21～22压轴大题抢分练一~六

1、第 1 页 共 17 页“2122”压轴大题抢分练 (一 )221.(本小题满分 15 分)已知椭圆 C：x4y21 的左、右焦点分别 是 F 1，F2，点 P 是椭圆 C上除长轴端点外的任一点， 连接 PF 1，PF 2， 设F1PF2的内角平分线 PM 交 C 的长轴于点 M (m,0)(1)求实数 m 的取值范围；(2)求|PF 1| |PM |的最大值2解： (1)设 P(x0，y0)(y00)，则x40y021，又 F1（ 3，0），F 2（ 3，0）,所以直线 PF 1，PF 2的方程分别为：1，lPF1：y0x （x0 3）y 3y0 0.lPF2：y0x （x0 3）y 3y0

2、 0.|my0 3y0|my0 3y0|所以 |m 3|m 3|2 x0 22 x0 2因为 3m 3， 2 x02，m 33 m3可得 3 3 ，所以 m4x0 2 3x04 23x0 2，424x0, x0 2 2 x022因此 32m23，所以实数 m 的取值范围为3，3 2， 2 .（2）因为|PF 1| x0 3 2y02|PM|3 2 23x204x0 2y20116 ，所以|PF 1| |PM |213x20316 8设 f（x） x2 x 2x0，得 2x 3；由 f (x)0 ，得 3x0)，若存在实数 m(2,3) ，使得当 x(0， m时，函数 G(x)的最大值为 G(m

3、)，求实数 a 的取值范围1 3 5解： (1)由已知条件得， F (x) ln x14x232x45，且函数定义域为 (0，)，所以 F 1 1 3(x)x2x2x1 x2 .2x .令 F (x) 0，得 x 1 或 x2，当 x 变化时， F(x)，F(x)随 x 的变化情况如下表：x(0,1)1(1,2)2(2，)F(x)00F(x)0ln 234所以当 x1 时，函数 F(x)取得极大值 F(1)0；当 x2 时，函数 F (x)取得极小值 F(2)ln 243.2(2)由条件，得 G (x) ln xax2(2a1)xa1，且定义域为 (0， )，第 3 页 共 17 页1所以 G

4、(x) x2ax(2a1)x1 2ax 1x.1 令 G(x)0，得 x1或 x1当 aa2时， (*) 式恒成立综上，实数 a 的取值范围是 (1ln 2， )“2122”压轴大题抢分练 (二 )21(本小题满分 15分)已知抛物线 x22py(p0)，点 M 是抛物线的准线与 y轴的交点， 过点 A(0， p)(R)的动直线 l 交抛物线于 B，C 两点(1)求证： MB MC 0，并求等号成立时实数(2)当 2 时，设分别以 OB，OC(O 为坐标原点 )为直径的两圆相交于另一点D，求|DO|2时，函数 G(x)在(0， )上单调递增，显然符合题意1 1 1 1当 2a1，即 0a0，得

5、 x2a或 0x1；由 G(x)0，得 1xG(1)，解得 a1 ln 2.11 又 0a12，所以 1ln 2a0 ，得 x1 或 0x2a；当 21a12时，1由 G(x)0，得 2ax1，所以函数 f(x)在 0，21a 和(1，)上单调递增， 在 21a，1 上单调递减，要存在实数 m(2,3)，使得当 x(0，m时， 函数 G(x)的最大值为 G(m)，则 G 21a 0.(*)g(a)ln(2a)41aln 21 ag (a) 1a 141a 0 恒成立，11故恒有 g(a)g 2 ln 220，的值；第 4 页 共 17 页|DA|的最大值解： (1)证明：由题意知动直线 l 的

