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文档简介
1、、前提测评1、如果直线 a平面 ,那么( )A平面 内不存在与 a垂直的直线B 平面 内有且只有一条直线与 a垂直C平面内有且只有一条直线与 a平行 D平面 内有无数条直线与 a不平行2、已知直线 a、 b、 c和面 ,下列条件能使 a b成立的是 ( )Aa面且 b面 Bac且 bc C ac且 bc D a、 b与面成角相等3、关于直线 a、b、l 与平面 M 、 N,下列命题中正确的是A 若 aM,bM ,则 abB若 aM,ba,则 bMC若 a M,b M,则 la,lb,则 LMD若 aM,aN,则 M N4、三棱锥的三条侧棱两两垂直,那么这个三棱锥顶点在底面三角形所在平面上射影O
2、 必是底面三角形的A 内心B外心C垂心D 重心5、 和是两个不重合的平面,在下列条件中可以判定的是 ( )A 、都垂直于平面B 内不共线的三点到 的距离相等Cl 、 m是内的直线,且 l ,m Dl 、m是两条异面直线 ,且 l ,m,m,l6、已知直线 l平面 ,直线 m 平面 ,有下列四个命题: lm lm lm l m ,其中正确的两个命题是 ( )A 与B 与C与D与7、 、 是三个两两平行的平面,且 与 之间的距离是 3,与 之间的距离是 4,则 与 之间 的距离的取值范围是 ( )A1B7C1,7D1 ,78、已知两条直线 m、 n,两个平面 、,给出下面四个命题:若 mn,m,则
3、 n; / ,m ,n m/n ; m / n,m / n/ ;若 ,mn,m,则 n 。其中正确命题的序号是()A B CD解析:用线面垂直的性质和面面平行的性质可判断 正确,中 m,n可以平行或异面中 n可以在 内 选 C二、空间几何体必记知识(一)平行与垂直的判定方法1、线线平行的判定: a)平行于同一直线的两条直线平行。b)一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。即 a平面 , a 平面 ,平面 平面 =b,则 a b。c)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,则它们的交线平行。即平面 平面 , =a, =b,则 abd)垂直于同一平面的两条直线平行。
4、即a平面 ,b平面 ,则 a b2、线面平行的判定:a)平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。即 a 平面 ,b 平面 , a b,则 a平面 。b)如果两个平面平行,则其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面。即平面 平面 ,a 平面 ,则 a平面 3、线面垂直的判定: a)一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。即 a平面 ,b 平面 ,a b=O, c a, c b,则 c平面 b)两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条直线也垂直这个平面。即 ab, a平面 ,则 b平面 c)两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
5、即平面 平面 ,=m,a 平面 ,a m,则 a平面 4、面面平行的判定: 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 即 a 平面 , b平面 ,a b=O,a平面 , b平面 ,则平面 平面 5、面面垂直的判定:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。即a平面 ,a 平面 ,则平面 平面 (二) 1、 正方体 正四棱柱 长方体 直平行六面体 四棱柱 ;2、直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边;3、正方体中体对角线与面对角线成异面直线,则一定互相垂直;相邻面对角线成异面直线,成角为30 ;4、球内接长方体 (或正方体或正四棱柱 )的对角线长等于球的直径。5
6、、从一点 O出发的三条射线 OA、OB、OC,若AOB=AOC,则点 A 在平面 BOC 上的射影在 BOC 的角平分线上。三)关于三棱锥、侧棱两两互相垂直的三棱锥及正四面体的相关结论 1、三棱锥 P-ABC 中,若 PABC , PB AC ,则 PCAB ;2、三棱锥 P-ABC 中,若 PAPB,PBPC, PAPC,则点 P 在底面 ABC 内的射影是垂心,且V P-ABC=1/6*PA*PB*PC ;3、三棱锥 P-ABC 中,若 PA=PB=PC,则点 P 在底面 ABC 内的射影是外心; 4、三棱锥 P-ABC 中,若点 P 到底面 ABC 三边的距离相等,则点 P 在底面 AB
7、C 内的射影是内心;5、正四面体的棱长为 a,则表面积为 ,高为 ,外接球半径为 ,内接球半径为 ,体积为 ,对棱的距离为 ,侧棱与底面所成的角的余弦值为三、例题分析例 1 在正方体 ABCDA1B1C1D1中,棱长为 a,E是 DD 1的中点。( 1)求 B1D的长,正方体的表面积,体积;(2)求异面直线 B1D与 AC、异面直线 BC1与 AB1所成的角;(3)求证: B1D平面 ACD 1;平面 ACD 1平面 A1BC1;(4)判断 BD 1与平面 AEC 的位置关系,并证明。例 21、A、B 到平面 距离分别为 4cm和 6cm,那么线段 AB中点 M到面 距离为2、正四棱柱 ABC
8、D A1B1C1D1中, AA 1=2AB ,则异面直线 A1B与 AD 1所成角的余弦值为( D)A 1/5B 2/5C3/5D4/5NDP 个。C1、AB、BB1、BC1的中点,则异面直线 EF与 GH3、在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H 分别为 AA 所成的角等于 A.45 B.60 C.90 D.1204、已知空间不共面的 4 个点,与此四点距离相等的平面有 例 3 已知 PA平面 ABCD, ABCD为矩形, PA=AD,M、N 分别是 AB、 PC的中点,求证 MN平面 PAD; 平面 PMC平面 PDC.例 4 如图 AB 是 O的直径, C是 O上的点,
