专题4.15 一元一次方程解题方法与技巧-2020-2021学年七年级数学上册基础知识专项讲练

1、专题4.15 一元一次方程解题方法与技巧（知识讲练）一、去括号的技巧 解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由里到外逐层去括号，但有时这样做不一定能简化运算因此，应根据方程的结构特点，灵活运用恰当的去括号的方法，以达到计算简便准确的目的 对于多重括号，既可以按由内向外的顺序去括号，也可以按由外向内的顺序去括号，有时依据题目的数字特点，采用由外向内的顺序依次去括号，会使方程的变形更为简洁. 有些去括号问题，按常规方法求解，往往带来繁杂的运算，如能根据题目的特点巧用“整体思维”，就能算得又快又准，得到事半功倍的效果此外，当括号前的系数较大，且各项均含有相同的因式时，也可从整体上把握，并逆用分配律，

2、可使方程求解过程更为简单【例1】解方程：(1)； (2)；(3)78(x-3)-63(6-2x) =88(7x-21).【解析】(1)去中括号，得去小括号，得移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 x= -8. (2)原方程可化为 去中括号，得 移项、整体合并，得 系数化为1，得 (3)原方程可化为 78(x-3)+632(x-3)-887(x-3)=0.逆用分配律，得 (78+126-616)(x-3)=0解得 x=3【变式1】解方程：二、 转化变形解方程技巧在解题过程中，我们往往不是对问题进行正面的、直接的破解，而是把问题进行恰当地变形转化，直到把它化为某个熟悉的或已经解决了的问题这种解

3、决问题的思想方法就是转化的思想方法转化思想是初中数学中常见的思想方法，它能够将复杂的问题转化为简单的问题，将生疏的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题事实上，解一元一次方程就是利用方程的同解原理，将复杂的方程转化为简单的方程直至求出它的解来 【例4】解方程：(1)； (2)； (3)； (4). 【解析】(1)经观察，不必去分母，直接移项，得合并同类项，得y=-l(2) 把分母相同的进行搭配，得，即，所以x-1=0， 解得x=1.(3) 约分即化简，原方程可化为，故y=0 (4)移项，得. 两边分别通分，得 化简，得，解得x=1 【点评】从求解过程可以发现，当直接采用通分去分母较

4、难时，可以换一种思维方式，合理地选取方法，打破常规，从而达到化繁为简、化难为易的目的三、题型分类解题方法分子分母中含有小数系数的方程， 此类方程的解法，一般运用分数的基本性质，将小数系数化成整数，再根据一元一次方程解法的基本步骤进行【题型1】解分子分母中含有小数系数的方程 此类方程的解法，一般运用分数的基本性质，将小数系数化成整数，再根据一元一次方程解法的基本步骤进行.【错例问诊】【例】解方程：. 【错解】原方程可变为 （下略）【错因】此解法将分数的性质与等式的性质混淆，把分子、分母（即分数）本身的变形误以为就是等式变形在使分子、分母扩大100倍的同时，不含分数的项也扩大了100倍，因此产生了

5、错误.【正解】原方程可化为. 去分母，得 4(50x+200)-12x=9(x+4)-131. 去括号，得 200x+800-12x=9x+36-131. 移项，得 200x-12x-9x=36-131-800. 合并同类项，得 179x=-895. 系数化为1，得 x= -5 【变式练习】依据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据 【解】原方程可变形为，( ) 去分母，得3(3x+5)=2(2x-l)，( ) 去括号，得9x+15 =4x-2，( ) ( )得9x-4x=-15-2，( ) 合并，得5x= -17，( )( )，得x=( )【题型2】同解方

6、程问题解一元一次方程的问题时，常常会出现两个一元一次方程的问题，即第一个方程的解也是第二个方程的解，或者说两个方程的解相同根据一元一次方程的特性只有一个解，分别求出每个方程的解，再让它们相等，往往又能建立新的未知数的方程，也可以将易求出的一个解代入到另一个方程中，从而使问题破解 有时还会出现一些变换形式的问题，如两个方程的解互为相反数、互为倒数或一个方程的根比另一个方程的根大1等等解答这些问题的方法基本相同，即先分别求出两个方程的解，再根据题意建立新的方程 【例5】已知方程4x -1=3x-2a与x+2a=4x+l的解相同，求a的值 【点拨】此题考查方程的解的概念，由于两个方程的解相同，因此用

7、字母a的代数式表示方程的解，构造含有字母a的方程，通过解方程确定字母a的值【解析】方法一 观察两个方程4x -1=3x -2a与x+2a=4x+l，用含a的代数式表示方程的解，即x=1-2a，x=，由于两个方程的解相同，因此得出关于a的一元一次方程，解得.方法二 可以看出方程4x-1=3x-2a即2a =3x-4x+l方程x+ 2a=4x+1，即2a=4x+1-x由于两个方程的解相同，因此这个解满足3x-4x+1=4x+l-x解方程得x=0所以2a=3x-4x+1=30-40+1=1，因此 【变式练习】若方程与关于x的方程的解相同，求a的值. 【例6】关于x的方程2(x-1)=3m-1与3x+

8、2=-2(m+1)的解互为相反数，求m的值 【点拨】运用两个方程的解互为相反数这一关系，可以构建一个关于m的一元一次方程 【解析】由2(x-1)=3m-1，解得； 再由3x+2= -2 (m+l)，解得. 因为两个方程的解互为相反数， 所以解得m=1总之，解题中要求学生先观察题型特点，再用适当的方法解题，达到高效解题的目的。1、解方程：（1） （2）（3） （4）（5） （6）【解析】 （1）去括号，得：移项，得：合并同类项，得： 系数化为1，得：则原方程的解为：（2）去括号，得：移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得： 则原方程的解为： （3）去分母，得：去括号，得：移项，得： 合并同

9、类项，得： 系数化为1，得： 则原方程的解为：（4）去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得： 则原方程的解为： （5）去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得： 则原方程的解为： （6）由题意得： 去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得： 则原方程的解为：2、 解方程： （1） （2）（3）【解析】 （1）原方程可化为：移项，得：合并同类项，得：系数化为1，得：则原方程的解为： （2）原方程可化为： 去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得： 则原方程的解为： （

10、3）原方程可化为： 去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得： 则原方程的解为： 【提示】考查分子分母含小数的一元一次方程的解法3、 用多种方法解方程【解析】 （法1）：从内向外去括号去小括号，得：，再去小括号，得：，再去小括号，得：，移项、合并同类项，得：系数化为1，得：则原方程的解为：（法2）：从外向内去括号，去大括号，得：，去中括号，得：，去小括号，得：，移项、合并同类项，得：系数化为1，得：则原方程的解为：（法3）：多次去分母，两边同乘以2，得：，两边同乘以2，得：，两边同乘以2，得：，移项合并同类项，得：系数化为1，得：则原方程的解为：【提示】观察题目特点选择合理的途径4、解方程：（1）（2）（3）（4）【解析】 （1）所以；（2），解得（3）由题， ，因为，故（3）方法一：，方法二：，【提示】先观察后计算第（1）个小题，左右对称；第（2）个小题，裂项；第（3）个小题，左边是5项，右边是5；第（4）个，分母可以约掉35、解方程：（1） （2）（3） （4）（5）【解析】 （1）去括号，得： 移项，得：合并同类项，得：系数化为1，得：则原方程的解为： （2）去分母，得：