微分方程选择题及答案

1、选择题 （50）1）知识、概念层次，难度等级 11、列四个微分方程中，4为三阶方程的有1）d3ydx3d2ydx22y23）3d3ydx312ey（A）1 答案： 难度等级 1B)2C）知识点：常微分方程的阶的定义dy6x3dydxdxd3ydyedx3sin ydxD）432）4）x ye分析： 根据微分方程的阶的定义， 微分方程的阶是指方程中出现的未知函数的2、 函数（）是微分方程 4y最高阶导数的阶数，因此， （1），（ 3），（4）均是三阶微分方程，故应选（ C）(A)y1 x 12x(B) y Ce2x21( C ) y C1e2x C21 2 2(D)x1yCe2x122y x 的

2、通解 . （）答案 D难度等级 1 知识点：常微分方程通解的定义分析： 判断一个函数是否是微分方程的通解， 首先是函数代入方程能使方程变 为恒等式， 其次函数中所含任意常数的个数应与方程的阶数一致，选项（ A）中不含任意常数，是方程的特解， 选项（ C）中任意常数的个数多于一个，因此不能选， （B）不 满足方程，故应选（ D）3、 下列等式中（）是线性微分方程 .(A)y2x2y2(C)y2 yx e(B)y2 x0(D)yy2xy2答案：B难度等级 1 知识点：线性常微分方程的定义分析：线性常微分方程是指方程中所含未知函数及其各阶导数均是一次有理整式，因为 (A),(C),(D)选项中出现了

3、非线性项2y2, 故应选（ B）4、 微分方程exdnye2xd(n1y)Len dye(n1)ye(n2)x 是()dxndx(n 1) dx（A） n阶常系数非齐次线性常微分方程（ B） n阶常系数齐次线性常微分方程（C） n阶变系数非齐次线性常微分方程（ D） n阶常变系数齐次线性常微分方程答案 ： C难度等级 1 知识点：齐次线性常微分方程的定义分析： 所给方程中所含未知函数及其各阶导数均是一次有理整式， 故应为线性常微分方程， 又因为其系数是变量 x的函数， 故应是变系数， 并且有自由项 e（n 2）x ,因此是非齐次方程，故应选（ C）5、 微分方程x edyy6 ey33x3y3

4、 的一个解为（ ）.dx（A）y6（B）y x 6( C) y x( D) y x答案：D难度等级1知识点：常微分方程解的定义分析：将（ A），（B），（C），（D）所给函数代入所给方程，易知只有y x 满足方程 ， 故应选（ D）6、 下列函数组（）在其定义区间内是线性相关（）.2（A） x,x （B） ln（ x）, x ln（ x） （ C） cos（2 x）,sin（2 x） （D）sin(2 x),cos( x)sin( x)答案 ： D难度等级 1 知识点：函数组的线性相关与线性无关 分析：由函数组线性相关与无关的判定， （A），（B），（ C）中所给的两个函数的比值不为常数，而7

5、、 下列（sin2x2 ，因此应选（ sin xcosx不是全微分方程 .D）(A)ydx (x3x3y2)dy 0 (C)(x3 y)dx (x y)dy 0(B)2xy 1dx yyx2 dy 0 y2(D)ydx xdy 0答案：难度等级 1 知识点：全微分方程的判定分析：微分方程M (x,y)dx N(x,y)dy0 是全微分方程的充要条件是221 1 9x2y2，因此（ B），（ C），（ D）均满足此条件，而因此应选（ A）228、 方程 ydx （x2 y2 x）dy 0 的积分因子为（ ）1A) (x) 12xB) (y) y12 yC) (x,y) x2 1y2 (D) xy

6、(x,y)xy答案 ： C 难度等级 1知识点：积分因子的定义分析：微分方程 M (x,y)dx N(x,y)dy 0 不是全微分方程时，若存在二元函数 (x,y) , 使得 (x,y)M(x,y)dx N(x,y)dy 0 是全微 分方程 ，则称所给函数均不满足条件，因此( x, y)为方程的积分因子，因此代入(A), (B)，(D)应选( C)9、 下列方程中，既是齐次方程又是线性方程的是()A)dy sin y dx x(B) dy y 1 dx x x(C)dydxy (D)xdydx答案：难度等级 1 知识点：齐次方程与线性方程的判定 分析：由题意只有 (B),(D) 是线性微分方程

