第三讲 等腰三角形与直角三角形

1、第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 第第3讲等腰三角形与直角三角形讲等腰三角形与直角三角形 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 了解 角平分线与线段垂直平分线的定义与性质； 等腰三角形与直角三角形的概念. 理解等腰三角形与直角三角形的性质. 掌握等腰三角形与直角三角形的概念、性质和判定. 熟练掌握 应用等腰三角形的性质和判定解决问题； 勾股定理及逆定理. 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 一、概念一、概念 1等腰三角形：有_相等的三角形叫等腰三角 形 2等边三角形：_的三角形是等边三角 形 3直角三角形：有一个角是_的三角形是直角 三角形 两边

2、 三边都相等 直角 友情提示： 等边三角形是特殊的等腰三角形 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 二、性质二、性质 1等腰三角形的性质 (1)两个底角_ (2)等腰三角形的_，_，_ _互相重合，简称“_” (3)等边三角形的三个内角都_，并且每一个内 角都等于_ (4)等腰三角形是_对称图形 相等 顶角平分线 底边上的高线 底边的中线 三线合一 相等 60 轴 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 2直角三角形的性质 (1)两个锐角_ (2)勾股定理：_ _ (3)斜边上的中线等于斜边的_ (4)30角所对的直角边等于_ 互余 直角三角形两条直角边的平方和 等于

3、斜边的平方 一半 斜边的一半 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 三、判定三、判定 1等腰三角形的判定 (1)有两条边_的三角形是等腰三角形 (2)有两个_相等的三角形是等腰三角形 2等边三角形的判定 (1)有一个角等于_的等腰三角形是等边三角形 (2)三条_都相等的三角形是等边三角形 (3)三个_都相等的三角形是等边三角形 相等 角 60 边 角 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 3直角三角形的判定 (1)有一个角是_的三角形是直角三角形 (2)有两角_的三角形是直角三角形 (3)如果三角形一边上的_等于这边的一半， 则该三角形是直角三角形 (4)勾股定理的

4、逆定理： _ _ 直角 互余 中线 如果一个三角形的两条边的平方和等于第三条边的平方， 那么这个三角形是直角三角形 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 友情提示友情提示 勾股定理是直角三角形的性质，即先有直角三角形， 再有其两直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理的逆 定理是直角三角形的判定，它是由“两边的平方和等于第 三边的平方”判定符合这个条件的三角形是直角三角形 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 四、两对重要的互逆定理四、两对重要的互逆定理 1角平分线上的点到_相等； 到_在这个角 的平分线上 2线段垂直平分线上的点到_ _相等；到一条线段两个端点距离相

5、等的点在_ _ 这个角的两边的距离 一个角的两边的距离相等的点 这条线段的两个端点的距离 这条线段的垂直平分线上 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 1若等腰三角形中有一个角等于50，则这个等腰三 角形的顶角度数为 () A50B80 C65或50 D50或80 解析：因为50可作为等腰三角形的顶角或一底角，故选D. D 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 2下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定 具有的是 () A两边之和大于第三边 B有一个角的平分线垂直于这个角的对边 C有两个锐角的和等于90 D内角和等于180 解析：A、D选项等腰三角形与直角三角形

6、都具有，C 选项直角三角形具有但等腰三角形不一定具有，B选项等腰 三角形具有而直角三角形不一定具有，故选B. B 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 3已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则下列四 个数中，第三条边的长是 () A8B7C4D3 解析：等腰三角形中已知两边长为7和3，那么第三边 可能是3和7，而根据三角形两边之和大于第三边，3、3、7 不能构成三角形，故选B. B 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 4在RtABC中，ACB90，D是AB的中点，CD 4cm，则AB_. 解析：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一 半，CD4cm，所以AB2

7、CD8cm. 8cm 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 5如图431， BD是ABC的角平分线， ABD36，C 72，则图中的等腰三 角形有_个 3 解析：题图中有3个等腰三角形：ABD、BCD、 ABC. 6一个直角三角形两边长分别为3、4，则第三边的长 是_ 图431 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 7如图432，在RtABC中，C90，A 30，BD是ABC的平分线，AD20，求BC的长 图432 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 解：RtABC中 C90，A30 ABC60 BD平分ABC ABDDBC30 ABDA AD20

8、BD20 在RtBDC中 C90，DBC30 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 应用等腰三角形的性质时，首先要注意三角形形成的 条件：任意两边之和大于第三边；其次要注意顶角和底角 (或顶角的外角和底角的外角)关系，看是否符合三角形内角 和定理，当题目指向不明时，一定要采取分类讨论的思想， 这也是近几年中考中的主要考查内容之一，多以选择题、 填空题的形式出现 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 【例1】若等腰三角形的一个外角为50，则它的顶角 为_，若将“50”改为“110”呢？ 思路分析：当50为等腰三角形顶角的外角时，顶角 为130；当50为等腰三角形底角的

