导数中的端点效应专题

1、导数中的端点效应专题1.已知函数 f ( x ) =( x +1)ln x -a ( x -1).（i）当 a =4 时，求曲线 y = f ( x )在(1,f (1)处的切线方程；(ii)若当x (1,+)时，f(x )0 ，求 a 的取值范围.2.已知 r，函数 f (x)exex(xlnxx1)的导函数为 g(x) （1）求曲线 yf (x)在 x1 处的切线方程；（2） 若函数 g (x)存在极值，求 的取值范围；（3） 若 x1 时，f (x)0 恒成立，求 的最大值3.已知函数f ( x) =( x +1)ln x -ax +a （ a 为正实数，且为常数）.（1）若函数f (

2、x)在区间(0, +)上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若不等式( x -1) f ( x) 0恒成立，求实数a的取值范围.1答案1.试题分析：（）先求定义域，再求 f(x) ， f (1) ， f (1)，由直线方程得点斜式可求曲线 y = f ( x ) 在 (1, f (1) 处 的 切 线 方 程 为2x +y -2 =0.（ ） 构 造 新 函 数g ( x ) =ln x -a ( x -1) x +1，对实数a分类讨论，用导数法求解.试题解析：（i） f ( x)的定义域为 (0, +).当 a =4 时，f ( x ) =( x +1)ln x -4( x -1), f(x

3、) =ln x +1x-3 ， f(1) =-2, f (1) =0. 曲线 y = f ( x)在 (1, f (1)处的切线方程为2x +y -2 =0.（ii）当 x (1,+)时， f ( x ) 0等价于 ln x -a ( x -1) x +10.令g ( x ) =ln x -a ( x -1) x +1，则g1 2 a x 2 +2(1 -a ) x +1 (x) = - =x ( x +1)2 x( x +1)2, g (1) =0，（i）当a 2， x (1,+)时，x2 +2(1 -a ) x +1 x 2-2 x +1 0，故 g(x) 0, g ( x )在x (1,

4、+)上单调递增，因此 g ( x ) 0；（ii）当a 2时，令 g(x) =0得x =a -1- ( a -1)2 1-1, x =a -1+ ( a -1)2 2-1，由x 1 和 x x =1 得 x 1 ，故当 x (1, x ) 时，g 2 1 2 1 2(x) 0 ， g ( x) 在 x (1,x )2单调递减，因此 g ( x) 0.综上，a的取值范围是(-,2 .考点：导数的几何意义，函数的单调性.2.解：（1）因为 f(x)exelnx，所以曲线 yf (x)在 x1 处的切线的斜率为 f(1)0， 又切点为(1，f (1)，即(1，0)，所以切线方程为 y02e00（2）

5、g (x)exelnx，g(x)ex x当 0 时，g(x)0 恒成立，从而 g (x)在(0，)上单调递增，故此时 g (x)无极值 当 0 时，设 h(x)ex ，则 h(x)ex 0 恒成立，x x2所以 h(x)在(0，)上单调递增当 0e 时， h(1)e0，h( )e e e0，且 h(x)是(0，)上的连续函数，因此存在唯一的 x ( ，1)，使得 h(x )0e当 e 时，h(1)e0，h()e10，且 h(x)是(0，)上的连续函数，因此存在唯一的 x 1，)，使得 h(x )00 0故当 0 时，存在唯一的 x 0，使得 h(x )00 0且当 0xx 时，h(x)0，即

6、g(x)0，当 xx 时，h(x)0，即 g(x)0，0 0所以 g (x)在(0，x )上单调递减，在(x ，)上单调递增，0 0因此 g (x)在 xx 处有极小值0所以当函数 g (x)存在极值时， 的取值范围是(0，) （3）g (x)f(x)exelnx，g(x)ex x若 g(x)0 恒成立，则有 xex 恒成立设 (x)xex(x1)，则 (x)(x1) ex0 恒成立，所以 (x)单调递增，从而 (x)(1)e，即 e于是当 e 时，g (x)在1，)上单调递增，此时 g (x)g (1)0，即 f(x)0，从而 f (x)在1，)上单调递增 所以 f (x)f (1)0 恒成

7、立当 e 时，由（2）知，存在 x (1，)，使得 g (x)在(0，x )上单调递减，0 0即 f(x)在(0，x )上单调递减0所以当 1xx 时，f(x)f(1)0，0于是 f (x)在1，x )上单调递减，所以 f (x )f (1)00 0这与 x1 时，f (x)0 恒成立矛盾3因此 e，即 的最大值为 e 3.（1） f ( x ) =( x +1)ln x -ax +a ， f(x) =ln x +x +1x-a .因 f ( x) 在 (0, +)上单调递增，则 f(x) 0 ， a ln x +1x+1 恒成立.令 g( x ) =ln x +x1xx -1+1 ，则 g

8、(x) = ，x2(0,1)1(1,+)g(x) g ( x )减0极小值增因此， g( x ) =g (1) =2 ，即 0 a 2 . min（2）当 0 a 2 时，由（1）知，当 x (0, +)时， f ( x ) 单调递增.又 f (1) =0 ，当 x (0,1) ， f ( x) 0 . 故不等式 ( x -1) f ( x ) 0 恒成立若 a 2 ， f(x) =x ln x +(1 -a ) x +1x，设 p ( x) =x ln x +(1-a ) x +1 ，令 p (x) =ln x +2 -a =0 ，则 x =ea -2 1 . 12 分当 x (1,ea -2) 时， p(x) 0 ， p ( x ) 单调递减，则 p ( x ) p(1) =2 -