9、PA平面 ABC,AEPB于 E, AF PC于 F。求证:平面 AEF平面 PAB。四、思维训练面命题中正确的是B若 a/ , ab,则 b C若 a ,b ,则 a b2、 Rt ABC 中, B90, C 30,且 DE 1,则点 E 到斜边AC 的距离是5A B11223、下列命题中正确的是()B垂直于同一直线的两平面平行1、若 a,b 表示两条直线,表示平面,A 若 a , a b,则 b/()7C2 A垂直于同C与一直线成等角的两平面平行D若 a/ , b/ ,则 a/bD 是 BC 的中点, AC 2,DE 平面 ABC,4平面的两平面平行D Rt ABC 在平面 的射影仍是一个
10、直角,则 ABC 所在平面与平面 平行4、 ABCD 是一个四面体,在四个面中最多有几个是直角三角形( )A 1B2C3D45、已知 m、 n 是不重合的直线, 、 是不重合的平面,有下列命题: 若 m 、 n ,则 m n;若 m 、 n ,则 ;若 n, m n,则 m , m ;若 m , m ,则 其中真命题的个数是 ( )A0B1C 2D 3A)若 m,m n,则 nB)若 m ,n , 则 m nC)若 m,n , 则 m nD)若 m 、 n与 所成的角相等,则 m n6、对于平面 和共面的直线 m 、 n,下列命题中真命题是(C)7、给出以下四个命题如果一条直线和一个平面平行
11、,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行 ; 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面 ; 如果两条直线都平行于一个平面 ,那么这两条直线互相平行 ; 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直 .其中真命题的个数是 A.4 B.3 C.2 D.15、正确,故选 B.8、对于任意的直线 l 与平同 ,在平面 内必有直线 m,使 m与 l (C)(A) 平行(B)相交(C) 垂直 (D) 互为异面直线9、如图,正方体 AC1的棱长为 1,过点 A 作平面 A1BD 的垂线,垂足为点 H ,则以下命题中,错误的命题是( )点
12、H 是A1BD 的垂心 AH 垂直平面 CB1D1 AH 的延长线经过点 C1直线 AH 和 BB1 所成角为 45解析:因为三棱锥 A A1BD 是正三棱锥,故顶点A 在底面的射映是底面中心, A 正确;面 A1BD 面CB1D1,而 AH 垂直平面 A1BD ,所以 AH 垂直平面 CB1D1 , B 正确;根据对称性知 C 正确。选 D10、如图,在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中,底面为直角三角形,ACB 90 ,AC6,BCCC1 2 ,P是 BC 1上一动点,则 CPPA1 的最小值是 解:连 A1B,沿 BC1将 CBC 1展开与 A1BC1在同一个平面内,如图所示, 连
13、A1C,则 A1C 的长度就是所求的最小值。通过计算可得 A1C1C90 又 BC1C 45A1C1C135 由余弦定理可求得 A1C 5 2C1CB1 11、如图,在三棱锥 S ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC均为等边三角形, BAC 90, O为BC中点。 证明:SO 平面 ABC 。C证明:()由题设 AB=AC=SB=SC SA,连结 OA , ABC 为等腰直角三角形,所以 OA OB OCSA ,且 AO BC ,又 SBC 为等腰三角形,故 SO BC ,且 SO2 SA ,从而 OA2222SO2 SA2 所以 SOA 为直角三角形, SO AO 又 AO BO O 所
14、以 SO 平面 ABC 12、 如图, A, B, C, D为空间四点在 ABC 中, AB 2,AC BC 2 等边三角形 ADB 以 AB 为轴运动)当平面 ADB 平面 ABC 时,求 CD ; )当 ADB 转动时,是否总有 AB CD ? 证明你的结论解:()取 AB的中点 E,连结 DE,CE , 因为 ADB 是等边三角形,所以 DE AB 当平面 ADB 平面 ABC 时, 因为平面 ADB 平面 ABC AB , 所以 DE 平面 ABC , 可知 DE CE由已知可得 DE3,EC 1,在RtDEC 中,CDDE 2 EC2 2()当 ADB以AB为轴转动时,总有 AB C
15、D 证明:()当 D 在平面 ABC 内时,因为 AC = BC, AD BD , 所以 C, D 都在线段 AB 的垂直平分线上,即 AB CD ()当 D 不在平面 ABC 内时,由()知 AB DE 又因 AC BC ,所以 AB CE 又 DE, CE 为相交直线,所以 AB 平面 CDE ,由 CD 平面 CDE ,得 AB CD 综上所述,总有 AB CD 13、如图,在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中,已知DC DD1 2AD 2AB, AD DC,AB DC 。1)求证: D1C AC1 ;2)设 E是DC 上一点,试确定 E的位置,使 D1E平面 A1BD ,并说明理由。1)证明:在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中,连结 C1D , DC DD1 ,四边形 DCC1D1 是正方形DC1 D1C 又 AD DC , AD DD1, DC DD1 D ,5 / 6AD 平面 DCC1D1 ,D1C 平面 DCC1D1 ,AD D1C AD,DC1 平面 ADC1 ,且 AD DC D ,D1C 平面 AD
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