9、外角时，底角为130 ，而1302260180，这不可能，故顶角为130 ；而当把“50”改为“110”时，两种情况均符合 答案：13070或40 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 【例2】一个等腰三角形的两条边长分别为4cm和6cm， 则它的周长为 () A12cmB14cm C16cmD14cm或16cm 思路分析：当等腰三角形的底边长为4cm时，它的周长 为46616cm；当等腰三角形的底边长为6cm时，它的 周长为44614cm，故选D. 答案：D 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 确定一个三角形的形状为等腰三角形，可利用其判定 定理直接证明有两边相

10、等，或证明有两角相等，必要时可 添加适当的辅助线利用全等加以证明 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 【例3】(2010德州)如图433，点E、F在BC上，B ECF，AD，BC，AF与DE交于点O. (1)求证：ABDC； (2)试判断OEF的形状，并说明理由 图433 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 思路分析：由BECF得BFCE，所ABFDCE，故A BDC，判断OEF的形状可由ABFDCE知AFBDE C，所以OEOF. (1)证明：BECF BEEFCFEF 即BFCE 又AD，BC ABFDCE(AAS) ABDC 第四章第四章 图形的认识与三角

11、形图形的认识与三角形 (2)解：OEF为等腰三角形 理由如下： ABFDCE AFBDEC OEOF OEF为等腰三角形 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 等边三角形是特殊的等腰三角形，其判定常常先证明 等腰三角形，再说明有一个角为60，此外，还可以证明 三边相等或三角相等，总之应根据具体情况灵活选择才能 快速地解决等边三角形问题 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 【例4】已知，如图434，点C是线段AB上的任意 一点(C点与A、B点不重合)，分别以AC、BC为边在直线AB 的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交 于点M，BD与CE相交于

12、点N. (1)求证：AEBD； (2)求证：MNAB； (3)若AC3cm，CB5cm，求MN的长 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 思路分析：(1)利用等边三角形的性质和SAS定理，便 可证ACEDCB，从而AEBD. (2)可通过MNCECB来证假设MNCECB. ECB60，MNC应为60，而CMN应为等边三角形， 故只要证MNC为等边三角形便可根据等边三角形的判定 证MCCN，只需证ACMDCN. 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 (1)证明：ACD和BCE为等边三角形 ACCD，CECB，且ACDCEB60 ACDDCEECBDCE 即ACEDCB

13、 在ACE和DCB中 ACDC，ACEDCB，CECB ACEDCB，AEBD 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 (2)证明：ACEDCB CAMCDN ACDECB60 DCN180ACDECB60 在ACM和DCN中 CAMCDN，ACDC，ACMDCN ACMDCN，CMCN 又MCN60 MCN为等边三角形 MNCECB60 MNAB 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 在RtABC中，C90，则AB90，a2 b2c2，若CD为斜边AB的中线，则CDAB，反之，若a、b、 c为ABC的三边，且a2b

14、2c2，则ABC为直角三角形； 若AB90，则ABC为直角三角形；若CD为AB C的AB边上的中线，且CDADBD，则ABC为直角三角 形 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 【例5】如图435，在四边形ABCD中，D90， AB12，CD3，DA4，BC13，求S四边形ABCD. 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离 相等， 因此，解决有关线段垂直平分线的题目时，常连接线 段的端点和垂直平分线上的点，构造等腰三角形得线段或 角相等 第四章第四章 图形的认识与三角形

15、图形的认识与三角形 【例6】在ABC中，ABAC，AB的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为40，则B_. 思路分析：AB的垂直平分线可以与线段AC相交，也可 以与直线AC相交，或根据ABC的顶角为锐角、钝角进行 分类讨论 答案：65或25 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，它是证 明角相等、线段相等的重要依据；三角形的角平分线交于 一点，这一点是三角形内切圆的圆心，也可叫做三角形的 内心 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 【例7】如图437，AD是ABC的角平分线，DE AB，DFAC，垂足分别是E、F，连接

16、EF，交AD于点G， 说出AD与EF之间有什么关系？证明你的结论 思路分析：两条线段之间的关系有位置和数量两种关 系，因此我们可以从这两个方面去猜测判断，由题意知DE DF，故RtDEA RtDFA，所以ADEADF， 再进一步证明DGE DGF即可知EFAD，且EGFG. 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 1如图438，在ABC中，BC5cm，BP、CP分 别是ABC和ACB的角平分线，且PDAB，PEAC，则 PDE的周长是() A3cmB6cm C2.5cmD5cm 解析：PDAB，DPBABP， ABPPBD，PBD

17、BPD， PDBD，同理，PECE， PDDEPEBDDECEBC5cm. D 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 B 图4-3-9 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 3若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25， 则该三角形的一底角为 () A32.5 B57.5 C65或57.5 D32.5或57.5 D 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 4(2010武汉)如图4310，ABC内有一点D，且 DADBDC，若DAB20，DAC30，则BD C的大小是 () A100 B80 C70 D50 解析：由DADBDC知DBADAB20，D CADAC30，故BDC180(180202 302)100. A 第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角