7、，而( D)y1xDB)不是齐次方程，因此应选10、 试指出下列哪个()函数是二阶微分方程22y0,( 0)的通解 .( 式中C1,C2 为任意常数 ).(A)C1 cos x 2sin x (C)C1cos x C2sin x(B)C1cos x 2C1 sin x (D)C12 cos x C2sin x知识点：二阶齐次线性常微分方程通解的定义但 C12 0 不是任意常数， 故应选答案： 难度等级 1 分析：方程是二阶常系数齐次线性微分方程，其通解中应含有两个独立常数，故(A),(B) 不符合要求， (D)中虽有两个独立常数，C)11、 若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为y C1ex

8、 C2e x , 其中 C1,C2 为独立的任意常数，则该方程为()x(A) y y e(B) y 2y0 ( C) y y 0(D)y y 0答案 ： D难度等级 1 知识点：二阶齐次常系数线性常微分方程 分析：由通解中的两个独立解ex ,e x 知，方程对应的特征方程的特征根为21 1, 2 1 ，因此对应的特征方程是 ( 1)( 1) 2 1 0 ，因此对应的微 分方程应是 y y 0，故应选( D)x12、 若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为y (C1 C2x)ex ,其中 C1,C2为独立的任意常数，则该方程为() .(A)y2y y 0(C)y 2y y 0(B)y2y 1

9、0(D)y 2y 1 0答案：D难度等级 1 二阶齐次常系数线性常微分方程分析：由通解中的两个独立解 ex, xex 知，方程对应的特征方程的特征根为221 2 1 ，因此对应的特征方程是 ( 1)2 2 2 1 0 ，因此对应的微分方 程应是 y 2y 1 0 ，故应选( D)13、 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为 y C1 C2x C3x2, 其中C1,C2,C3 为独立的任意常数，则该方程为() .(A) y y 0 (B) y 3y 0 (C) y y 0 (D) y 0 答案 ： D难度等级 1 知识点：三阶齐次常系数线性常微分方程2分析：由通解中的三个独立解 1,x, x

10、2 知，方程对应的特征方程的特征根为31 2 3 0 ，因此对应的特征方程是 3 0 ，因此对应的微分方程应是y 0 ，故应选( D)14、 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为 y C1 C2x C3ex, 其中C1,C2,C3 为独立的任意常数，则该方程为() .(A)y y 0 (C)yyy10(B)y y 0 (D)yy答案 ： D难度等级 1 知识点：三阶齐次常系数线性常微分方程分析：由通解中的三个独立解1,x, ex知，方程对应的特征方程的特征根为1 2 0, 31 ，因此对应的特征方程是2(1)，因此对应的微分方程应是 yy 0 ，故应选（D）15、 可用变换（）将伯努利方程

11、dydx3xy化为线性方程 .A) zB) zC）3z y 3 (D)答案 ： B难度等级1 知识点：一阶线性常微分方程、y3,得y 3 ddyx分析：在原方程的两边同除以只需令 z y2,则 dz2ydx3 dydx，原方程则化为伯努利方程23yx1 dz2 dx故应选（ B）16、 微分方程yln ydx (xln y)dy 0 是( )1, 因此要使方程为线性，zx3 1 ，这是线性方程，（A） 可分离变量方程 方程 答案 ： B 难度等级 1 知识点：B）线性方程C）全微分方程D）贝努利分析：将方程改写为方程，又由全微分方程，作关于变量17、一阶常微分方程类型的判定dy yln y d

