 222222 2由勾股定理得：mc=2 ， nc=62 ，设 ec=y，则 ce=y，ne=4

27、y， 故 nc +ne =ce ，即（62 ） +（4y） =y ， 解得：y=93 ，即 ce=93 ；当点 c在矩形外部时，如图 4， 点 c在 ad 的垂直平分线上， dm=4，dc=6，由勾股定理得：mc=2 ， nc=6+2 ，设 ec=z，则 ce=a，ne=z4 故 nc +ne =ce ，即（6+2 ） +（z4） =z ， 解得：z=9+3 ，即 ce=9+3 ，综上所述：ce 的长为 93 【点评】此题主要考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识；利用数形结合以及分类讨论得出是解题 关键4（2015南充）如图，矩形纸片 abcd，将amp 和bpq 分别沿 pm 和

28、 pq 折叠（apam），点 a 和点 b 都与 点 e 重合；再将cqd 沿 dq 折叠，点 c 落在线段 eq 上点 f 处（1） 判断amp，bpq，cqd 和fdm 中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）（2） 如果 am=1，sindmf= ，求 ab 的长【分析】（1）由矩形的性质得a=b=c=90，由折叠的性质和等角的余角相等，可得bpq=amp=dqc， 所以ampbpqcqd；（2）先证明 md=mq，然后根据 sindmf= ，设 df=3x，md=5x，表示出 ap、bp、bq，再根据amp bpq，列出比例式解方程求解即可【解答】解：（1）amp bpq cqd，四边形

29、 abcd 是矩形，a=b=c=90，根据折叠的性质可知：apm=epm，epq=bpq， apm+bpq=epm+epq=90，apm+amp=90，bpq=amp，ampbpq，同理：bpq cqd，根据相似的传递性，ampcqd；（2）adbc，dqc=mdq，根据折叠的性质可知：dqc=dqm，mdq=dqm，md=mq，am=me，bq=eq，bq=mqme=mdam，sindmf= = ，设 df=3x，md=5x，bp=pa=pe= ，bq=5x1，22222 2ampbpq， ， ，解得：x= （舍）或 x=2， ab=6【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质

30、、翻折的性质以及锐角三角函数的综合运用，在求 ab 长的问题中，关键是恰当的设出未知数表示出一对相似三角形的对应边列比例式5（2015漳州）如图，在矩形 abcd 中，点 e 在边 cd 上，将该矩形沿 ae 折叠，使点 d 落在边 bc 上的点 f 处， 过点 f 作分、fgcd，交 ae 于点 g 连接 dg（1）求证：四边形 defg 为菱形；（2）若 cd=8，cf=4，求的值【分析】（1）根据折叠的性质，易知 dg=fg，ed=ef，1=2，由 fgcd，可得1=3，易证 fg=fe，故 由四边相等证明四边形 defg 为菱形；（2）在 efc 中，用勾股定理列方程即可 cd、ce，

31、从而求出的值【解答】（1）证明：由折叠的性质可知：dg=fg，ed=ef，1=2， fgcd，2=3，fg=fe，dg=gf=ef=de，四边形 defg 为菱形；（2）解：设 de=x，根据折叠的性质，ef=de=x，ec=8x，在 rtefc 中，fc +ec =ef即 4 +（8x） =x ，解得：x=5，ce=8x=3， = ，【点评】本题主要考查了折叠的性质、菱形的判定以及勾股定理，熟知折叠的性质和菱形的判定方法是解答此题的 关键6（2015江西校级模拟）如图 1，一张菱形纸片 ehgf，点 a、d、c、b 分别是 ef、eh、hg、gf 边上的点，连 接 ad、dc、cb、ab、d

32、b，且 ad= ，ab= ；如图 2，若将fab aed、dhc cgb 分别沿 ab、 ad、dc、cb 对折，点 e、f 都落在 db 上的点 p 处，点 h、g 都落在 db 上的点 q 处（1） 求证：四边形 adcb 是矩形；（2） 求菱形纸片 ehgf 的面积和边长【分析】（1）由对折可知eab=pab，fad=pad，利用等角关系可求出bad=90，同理可求出 adc=abc=90即可得出四边形 adcb 是矩形（2）由对折可知 s菱形 ehgf=2s矩形 adcb即可求出 ehgf 的面积，由对折可得出点 a，c 为中点，连接 ac，得fg=ac=bd利用勾股定理就可得出边长【