6、斜率存在，且过点 A(0，p)，则可设动直线 l的方程 为 y kx ，p代入 xp p 2 2 2 p2（y1 y2） 4 2p p 22py，消去 y 并整理得 x22pkx2p20，22 4p2(k22)0，设 B（x1，y1）， C（x2，y2），则 x1x22pk，x1x2 2p2，2 2 2 2 2 y1y2（kx1p）（kx2 ）pk x1x2 k（px1x2）p p ，22y1 y2 k（x1 x2） 2p 2pk 2p 2p（k ）因为抛物线 x22py的准线方程为 y 2p，所以点 M 的坐标为0， 所以 MB x1，y12p ，MC x2，y22p， 所以 MB MC x

7、1x2 x1x2 y1y2 21 2 0，当且仅当1k 0， 21时等号成立(2)由(1)知，当 2时， x1x24p2，y1y24p2， 所以 OB OC x1x2 y1y2 0，所以 OB OC.设直线 OB 的方程为 y mx(m 0)， 与抛物线的方程 x22py 联立可得 B(2pm,2pm2)， 所以以 OB 为直径的圆的方程为 x2 y2 2pmx2pm2y0. 因为 OBOC，所以直线 OC 的方程为 y m22 p 2 22p（k2） 4p2 k2 x.2 2 2p 2p 2 2 2 2同理可得以 OC 为直径的圆的方程为 x2y2 x 2y 0，即 m2x2 m2y22pm

8、x 2py mm0，22将两圆的方程相加消去 m 得 x2 y22py 0，即 x2(yp)2 p2，第5 页共17 页所以点 D 的轨迹是以 OA 为直径的圆，2 2 2所以 |DA|2|DO|24p2，22 |DA |2 |DO |2 由|DA|DO| 2，2，得|DA|DO|2 2p，当且仅当 |DA|DO| 2p 时， （|DA | |DO |）max 2 2p.22(本小题满分15 分)三个数列 an，bn，cn，满足11a1 10，1， an 1 |an 1| an 2an 5bn12bn 1， cn abn，nN*.(1)证明：当 n2 时， an1；(2)是否存在集合 a，b，

9、使得 cn a，b对任意 nN*成立，若存在，求出b a 的最小值；若不存在，请说明理由；(3)求证：23 n2 2 2 2n 1 cn 1 6（ n N*， c2 c3cnn2）解： (1)证明：下面用数学归纳法证明：当 n 2 时， an1.当 n 2 时，由 a11110，|an1|2an 2an 5an15得 a2 2，显然成立；假设 nk 时命题成立，即 ak1.则 n k 1 时，ak1ak 1 ak 2ak52于是 ak1 1ak3 ak 2ak52因为 （ ak 2ak 5） （3ak） 4（ak 1）0.所以 ak11，也就是说 nk 1 时命题成立由可知，当 n2 时， a

10、n1.第6 页共17 页(2)由 bn12bn1，b11，得 bn1 12(bn1)，所以数列 bn1是以 b112 为首项， 2为公比的等比数列，所以 bn1 2n，从而bn2n1.由(1)知，当 n2 时，an1，所以当 n2 时， an1anan 2an 5 1 an2.因为 an2an5(1an) 4(1an)0， 所以 an 1an.综上，当 n2 时， 1an1an.11 * 由 a1 10， an1f(an)(nN )，11 5所以 c1 a1 10，a22，c2a32， 所以 c1c3 1， 从而存在集合 a， b，使得 cn a， b对任意 nN*成立，11当 bc2a32，

11、 a c1 10时， ba 的最小值为 c2c11310.(3)证明：当 n 2 时， an1 ，因为an 1 an 2an 5 an 12 ，所以2anan1 an1 an1 1,也即1anan1 1,an1第 7 页 共 17 页2nn即 2ncn1cn（n 2） cnn 2i n于是i 2 cii2 （2ci1ci）2 4cn1c22cn16.22 232n n 1 *n2）故c222c32cn2n1cn16（nN*，“2122”压轴大题抢分练 （三 ）21（本小题满分 15 分）过抛物线 x24y的焦点 F 的直线 l交抛物线于 A，B 两点，抛 物线在 A，B 两点处的切线交于点 M