12、x ln yM (x,y) yln y,N(x,y), 因此不是可分离变量方程，也不是贝努利 xlny,ln y 1, N 1 x因此不是又将方程改写为 dx ln ydy yln y1xyln y11 因此是线性方程yy 的函数） ，故应选（ B）微分方程cos2x 的通解是（）(A)(B)1sin(2 x ) C1 x C241sin(2 x) C1x C24(C)(D)答案 ： D1cos(2x) C1x41 cos(2x) C1x C24C2难度等级 1 知识点：可降阶的高阶常微分方程的求解分析： 将方程连续积分两次，得通解 y14cos(2 x )C1x C2 ，故应选(D)218、

13、 微分方程 x2 y 1的通解是().C(A) y C 1x1(B) yxC( C)yCx 1x(D)1 yCx答案 ： D难度等级 1 知识点：一阶常微分方程的求解dy 11分析：将方程改写为 2 并积分，得通解 yC ，故应选( D)dx x2x19、 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为y C1 C2 cosx C3sinx, 其中 C1,C2,C3 为独立的任意常数，则该方程为() .为 1 0, 2,3 i ，因此对应的特征方程是是 y y 0 ，故应选( D)20、 若 y 6x 是微分方程 y (1 x2)y()(A) y(1) 6, y (1) 6,y (1) 0(C) y

14、(1) 6, y (1) 6,y (1) 62( 2 1) 0 ，因此对应的微分方程应2xy 6x2 的唯一解，则初始条件应该是(B) y(1) 6, y (1) 0,y (1) 6(D) y(1) 0, y (1) 6,y (1) 0(A) yy0(B) y y0 ( C) y y 0 (D)yy0答案 ： D难度等级 1知识点：三阶齐次常系数线性常微分方程分析：由通解中的三个独立解 1,cos x,sin x知，方程对应的特征方程的特征根答案 ： A难度等级 1 知识点：常微分方程的定解条件分 析 ： 由 y 6x 是 方 程 原 唯 一 解 ， 应 该 满 足 初 始 条 件 ， 故 有

15、y(1) 6, y (1) 6,y (1) 0 ,故应选( A)2) 知识简单应用层次，难度等级 221、 微分方程yxy e 的通解是().(A)yC1 C2ex xex1 2 2(C)y 1 C1ex C2xex(B)yC1x C2ex xex(D)y C1 C2ex xex答案：D难度等级 2 知识点：二阶非齐次常系数线性常微分方程分析： 方程为二阶非齐次常系数线性方程， 对应的齐次方程为 y y 0，故 其特征方程为 2 ( 1) 0 ，特征根为 1 0, 2 1 ，因此齐次方程的通 xx解应为 y C1 C2ex ，因此应在 (A),(D) 中选择，又因函数 yex 不满足方程，2故

16、应选( D)22、 若 y 1(x) , y 2(x) 是一阶非齐次线性微分方程的两个不同特解， 则该方 程的通解为() 。(A) 1(x) 2(x) (B) 1(x) 2(x) (C)C( 1(x) 2(x) 1(x) (D) C 1(x) 2(x)答案 ： C难度等级 2 知识点：一阶非齐次常系数线性常微分方程分析： 由一阶非齐次线性微分方程通解的结构知， 其通解应是对应的齐次方程 的通解与原各的一个特解之和 ，而 1 2 是齐次方程的解， 因此齐次方程的通解应 为 y C( 1 2) ， 因 此 非 齐 次 方 程 的 通 解 应 是 y C( 1 2) 1 或 y C( 1 2) 2

17、，故应选( C)23、 一曲线过原点，其上任一点 (x, y)处的切线斜率为 2x y ,则曲线方程是() .(A) y 2x 2 2ex (C) y 2x 2 2ex(B) y x 1 ex(D) y 2x 2 2ex答案 ： D难度等级 2 知识点：一阶非齐次常系数线性常微分方程分析：由题意 知，曲线方程 y y(x) 应满 足 dy y 2x 及初始条件dxy(0) 0 ，这是一阶非齐次线性微分方程， 直接由通解公式可得 y 2x 2 2ex ， 故应选( D)2 3 224、 若方程 (x2 xy3)dx f(x)y2dy 0 是全微分方程，则 f(x) ( ).(A) 3x(B) 2