33、解答】（1）证明：由对折可知eab=pab，fad=pad，2（pab+pad）=180，即bad=pab+pad=90同理可得，adc=abc=90四边形 adcb 是矩形（2）解：由对折可知：aebapb，afdapd，cgd cqd chbcqbs菱形 ehgf=2s矩形 adcb= 又ae=ap=af，a 为 ef 的中点同理有 c 为 gh 的中点即 af=cg， 且 afcg，如图 2，连接 ac，四边形 acgf 为平行四边形，得 fg=ac=bd 【点评】本题主要考查了翻折变换，勾股定理，菱形的性质及矩形的判定，解题的关键是折叠前后图形的形状和大 小不变，位置变化，对应边和对应

34、角相等7（2015平顶山二模）（1）操作发现：如图，在 rtabc 中，c=2b=90，点d 是 bc 上一点，沿 ad 折 adc，使得点 c 恰好落在 ab 上的点 e 处请写出 ab、ac、cd 之间的关系 ab=ac+cd ；（2）问题解决：如图，若（1）中c90，其他条件不变，请猜想 ab、ac、cd 之间的关系，并证明你的结论；（3）类比探究：如图，在四边形 abcd 中，b=120，d=90，ab=bc，ad=dc，连接 ac，点 e 是 cd 上一点，沿 ae 折叠，使得点 d 正好落在 ac 上的 f 处，若 bc= ，直接写出 de 的长【分析】（1）如图，设 cd=t，由

35、c=2b=90易得abc 为等腰直角三角形，则 ac=bc，ab= ac，再根 据折叠的性质得 dc=de，aed=c=90，又可判断bde 为等腰直角三角形，所以 bd= de，则 bd= t， ac=bc= t+t=（ +1）t，ab= （ +1）t=（2+ ）t，从而得到 ab=ac+cd；（2）如图，根据折叠的性质得 dc=de，aed=c，ae=ac ，而c=2b，则aed=2b，根据三角形外 角性质得aed=b+bde，所以b=bde，则 eb=ed，所以 ed=cd，于是得到 ab=ae+be=ac+cd； （3）作 bhac 于 h，如图，设 de=x，利用（1）的结论得 ac

36、=（2+ ）x，根据等腰三角形的性质由 ba=bc，cba=120得到bca=bac=30，且 ch=ah= ac=x，在 bch 中，利用 30 度的余弦得cos30= = ，即 x= （2+2），然后解方程求出 x 即可【解答】解：（1）如图，设 cd=t，c=2b=90，b=45，bac=45，abc 为等腰直角三角形，ac=bc，ab= ac，ad 折叠adc，使得点 c 恰好落在 ab 上的点 e 处， dc=de，aed=c=90，bde 为等腰直角三角形，bd= de，bd= t，ac=bc= t+t=（ +1）t，ab= （ +1）t=（2+ ）t，ab=ac+cd；故答案为

37、ab=ac+cd；（2）ab=ac+cd理由如下：如图，ad 折叠adc，使得点 c 恰好落在 ab 上的点 e 处， dc=de，aed=c，ae=ac，c=2b，aed=2b，而aed=b+bde，b=bde，eb=ed，ed=cd，ab=ae+be=ac+cd；（3）作 bhac 于 h，如图， 设 de=x，由（1）的结论得 ac=（2+ ba=bc，cba=120，bca=bac=30，bhac，ch=ah= ac= x，）x，在 rtbch 中，cos30= x= （2 +2）， 解得 x= ，即 de 的长为 = ，【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，

38、折叠前后图形的形状和大小不变，位置变 化，对应边和对应角相等也考查了等腰三角形的性质和解直角三角形8（2015潍坊校级一模）如图，现有一张边长为 4 的正方形纸片 abcd，点 p 为 ad 边上的一点（不与点 a、点 d 重合），将正方形纸片折叠，使点 b 落在 p 处，点 c 落在 g 处，pg 交 dc 于 h，折痕为 ef，联结 bp、bh （1）求证：apb=bph；（2） 求证：ap+hc=ph；（3） 当 ap=1 时，求 ph 的长【分析】（1）根据翻折变换的性质得出pbc=bph，进而利用平行线的性质得出apb=pbc 即可得出答案； （2）首先证明abpqbp，进而得出bc

