三角形的外心内心垂心重心

1、三角形的外心内心垂心重心三角形的“四心所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心.一、外心【定义】三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心.ABC的重心一般用字母0表示.【性质】1外心到三顶点等距，即OA = OB = 0C2 外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即 OD 丄 BC,OEA.4C,OF 丄/3.ZJ = -ZBOC,ZB = LOC,ZC = -ZAOB 2 2 2二、内心【定义】三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心.MBC的C内心一般用字母/表示.【性质】1 内心到三角形三边等

2、距，且顶点与内心的连线平分顶角.2三角形的面积=三角形的周长x内切圆的半径.23. AE = AF. BF = BD, CD = CE ；AE + BFCD =三角形的周长的一半.44一90。+存,8“90。+护,W9O +C三、垂心【定义】三角形三条高的交点叫重心.ABC的重心一般用字母H表示.A【性质】1 顶点与垂心连线必垂直对边，即 AH 丄 BC、BH 丄 AC,CH 丄 AB.2.A ABH的垂心为C, NBHC的垂心为/ACH的垂心为3 四、重心【定义】三角形三条中线的交点叫重心AJBC的重心一般用字母G表示.【性质】1 顶点与重心G的连线必平分对边.2重心定理：三角形重心与顶点的

3、距离等于它与对边中点的距离的2倍.即 GA = 2GD, GB = 2GE, GC = 2GF3 .重心的坐标是三顶点坐标的平均值. 即总二邑逬竺，儿=2匕严I I I (2) PG = -(PA + PB + PC),5 SGC = SCG/l=S“gbMBC4向量性质：(1) GA + GB + GC = O；三角形“四心”的向量形式：结论1：若点O为ABC所在的平面内一点，满足OAOB = OBOC = OCOAt则点。为MBC的垂心.结论2：若点O为AABC所在的平面内一点，满足OA +BC2 =OB -CA =OC7B f 则点 O为ABC 的垂心.结论3：若点G满足GA + GBG

4、C = Of则点G为ABC的重心.结论4：若点G为ABC所在的平面内一点，满足OG = -(OAOB + OC)t则点G为ABC的重心.结论5：若点/为AJBC所在的平面内一点，并且满足a H + b用+ c丘=6(其中a,b,c为三角形的三边)，则点/为AABC的内心.结论6：若点O为MBC所在的平面内一点，满足( + OB) BA = (dB + OC) CB = (dc + OA) AC，则点 O为 ABC 的夕卜心. 结论7：设/lw(0,+oo),则向量仲=久(+ ),则动点P的轨迹过的 AB AC内心.向量和“心”一、 “重心”的向量风采【命题 1】 已知 G 是 ABC所在平面上

5、的一点，若 G A G B G C0，则 G 是 ABC 的重心如图 .A， B，P 满足 OP OA (AB AC) ， ( 0，图C是平面上不共线的三个点，动点），则 P 的轨迹定通过 ABC的重心 .解析】由题意AP (AB AC)，当( 0， )时，由于 (AB AC) 表示 BC边上的中线所在直线的向量，所以动点 .P的轨迹一定通过 ABC 的重心，如图、 “垂心”的向量风采命题 3】 P 是 ABC所在平面上一点，若 PA PB PB PC PC PA，则 P是 ABC 的垂心解析】 由 P A P B P B ，P得 P B( P A P) C 0，即 P B C A0 ，所以P

6、 BC A 同理可证 P C A ，B P AB C P 是 ABC 的垂心如图 .B图B命题 4】 已知 O是平面上一定点， A， B， C是平面上不共线的三个点，动点P 满足 OP OAAB AC ， （0， ） ，则动点 P 的轨迹一定 AB cos B AC cosC解析】由题意ABAC，由于AB c o sBACcosCAC c oC sAB BC AC BC 即 AABB cBosCB AACCcoBsCCBC CB 0 ,所以ACAP 表示垂直于 BC 的向量，即 P 点在过点 A且垂直于 BC 的直线上，所以动点 P通过 ABC 的垂心的轨迹一定通过 ABC 的垂心，如图 .三

7、、 “内心”的向量风采【命题 5】 已知 I 为 ABC所在平面上的一点，且 AB c，AC b，BC a若 aIA bIB cIC 0，则 I 是 ABC的内心 bAB cAC AIbcabc分别为 AB和 AC 方向上的单位向量，AI 与BAC平分线共线，即 AI 平分 BAC同理可证： BI 平分 ABC ， CI 平分 ACB 从而 I 是ABC的内心，如图 . 【命题 6】 已知O是平面上一定点， A， B， C是平面上不共线的三个点，动点P 满足， （ 0， ），则动点 P 的轨迹一定通过 ABC的内心解析】 由题意得 APACAC，当 （ 0， ）时，AP 表示 BAC 的平分线

8、所在直线方向的向量，故动点 P 的轨迹一定通过 ABC 的内心，如图 .四、 “外心”的向量风采【命题 7】 已知 O是 ABC 所在平面上一点，若OA2O B2O 2，C 则 O 是 ABC 的外心图22 2222 解析】 若O A O B O，C则图O A O BO C， O A O B O ，C则 O 是 ABC 的外心，如图 .命题 7】 已知O是平面上的一定点， A， B， C是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OPABABACACco sBc oC sO B OC2（ 0，），则动点 P 的轨迹一定通过 ABC的外心 .解析】由 于 O B O过C BC 的 中 点 ，2当（

9、，0时） ，ACA CcA C表示垂直于 BC 的向量，所以 P 在 BC 垂直平分线上， o s C动点 P 的轨迹一定通过 ABC 的外心，如图练习：1.已知 ABC三个顶点 A、B、C 及平面内一点P ，满足 PA PB PC0，若实数 满足： AB AC AP ，则 的值为（ ）3A2BC3D 622若 ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 1，OA OB OC 0，则OA OB （ ）A 1B0C12D3点 O在 ABC 内部且满足OA 2OB 2OC 0 ，则 ABC 面积与凹四边形ABOC 面积之比是（）35A 0BC 24D4 ABC 的外接圆的圆心为O，若OH OA OB OC，则H 是 ABC的（A外心B内心C重心D垂心2 2 25O是平面上一定点， A、B、C是平面上不共线的三个点， 若 OA BC OB2 2 2D垂心CA OC AB ，则 O是 ABC 的（ ） A外心B内心C重心6. ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H,OH m（OA OB OC） ，则实数 m =7(06陕西)已知非零向量 AB与AC满足(AB +AC ) BC=0且 AB AC =21 ,|AB| |AC|AB|