苏教版初三圆专题优选总结复习

1、无锡特人教育1 对 1 数学学科导学案 （第 1次课）教师 :柏鹤学生 :年级 :日期 :星期 :时段 :课题圆专题复习1：复习并掌握圆的相关知识点；教学目标2：掌握圆有关题型的解答思路和方法。教学重点圆的综合题型的解答。教学难点掌握圆相关题型的解题思路，能够做到举一反三。教学内容与过程（一）一、检查和评讲上次课课后作业二、简要回顾上次课内容教学内容与过程（二）三、本次课知识点梳理一、圆的概念集合形式的概念：1 、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2 、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3 、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：圆：到

2、定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点 c 在圆内；2、点在圆上dr点 b 在圆上；ad3、点在圆外dr点 a 在圆外；orbd三、直线与圆的位置关系c1、直线与圆相离dr无交点；2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；1r外切（图相交（图内切（图内含（图drd=rrd四、圆与圆的位置关系外离（图 1）无交点drr ；2）有一个交点drr ；3）有两个交点rrdr r ；4）有一个交点drr；5）无交点drr；dr图 4rdddrrrrr图 1图 2图 3d rr五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平

3、分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（此弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；图 5（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它3 个结论，即： ab 是直径 ab cd ce de 弧 bc 弧 bd 弧 ac 弧 ad推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在 o 中， ab cd 弧 ac 弧 bd六、圆心角定理cdoab圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相

4、等。 此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1 个相等，则可以推出其它的3 个结论，即：aobdoe ； abde ； ocof ； 弧 ba弧 bdcboa七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：aob 和acb 是弧 ab 所对的圆心角和圆周角 aob 2 acb2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在 o 中， c 、 d 都是所对的圆周角 cd2cbdcaoboa推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在 o

5、中， ab 是直径或c90c90 ab 是直径推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在 abc 中， oc oa ob abc 是直角三角形或c90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于b斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 c 即：在 o 中，四边形 abcd 是内接四边形cbad 180bd 180caoddaec九、切线的性质与判定定理bae（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径 外端且垂直半径，二者缺一不可即： m

6、n oa 且 mn 过半径 oa 外端o mn 是 o 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）man推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等， 这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。bop即： pa 、 pb 是的两条切线 papb po 平分bpa十一、圆幂定理（1）相交弦定理 ：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在 o 中，弦 ab 、 cd

7、相交于点 p ，adb o p pa pbpcpd（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在 o 中，直径 abcd ， ce 2ae becbacoeada（3）切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。de即：在 o 中， pa 是切线， pb 是割线pocb3 pa2 pc pb（4）割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线， 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在 o 中， pb 、 pe 是割线 pc pbpd pe十二、两圆公共弦定理a圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂

8、直并且平分这两个圆的的公共弦。如图： o1o2 垂直平分 ab 。o1o2ab即： o1 、 o2 相交于 a 、 b 两点cbo1 o1o2 垂直平分 abo2十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长： rt o1o2c 中， ab2co12o1o22co22 ；cco2 是半径之差； 内公切线长： co2 是半径之和 。o十四、 圆内正多边形的计算bad（1）正三角形在 o 中 abc 是 正 三 角 形 ， 有 关 计 算 在 rtbod 中 进 行 ：od : bd : ob1:3 : 2 ；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在rtoae 中进行， oe : ae :

9、oa1:1:2 ：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在rtoab 中进行， ab : ob : oa1:3 : 2 .bcoaedob十五三角形外接圆内切圆a三角形一定有外接圆， 其他的图形不一定有外接圆。三角形的外接圆圆心是三边的垂直平分线的交点。三角形外接圆圆心叫外心锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形斜边中点上。钝角三角形外心在三角形外。有外心的图形，一定有外接圆( 各边 中垂线 的交点，叫做外心）外接圆圆心到三角形各个顶点的线段长度相等过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心在三角形中，三角形的外心不一定在三角形内部，可能在三角形外部（如钝角三角

10、形）也可能在三角形上（如直角三角形）过不在同一直线上的三点可作一个圆（且只有一个圆）4与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。三角形一定有内切圆，其他的图形不一定有内切圆，且内切圆圆心定在三角形内部。在三角形中， 三个角的 角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。内切圆的半径为r=2s c，当中 s 表示三角形的面积，c 表示三角形的周长。在直角三角形的内切圆中，有这样两个简便公式：1、两直角边相加的和减去斜边后除以2，得数是内切圆的半径。2、两直角边乘积除以直角三角形周长，得数是内

11、切圆的半径。1、 r=(a+b-c)/2（注： r 是 rt 内切圆的半径，a, b 是 rt 的 2个直角边， c 是斜边）2、 r=ab/ (a+b+c)a十六、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式osln r ；1、扇形：（1）弧长公式： l180b（2）扇形面积公式：sn r21 lr3602n ：圆心角r ：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长s ：扇形面积2、圆柱：add1（1）圆柱侧面展开图母线长r 2s表s侧 2s底 =2 rh 2b底面圆周长cc1（2）圆柱的体积： vr 2h（2）圆锥侧面展开图（1） s表 s侧 s底 =rrr 2（2）圆锥的体积： v1r 2h3圆锥的侧面展开图