12、.（1） 求证：点 M 在直线 y 1 上；（2）设AF FB，当 3 1 224k2k4（16k28） 2，所以 y 1，即点 M（2k， 1），故点 M 在直线 y1 上， 21 时，求 MAB 的面积 S的最小值解： （1）证明：易知直线 l 的斜率一定存在， F（0,1），y kx1，设直线 l 的方程为 ykx 1，联立 2 x2 4y，22消去 y，得 x24kx40， 16k2160，设 A（x1，y1）， B（x2，y2），22则 x1x24k，x1x2 4，x1 4y1， x2 4y2，2 1 1 1 1 2 由 x24y，得 y 2x，则切线 AM 的方程为 yy12x1（

13、xx1），即 y 2x1x4x21，1 1 21 1 2 y2x1x4x1， 由21411 1 2y2x2x 4x2，同理，切线 BM 的方程为 y 2x2x 4x22.1x1x2）x4（x1x2） （x1x2）0，x1x2又 x1x2 0，所以 x 2 2k.1 1 2所以 2y 2（x1 x2） x 4 （x1 x2）2 2x1x2第 8 页 共 17 页 (2)由(1)知，当 k0 时， AF FB ，此时 1，不符合题意，故 k0.连接 MF ，则11kMF 2k1 k，因为 1k k 1，所以 MF AB.因为 AF FB ，所以 ( x1,1 y1) (x2，y21)，得 x1 x

14、2，则 2 1 x1x2 x1 x2 2x1x2， x2x1，x1x22所以 21 x1x216kx1x22 4k2，421即 k因为 |MF |1 1 2 4k22 k21， |AB|y1y22 k(x1x2)44k24， 141 令 f() 4113，21因为 f() 412在 31， 21 上单调递减，所以 18f()13，所以 18k213.1所以 S12 |AB| |MF |2 1 1所以当 k218，即 12时， S取得最小值，且3 27 2 822 (本小题满分 15 分 )已知函数 f(x) ln x axa.(1)当 a1 时，求函数 f(x)的图象在点 (1,0)处的切线方

15、程；(2) 若函数 f(x)有一个大于 1 的零点，求实数 a 的取值范围；2(3)若 f(x0) 0，且 x01，求证： x01 .a解： (1)当 a 1时， f(x) ln x x 1，f(x)1x1，所以 f (1) 2，所以切线的斜率 k2.第 9 页 共 17 页又切点为 (1,0)，所以切线的方程为 y 2x2.(2)由题意知，11 axf(x)的定义域为 (0，)，f (x)xa x当 a0时， f (x)0 恒成立， f(x)在(0，)上单调递增，又 f(1) 0， 所以 f(x)有唯一零点 1，不符合题意1当 a0 时，令 f (x) 0，则 x1，a当 x 变化时， f(

16、x)， f(x)的变化情况如下表：x0，1a1 a1a，f(x)0f(x)极大值由表可知，当 11，即 a1 时，f(x)在(1，)上单调递减，又 f(1)0，所以 f(x)1 ，即 0af(1) 0， 11 又 f(e a ) aae a ，令 t (1，)，aa2t令 g(t)t2 1 et(t1)，则 g (t) 2t et，令 G(t) 2t et(t1)，则 G(t)2et1 时， g (t) g (1)2e1 时， g(t)g(1)2e0，第 10 页 共 17 页111 即 f(e a ) aae a x，得 ea 1a.a所以 f(x)在 1，1a 上无零点，在 a1， 上有唯