18、x3( C) 3 x2(D) 3 x322 答案 ： C难度等级 2 知识点：全微分方程分析：微分方程 M(x,y)dx N(x,y)dy0 是全 微分方程时，需满足，故由 M(x,y)xy3,N(x,y)f(x)y2 ，可得 df (x) y2 3xy2 ，dx即 df (x) 3x ，因此可取f(x)的通解是322x ，() .故应选( C)dx25、 微分方程2x2y2y2ln(C1x1)(A)yxC12C2(C) yxln(C1x1) C(B)yC1C12C2(D) y答案：D难度等级 2知识点：可降阶的高阶常微分方程xC1分析：方程为二阶非线性方程，令uy，ln(C1x 1)C1C2

19、这是变量可分离方程，分离变量得du2udx2xxC1ln(C1x 1)C12C2则方程降为一阶方程 x2u，积分得 1ux C1，将u2u，代入并2y 0，分析：方程为二阶非齐次常系数线性方程，对应的齐次方程为积分可得 yxC1ln(C1x 1)C12C2，故应选(D)26、 微分方程y2y x的通解是()(A)y1 2 2 x xC1e4C2x (C)y1 2 2x 1xC1ex C244(B)y1 2 2x xC1e411x4C2 (D)y1 2 2x 1xC1ex C24 1 4 2答案：D难度等级 2知识点：二阶非齐次常系数线性常微分方程y2故其特征方程为 2 ( 2) 0 ，特征根为

20、 1 0, 2 2 ，因此齐次方程2x的 通 解 应 为 y C1 C2e2x ， 因 此 应 在 (B), ( C)， (D) 中 选 择 ， 又 因 函 数 1 2 1yx2x 满足方程，故应选( D)4427、 微分方程 xy y 的通解是( )3(A) y x C3x C1(C)32y C2x C3x C1x23(B) y C2x C3x C1 (D) y C2x C3x C1 答案 ： D难度等级 2 知识点：可降阶的高阶常微分方程是变量可分离方程，分离变量得 du dx ，积分得xu Cx ，将 uy 代入并积分分析：方程为三阶微分方程，令 u y ，则方程降为一阶方程 xu u

21、，这C3 可得 y xC3xC1 ，令 C2 C ，则可得y C2x3C3xC1，61 2 628、 微分方程yy的通解是( )(A)yC1C2x C3xex(C)y1C2xC3ex(B)yC1C2x2 C3ex(D)y C1C2xC3ex答案：Du故应选( D)难度等级 2知识点：可降阶的高阶常微分方程分析：方程为三阶微分方程，令 u y ，则方程降为一阶方程 u u ，这是一阶齐次线性微分方程，积分得 u C3ex ，将u y 代入并积分可得x y C1 C2x C3e ，故应选( D)229、 微分方程 2yy (y )2 的通解为() .(A) y (x C)2 (C) y C1(x

22、1)2 C2 (x 1)222(B) y C1 (x C2) (D) y C1(x C2)答案 ： D 难度等级 2 知识点：可降阶的高阶常微分方程分析 ： 方 程 是 不 显 含 自 变量 x 的方 程 ，令 u dy ，则 dx2d yddu dydudu22 (u) g ug， 则 方 程 降 为 一 阶 方 程 2yuu2 ， 即 有dx2dxdy dxdydydu 112u ，这是一阶齐次线性微分方程， 积分得u Cy2 ，将u y 代入并积分可 dy 2y得y2C1 (x C2 ) 2 ，故应选( D)30、微分方程xdy ydx y2eydy 的通解为() .(A) yx(ex

23、C)(B) x y(ey C)(C) yx(C ex) (D)y(C ey )xdy答案： 难度等级 2知识点：全微分方程分析：因dxdy ydx ，故在方程两端同除以y2，则方程变为ydx2y2eydy，这是全微分方程，即有 dxdy ydxeydy dey ，即d ey xy0 ，故方程的通解为eyxy C ，故应选D）是（） .(A)yx(Ax2Bx C)e4x (C)y x(Ax B)e4x(B)yx(Ax24xB)e4x(D)y x2(Ax B)e4x答案：D难度等级 2知识点：二阶常系数非齐次线性微分方程分析：原方 程 所 对应 的齐次 方 程为 y8y 16y 0， 其特征方程为