12、的弧长等于圆锥的底面周长；圆锥的底面半径，高组成直角三角形，可利用勾股定理求解母线长，b1orcarb5四、典型例题讲解或例文分析点与圆的位置关系1. 已知四边形 abcd是菱形，设点 e、f、g、h是各边的中点，试判断点 e、f、g、h 是否在同一个圆上，为什么？又自 ac、bd的交点 o向菱形各边作垂线，垂足分别为 m、n、p、q点，问 : 这四点在同一个圆上吗 ?为什么？2. 已知 o的直径为 16 厘米，点 e 是 o内任意一点，（1）作出过点 e 的最短的弦；（ 2）若 oe=4厘米，则最短弦在长度是多少？垂径定理1. 如图，在 o中，弦 ab=2a，点 c是弧 ab 的中点， cd

13、 ab,cd=b,则 o的半径 r=_.2.o1 与 o2 相交于点 a、 b，过点 b 作 cdo1 o2 , 分别交两圆于点c、 d.求证 :cd= 2o1o263. 如图 7-12 ，圆管内，原有积水平面宽 cd=10厘米，水深 gf=1厘米，后水面上升 1 厘米（即 eg=1厘米），问：些时水面宽 ab为多少 ?圆心角、圆周角1. 如图，设点 p 是 o 的直径 ab上的一点，在 ab的同侧由点 p 到圆上作两条线段 pq、pr，若 apq=bpr.求证： apq rpb.2若 ac= 6 ,bc= 3 ,2. 如图，ab是 o的直径，d 是 ab 的中点，cd交 ab于点 e，（！）

14、求证：ad=cd?de; (2)求 be的长。3. 如图， abc的高 ad、be交于点 m，延长 ad，交 abc外接圆于点 g,求证： d为 gm的中点。7圆的内接四边形1圆内接四边形abcd的一组对边 ab、dc的延长线相交于点p，求证： (1)pb?acpc?bd；(2) 点 p 到 ad的距离与点 p 到 bc的距离之比等于 ad:bc.2.四边形 abcd是 o的内接梯形， abbc,对角线 ac、bd相交于点 e. 求证： oe平分 bec.直线和圆的位置关系1. 如图， ab是 o的直径， bp切 o于点 b， o的弦 ac平行于 op。(1) 求证： pc是 o 的切线；(2

15、) 如果切线 pc和 ba的延长线相交于点 d，且 da等于 o的半径，求证： pbac .dpopo3 ，求 bc、ac、sabt .2. 如图， at切 o于点 t，cb为 o直径， bct=30,ct=83.ab 是 o的直径， cd ab,ad、db是方程 x2-5x+4=0 的两个根，求 cd的长。圆和圆的位置关系1.如图，互相外切的两圆o1 和 o2 都与 mpn的两边 pm、pn相切，若 mpn=60，则小圆半径r 1 和大圆半径 r 2 的比值为 _2. 如图， o1 与 o2 外切于 t 点，过点了的直线分别交两圆于点a、b， ao1t80， c是 o2 上任一点，则 tcb

16、=3. 如图， o和 o1 相交于 a、b 两点，一直线 cedf依次交 o于点 c、d，交 o1 于点 e、f，则 ead+ cbf_度五、课内巩固性练习91.（ 2011 福建福州）如图 ,以 o 为圆心的两个同心圆中 ,大圆的弦 ab 切小圆于点 c ,若 aob120 ,则大圆半径 r 与小圆半径 r 之间满足（）a r 3rb r 3r c r 2rd r 2 2 r2.（2011 山东东营）如图，直线y3 x3 与 x 轴、 y 分别相交与 a 、b 两点，圆心 p 的坐标为（ 1，30），圆 p 与 y 轴相切与点 o。若将圆 p 沿 x 轴向左移动，当圆p 与该直线相交时，横坐

17、标为整数的点 p的个数是（）a 2b3c4d 5（2011 四川广安）如图 l 圆柱的底面周长为6cm，ac是底面圆的直径， 高bc= 6cm，点 p 是母线bc3.上一点且 pc = 2bc 一只蚂蚁从 a 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点p 的最短距离是（）3a （ 46 ）cmb5cmc 3 5 cmd7cm4.（11 湘潭）兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知ab 16m，半径oa 10 m，高度 cd 为 _m5.（ 2011 四川宜宾）如图， pa、pb 是 o 的切线， a 、 b 为切点， ac 是 o 的直径， p=40，则bac=_106. 如果圆锥的底面周长是 20 ，侧面展开后所得的扇形的圆心角为 120，则圆锥的母线长是7.如图， c 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点 a 与点 b，点 a 的坐标（ 0，4）， m 是圆上一点， bmo=120 （1）求证： ab 为 c 直径（2）求 c 的半径及圆心 c 的坐标8.（ 11南昌）如图， ab 为 o的直径， cdab 于点 e ，交 o于点 d ， ofac 于点 f （ 1）请写出三条与 bc 有关的正确结论；cf（ 2）当 d 30 ， bc 1时，求圆中阴影部分的面积bao ed9.（2011 广东肇庆）已知：如图， abc 内接于 o，ab 为直径， cba 的平分线交 ac