郭氏数学-圆的切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

1、郭氏数学 - 圆的切线长定理、弦 切角定理、切割线定理、相交弦 定理郭氏数学内部资料切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点 和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一 条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条 直线，它不可以度量长度。2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条 切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平 行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外 一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等 腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切 线的夹角与过切点的两个半径的

2、夹角互补；（5）圆 外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切 线所夹的角。2郭氏数学内部资料3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和 圆相切的角。直线 ab 切o 于 p，pc、pd 为弦，图中几个 弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。7.与圆有关的比例线段定理 图形 已知 结论 证法相 交 o 中，ab、papb 连结 ac、bd， 弦 定 cd 为弦，交 pcpd. 证 ： 理 于 p. apcdpb.3郭氏数学内部

3、资料 相 交弦 定理 的推论o 中，ab 为 pc2 用 相 交 弦 定 直径，cdab papb. 理.于 p.切 割o 中，pt 切 pt2 连结 ta、tb，线 定理切 割线 定o 于 t，割 papb 证 ： 线 pb 交o ptbpa 于 a tpb、pd 为o papb 过 p 作 pt 切 的两条割线，pcpd o 于 t，用理 推交o 于 a、c两 次 切 割 线论圆 幂定理定理o 中，割线 pcpd 延长 po 交 pb 交o 于 r2 o 于 m，延 a，cd 为弦 op2 长 op 交opapb 于 n，用相交op2r2弦定理证；过r 为o 的 p 作切线用切 半径 割

4、线 定 理 勾股定理证8.圆幂定理：过一定点 p 向o 作任一直线，交o 于两点，则自定点 p 到两交点的两条线段之积为常4郭氏数学内部资料数| |（r 为圆半径），因为叫做点对于o 的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。【典型例题】例1.如图1，正方形 abcd 的边长为1，以 bc 为直径。 在正方形内作半圆 o，过 a 作半圆切线，切点为 f， 交 cd 于 e，求 de：ae 的值。5郭氏数学内部资料图1解：由切线长定理知：afab1，efce 设 ce 为 x，在 rtade 中，由勾股定理6郭氏数学内部资料，7郭氏数学内部资料例2.o 中的两条弦 ab 与 cd 相交于 e，若 ae

5、6cm ， be2cm，cd7cm，那么 ce_cm 。图2解：由相交弦定理，得 aebecedeae6cm，be2cm，cd7cm ，8郭氏数学内部资料 ，即ce3cm 或 ce4cm。故应填3或4。点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两 种情况的取舍。例 3. 已知 pa 是圆的切线， pcb 是圆的割线，则9郭氏数学内部资料_ 。解：pp pacb， pacpba，10郭氏数学内部资料 。又pa 是圆的切线，pcb 是圆的割线，由切割线 定理，得11郭氏数学内部资料 ，即 ，故应填 pc。点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形， 推出所需结论。例4.如图3，p 是o 外一点，pc

6、切o 于点 c，pab 是o 的割线，交o 于 a、b 两点，如果 pa：pb 1：4，pc12cm，o 的半径为10cm，则圆心 o 到 ab 的距离是_cm 。12郭氏数学内部资料图3解：pc 是o 的切线，pab 是o 的割线，且 pa：pb1：4pb4pa又pc12cm由切割线定理，得13郭氏数学内部资料，pb4624（cm）14郭氏数学内部资料ab24618（cm） 设圆心 o 到 ab 距离为 d cm， 由勾股定理，得故应填 。例5.如图4，ab 为o 的直径，过 b 点作o 的切线 bc，oc 交o 于点 e，ae 的延长线交 bc 于点 d，（1）15郭氏数学内部资料求证：厘

7、米，求 ce、cd 的长。；（2）若 abbc2图4点悟：要证 ，即要证cedcbe。 证明：（1）连结 be16郭氏数学内部资料（2）17郭氏数学内部资料。又 ，厘米。点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，18郭氏数学内部资料为利用弦切角定理创造条件。例6.如图5，ab 为o 的直径，弦 cdab，ae 切o 于 a，交 cd 的延长线于 e。图5求证：证明：连结 bd， ae 切o 于 a， eadabd aeab，又 abcd， aecd ab 为o 的直径19郭氏数学内部资料adb90 eadb90 adebadcdab20郭氏数学内部资料adbc，例7.如图6，pa、pc 切o

8、 于 a、c，pdb 为割线。 求证：adbccdab21郭氏数学内部资料图6点 悟 ： 由 结 论 adbc cdab得，显然要证padpba和pcdpbc证明：pa 切o 于 a，padpba又apdbpa，padpba22郭氏数学内部资料同理可证pcdpbcpa、pc 分别切o 于 a、c papc23郭氏数学内部资料adbcdcab例8.如图7，在直角三角形 abc 中，a90，以 ab 边为直径作o，交斜边 bc 于点 d，过 d 点作o 的切线交 ac 于 e。图7求证：bc2oe。点悟：由要证结论易想到应证 oe 是abc 的中 位线。而 oaob，只须证 aece。证明：连结

9、od。acab，ab 为直径24郭氏数学内部资料ac 为o 的切线，又 de 切o 于 deaed，oddeobod，bodb在 rtabc 中，c90b ode90cedcedecaeec oe 是abc 的中位线bc2oe一、选择题1.已知：pa、pb 切o 于点 a、b，连结 ab，若 ab8，弦 ab 的弦心距3，则 pa（ ）25郭氏数学内部资料a.b.5 d. 82.下列图形一定有内切圆的是（ ） a. 平行四边形矩形c.b.c.d. 梯形菱形3.已知：如图1直线 mn 与o 相切于 c，ab 为直 径，cab40，则mca 的度数（ ）26郭氏数学内部资料图1a. 50 b. 4

10、0c. 60 d. 554.圆内两弦相交，一弦长 8cm 且被交点平分，另 一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（ ）a. 8cm b. 10cmc. 12cm d. 16cm5. 在 abc 中 ， d 是 bc 边 上 的 点 ，ad ，bd 3cm ，dc 4cm ， 如果 e 是 ad 的延长线与abc 的外接圆的交点，那 么 de 长等于（ ）27郭氏数学内部资料a.b.c.28郭氏数学内部资料d.6. pt 切o 于 t，ct 为直径，d 为 oc 上一点， 直线 pd 交o 于 b 和 a，b 在线段 pd 上，若 cd2， ad3，bd4，则 pb 等于（ ）a. 20 b. 1

11、0c. 5 d.二、填空题7. ab 、cd 是o 切线，abcd，ef 是o 的切 线，它 和 ab 、 cd 分别交于 e 、 f ，则 eof _ 度。7. 已知：o 和不在o 上的一点 p，过 p 的直线29郭氏数学内部资料交o 于 a、b 两点，若 papb24，op5，则o 的半径长为_。9.若 pa 为o 的切线，a 为切点，pbc 割线交o于 b、c，若 bc20， ，则 pc 的长为_。10.正abc 内接于o，m、n 分别为 ab、ac 中 点，延长 mn 交o 于点 d，连结 bd 交 ac 于 p，则_ 。三、解答题11.如图2，abc 中，ac2cm ，周长为8cm ，f、 k、n 是abc 与内切圆的切点， de 切o 于点 m，30郭氏数学