24、2 8 16(4)2 0，其特征根为 4（二重根），而 1 x 是一次多项式，故方程的特解为yx2(AxB）e4x ，故应选（ D）32、 微分方程y7y (x1）2用待定系数法确定的特解 （ 系数值不求 ）形式是（） .(A)y2x (AxB) (C)y x(Ax2 Bx C)e7x(B)y(Ax2Bx C)e7x (D)2y x(Ax2 Bx C)答案：D难度等级 2知识点：二阶常系数非齐次线性微分方程4xx）e 用待定系数法确定的特解（ 系数值不求 ） 形式31、 微分方程 y分 析 ： 原 方 程 所 对 应 的 齐 次 方 程 为 y 7y 0 ， 其 特 征 方 程 为8y 16y

25、 (12 7 ( 7) 0 ，其特征根为 1 0, 2 7 ，而 (x 1)2 (x 1)2e0?x ，故方2 程的特解为 y x(Ax Bx C) ，故应选( D)33、 微分方程 y 3y sin 3x用待定系数法确定的特解 ( 系数值不求 )形式是() .(A) y x2 (Acos( 3x) Bsin( 3x)(B) y Acos( 3x) Bsin( 3x)(C) y (Acos( 3x) Bsin( 3x)e 3x(D) y x(Acos( 3x) Bsin( 3x)答案 ： D难度等级 2 知识点：二阶常系数非齐次线性微分方程2 分析：原方程所对应的齐次方程为 y 3y 0 ，其

26、特征方程为 2 3 0 ，其特征根为而 非 齐 次 项 为 sin( 3x) ， 故 方 程 的 特 解 为y x(Acos( 3x) Bsin( 3x) ，故应选( D) 34、 微分方程 y y 2sin2x 的一个特解为()sin( x)1sin(2 x)3(C)y2cos(2 x)3cos( x)1sin(2 x)3(D)y2sin(2 x)3知识点：二阶常系数非齐次线性微分方程(A) y(B) y 答案 ： D 难度等级 2分析：方程的非齐次项为 2sin(2 x) ，故方程的特解可设为 y Asin(2x)，故应选( D)35、 微分方程y2y y1的通解为( D)(A)yC1xe

27、xC2ex (C)yC1 xexC2ex(B)y1 C1xC2ex (D)y1 C1xexC2ex答案：D难度等级 2知识点：二阶常系数非齐次线性微分方程分 析 ： 原 方 程 所 对 应 的 齐 次 方 程 为 y 2y y 0， 其 特 征 方 程 为2 1 0 ，其 特征 根为 1,2 1( 二重 根)，因此 齐次 方程的 通解为 y (C1 C2x)ex ，而非齐次项为 1，故方程的特解形式为 y A(常数)，故应选(D)36、 微分方程 yy 1的一条过原点且在该点与直线 y x 相切的积分曲线是 ()(A)yx1e(C)y 1 ex(B)yx x xe(D)y 1 e x答案：C难

28、度等级 2 知识点：二阶常系数非齐次线性微分方程分析：因曲线经过原点且与直线 y x相切于原点， 因此有 y(0) 0, y(0) 1因此只能在( C)，(D) 中选择，又因 y1 e x不满足方程， 因此积分曲线为 y故应选( C)37、 微分方程yy0的一条过点(0,2) 且在该点与直线 y 2 x相切的积分曲线是()(A)y1x e(C)y 1 3e x(B)y2xex(D)x y 1 e答案：D难度等级2知识点：二阶常系数非齐次线性微分方程分析：因曲线经过点 (0,2) 且与直线 y 2 x相切于点(0,2) ，因此有y(0) 2,y (0) 1 ，又原 方程为 二阶齐 次线性 微分方