39、hbqh，即可得出 ap+hc=ph；（3）设 qh=hc=x，则 dh=4x在 rtpdh 中，根据勾股定理列出关于 x 的方程求解即可【解答】（1）证明：pe=be，epb=ebp，又eph=ebc=90，ephepb=ebcebp即bph=pbc又四边形 abcd 为正方形adbc，2 2 2222apb=pbcapb=bph（2）证明：过 b 作 bqph，垂足为 q， 由（1）知，apb=bph，在abp 与qbp 中，abpqbp（aas），ap=qp，ba=bq又ab=bc，bc=bq又c=bqh=90，bch 和bqh 是直角三角形， 在 rtbch 与 rtbqh 中，rtb

40、chrtbqh（hl）， ch=qh，ap+hc=ph（3）解：由（2）知，ap=pq=1， pd=3设 qh=hc=x，则 dh=4x在 rtpdh 中，pd +dh =ph ， 即 3 +（4x） =（x+1） ，解得 x=2.4，ph=3.4【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，熟练利用全等三角形的 判定得出对应相等关系是解题关键9（2015江西样卷）如图，折叠矩形纸片 abcd，使点 b 落在 ad 边上一点 e 处，折痕的两端点分别在边 ab，bc 上（含端点），且 ab=6，bc=10，设 ae=x（1） 当 bf 的最小值等于 6 时，才

41、能使点 b 落在 ad 上一点 e 处；（2） 当点 f 与点 c 重合时，求 ae 的长；（3） 当 ae=3 时，点 f 离点 b 有多远？22【分析】（1）当点 g 与点 a 重合时，bf 的值最小，即可求出 bf 的最小值等于 6；（2） 在 cde 中运用勾股定理求出 de，再利用 ae=adde 即可求出答案；（3） 作 fhad 于点 h，设 ag=x，利用勾股定理可先求出 ag，可得 eg，利用aeg hfe，由=可求出 ef，即得出 bf 的值【解答】解：（1）点 g 与点 a 重合时，如图 1 所示，四边形 abfe 是正方形，此时 bf 的值最小，即 bf=ab=6当 b

42、f 的最小值等于 6 时，才能使 b 点落在 ad 上一点 e 处；故答案为：6（2）如图 2 所示，在 rtcde 中，ce=bc=10，cd=6，de= = =8，ae=adde=108=2，（3）如图 3 所示，作 fhad 于点 h，ae=3，设 ag=y，则 bg=eg=6y，根据勾股定理得：（6y）=y +9，解得：y= ，eg=bg= ，又aeghfe，= ，ef= ，bf=ef=【点评】本题主要考查了翻折变换，解题的关键是折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相 等10（2015 秋苍溪县期末）如图，三角形纸片中，ab=8cm，bc=6cm，ac=5cm沿过点

43、b 的直线折叠这个三角形， 使点 c 落在 ab 边上的点 e 处，折痕为 bd，求ade 的周长【分析】根据翻折变换的性质可得 de=cd，be=bc，然后求出 ae，再根据三角形的周长列式求解即可 【解答】解：bc 沿 bd 折叠点 c 落在 ab 边上的点 e 处，de=cd，be=bc，ab=8cm，bc=6cm，ae=abbe=abbc=86=2cm，ade 的周长=ad+de+ae，=ad+cd+ae，=ac+ae，=5+2，=7cm【点评】本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后两个图形能够完全重合得到相等的线段是解题的关键 11（2015 春无棣县期末）【问题提出】如果我们身边没

44、有量角器和三角板，如何作 15大小的角呢？【实践操作】如图第一步：对折矩形纸片 abcd，使 ad 与 bc 重合，得到折痕 ef，把纸片展开，得到 adefbc第二步：再一次折叠纸片，使点 a 落在 ef 上的点 n 处，并使折痕经过点 b，得到折痕 bm折痕 bm 与折痕 ef 相交于点 p连接线段 bn，pa，得到 pa=pb=pn【问题解决】（1） 求nbc 的度数；（2） 通过以上折纸操作，还得到了哪些不同角度的角？请你至少再写出两个（除nbc 的度数以外）（3） 你能继续折出 15大小的角了吗？说说你是怎么做的【分析】（1）根据折叠性质由对折矩形纸片 abcd，使 ad 与 bc