29、程，其特征方程为2(1)0，特 征 根 为 10, 2 1 因 此 方 程 的 通 解 为yC1 C2ex代入条件y(0) 2,y (0)1，得积分曲线为 y1 e x ，故应选(D)38、微分方程y3y 12xe2x的一个特解为()(A)y3x 1 e(C) y2x e133(B)y3 x 1 e(D) y2x e133答案：D难度等级 2 知识点：二阶常系数非齐次线性微分方程2x分析：原方程的特解为方程 y 3y 1与方程 y 3y e 的特解之和，而方程 y 3y 1 的特解为 y12x 2x1 ，而方程 y 3y e 的特解为 y2 e2x ， 因此原 3，故应选( D)方程的特解为

30、y y1 y2 e2 x 139、设 y1,y2 是一阶线性非齐次方程p(x)y q(x) 的两个特解，若常数y1y2 是该方程的解，y1y2是该方程对应的齐次方程的解 , 则).(A)1,2,(C)1,2,(B)2,3(D)2,3答案： 难度等级 2知识点：一阶非齐次线性微分方程分析：因y1y2 是方程的解， 而 y1y2 是该方程对应的齐次方程，故可1与解之可得11,，故应选( A)2240、已知函数 yy(x) 在任意点x处的增量 yyx1,且o(x), y(0)则 y(1) 等于() .(A)e4(B)e4C)(D)答案 ： A难度等级 2 知识点：一阶非齐次线性微分方程分 析 ： 在

31、 y y x21 x2求极限，即有dydxlim y y 2 lim y 2 ，故可得初值问题为 x 0 x 1 x2 x 0 x 1 x2dydxy1 x2，y(0)这是arctanx阶线性齐次方程解之可得 y earctanx ，因此 y(1)e4故应选( A)3) 知识灵活应用层次，难度等级 341、 设 y(x) 满足 y sin xyln y , 且 ye 1 2 1 2 3(A) e (B) e 1 (C) e (D) e2答案 ： C难度等级 3 知识点：一阶非齐次线性微分方程分析：方程 dysin x yln y 为变量分离方程，分离变量得 dy dx ， 两 dx yln y

32、 sin x端积分并代入初始条件得ln y csc x cot x ， 因此 y4e2 1 故应选（ C）42、 微分方程2y5yxex 的一个特解为（ .(A)y2x e(C) y 1ex (B) y2ex (D)答案：D333难度等级 3 知识点：二阶常系数非齐次线性微分方程1xe3分析：方程的非齐次项为ex ，故方程的特解可设为xAex ，代入可得解得1xex ，故应选（ D）343、微分方程 （y2 6x）y2y(A)2x2 yCy30(C)2y2xCx30(B)2xCy23 y0(D)2yCx23x0答案：A的通解为）难度等级 3 知识点： 分析 ：方 程 为 一一阶非线性微分方程阶

33、非线性方程，原方程两(y226x)yy 2y2 0再令2yy 代 入 原 方 程 可(u6x)u 4u 0 ，即 ddux6x1 2 312 y2 Cy3，故应选A）44、微分方程 dy dx（A） 1 y siny x 答案 ： C 难度等级 3Cx4u3x2u14 ， 解 得 x3Cu 2 ，xu45、tan y的通解为（xyB)sinxxC).C)sin y CxxD）sin x Cxy知识点：一阶齐次微分方程分析：方程为齐次方程，令 u yxtanu ，解之可得 sin yxCx ，故应选（则 y u xu代入原方程可得C）可将一阶微分方程 dy xdx y6y 化为可分离变量的微分方程的变换为 （） xA)u (x y)6 (B) u (x y)6C)uyxD) u xy答案 ： C难度等级 3 知识点：一阶齐次微分方程分析：方程为齐次方程，令u则yu xu代入原方程可得1u xuu611 u ，这是变量分离方程u故应选C)46、 设 yf(x) 是方程 y 2y 4y的一个解，若 f (x0 )0，且 f (x0) 0,则 f (x)在 x0处取得()(A) 取得极大值(B) 在某个邻域内单调增加 答案 ： A 难度等级C)取得极小值D)在某个邻域内单调减少3 知识点：二阶齐次线性微分方程与函数的极值分析：因 为 y f