45、重合得到点 p 为 bm 的中点，即 bp=pm，再根据 矩形性质得bam=90，abc=90，则根据直角三角形斜边上的中线性质得 pa=pb=pm，再根据折叠性质由 折叠纸片，使点 a 落在 ef 上的点 n 处，并使折痕经过点 b，得到折痕 bm折痕 bm 得到 pa=pb=pm=pn，1=2， bnm=bam=90，利用等要三角形的性质得2=4，利用平行线的性质由 efbc 得到4=3，则2=3，易得1=2=3= abc=30；（2） 利用互余得到bmn=60，根据折叠性质易得amn=120；（3） 把 30 度的角对折即可【解答】解：（1）对折矩形纸片 abcd，使 ad 与 bc 重

46、合，点 p 为 bm 的中点，即 bp=pm，四边形 abcd 为矩形，bam=90，abc=90，pa=pb=pm，折叠纸片，使点 a 落在 ef 上的点 n 处，并使折痕经过点 b，得到折痕 bm折痕 bm，pa=pb=pm=pn，1=2，bnm=bam=90，2=4，efbc，4=3，2=3，1=2=3= abc=30，即nbc=30；（2） 通过以上折纸操作，还得到了bmn=60，amn=120等；（3） 折叠纸片，使点 a 落在 bm 上，则可得到 15的角【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变 化，对应边和对应角相等也考

47、查了矩形的性质和直角三角形斜边上的中线性质12（2015 春大同期末）已知矩形 abcd 中，ab=3cm，ad=4cm，点 e、f 分别在边 ad、bc 上，连接 b、e，d、 f分别把 rtbae 和 rtdcf 沿 be，df 折叠成如图所示位置（1） 若得到四边形 bfde 是菱形，求 ae 的长（2） 若折叠后点 a和点 c恰好落在对角线 bd 上，求 ae 的长【分析】（1）由矩形的性质得出a=90，设 ae=xcm，则 ed=（4x）cm，由菱形的性质得出 eb=ed=4x， 由勾股定理得出方程，解方程即可；2 2 222222 222222（2）由勾股定理求出 bd，由折叠的性

48、质得出 ae=ae，eab=a=90，ab=ab=3cm，求出 ad，设 ae=ae=x，则 ed=（4x）cm，在 rtead 中，由勾股定理得出方程，解方程即可【解答】解：（1）四边形 abcd 是矩形，a=90，设 ae=xcm，则 ed=（4x）cm，四边形 ebfd 是菱形，eb=ed=4x，由勾股定理得：ab +ae =be ，即 3 +x=（4x），解得：x= ，ae= cm；（2）根据勾股定理得：bd= =5cm，由折叠的性质得：ae=ae，eab=a=90，ab=ab=3cm， ead=90，ad=53=2（cm），设 ae=ae=x，则 ed=（4x）cm，在 rtead

49、中，ae +ad =ed ，即 x +2=（4x），解得：x= ，ae= cm【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、菱形的性质；熟练掌握翻折变换和矩形、菱形的性 质，并能进行推理计算是解决问题的关键13（2015 春廊坊期末）如图 1，矩形纸片 abcd 的边长 ab=4cm，ad=2cm同学小明现将该矩形纸片沿 ef 折痕， 使点 a 与点 c 重合，折痕后在其一面着色（如图 2），观察图形对比前后变化，回答下列问题：（1） gf = fd：（直接填写=、）（2） 判断cef 的形状，并说明理由；（3） 小明通过此操作有以下两个结论：1 四边形 ebcf 的面积为 4cm2 整个着色部分的面积为 5.5cm运用所学知识，请论证小明的结论是否正确【分析】（1）根据翻折的性质解答；22 22（2） 根据两直线平行，内错角相等可得aef=cfe，再根据翻折的性质可得aef=fec，从而得到 cfe=fec，根据等角对等边可得 ce=cf，从而得解；（3） 根据翻折的性质可得 ae=ec，然后求出 ae=cf，再根据图形的面积公式列式计算即可得解；设 gf=x，表示出 cf，然后在 rtcfg 中，利用勾股定理列式求出 gf，根据三角形的面积公式求出 sgfc