17、一零点综上，满足条件的实数 a 的取值范围是 (0,1)(3)证明：由 (2)得，x0 1a， 0a1) ，m1则当 m1 时， h(m)m1 4 2 m 1 20，m m 1 2 m m1 2所以 h(m)在 (1， )上单调递增，则 h(m)h(1) 0，所以 f 2a 1 0，即 f a2 1 f(x0)又2a1，x0 a1， 且 f(x)在 1a， 上为减函数，22 所以 2 12.aa “2122”压轴大题抢分练 (四 )2221(本小题满分 15分)已知直线 l：yx m与圆 x2y22 交 2于 A，B两点，若椭圆 x2 y21上有两个不同的点 C，D 关于直线 l 对称(1)求

18、实数 m 的取值范围；(2) 求四边形 ACBD 面积的取值范围解： (1)设直线 CD ：y x n，联立 x22y22，22得 3x24nx 2(n21)0.设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD 中点为 M(x0， y0)，第 11 页 共 17 页故 16n2 24(n2 1)0，解得 3n 3，24n 2 n 12n n且 x1x2 3 ， x1x23 ，x0 3 ，y03，代入 yx m，得 m n3，所以 33m 33，故实数 m 的取值范围为3， 3 .3 ， 3 .(2)由(1)得|CD| 11|x1 x2| 2248n2343n243 3 9m2，又点 O 到直线 A

19、B 的距离为 d |m2|， 所以|AB|2 2m2 ，1所以 S 四边形 ACBD2|AB| |CD| 43 2m23 9m22364 m2 13m22363m413m24.21因为 0 m231，46所以 0S 四边形 ACBD 436，所以四边形 ACBD 的面积的取值范围为0，22(本小题满分 15 分 )已知数列 an中a131，an1sinannN*)(1)证明： 0 anan 1n130.证明： (1)数学归纳法：当 n1 时，11 a1 3， a22，显然有 0 a1 a21.假设当 nk(kN*)，结论成立， 即 0akak11，第 12 页 共 17 页 那么 02ak2a

20、k12，0sin即 0ak1ak21，综上所述， 0 an an 11 成立12 (2)由(1)知， 3an1，01an3，04（1an）6，0sin4 1 an1sin62，1an1sin1 1cos 2 1 an 1an 12sin 4 1an1 sin4 1 an 1) an 1是 1an4（1an1） （1 a1） 1 23，23 1 所以 n Sn142 2 23 3 3 10 10 n 3.1 4 1 4 52122”压轴大题抢分练 (五 )21 (本小题满分 15x2 y22分)椭圆 C：a2 b2 1(a b0)的离心率为 2 ，其右焦点到椭圆 C外一点 P(2,1)的距离为

21、2，不过原点 O的直线 l与椭圆 C相交于 A，B两点，且线段 AB 的长度为 2.(1) 求椭圆 C 的方程；(2)求 AOB 面积 S 的最大值 解： (1)设椭圆右焦点为 (c,0)，c 2 212 2，则由题意得 c 2a 2 ，c 1，c 3，解得 或(舍去 )a 2a 3 2所以 b2 a2 c2 1，第 13 页 共 17 页2x所以椭圆 C 的方程为 x2 y m 2 2 2 1 2 1 所以 S222m2(1m2) 2 m 2 2 ，1 k22 2所以 00 ，2所以 x1x2 4km2，x1x22 m211 2k21 2k2因为|AB|2，所以1k2 x2x1 22，22即

22、(1k2)(x2x1)24x1x24，所以 (1k2)4km12k228 m2 112k212 即 1 2 2（1 m2）， 1k21因为 1k21，所以 21 m21.又点 O 到直线 AB 的距离 d |m| 2，1k21因为 S 2|AB| d d，第 14 页 共 17 页求出这个正数 M (a)，并求它的取值范围解： (1)由题意得 a1 时， f( x) x，解得 x1. x2ax1，x a，(2)f(x) 2其中 f(0)f(a) 1，x2 ax1， xa，最大值在 f(1)， f(2)， f(a)中取当0a1时，f(x)在1,2 上单调递减，故 f(x) max f(1)a；当

23、 1a2时， f(x)在1，a上单调递增， a,2上单调递减， 故 f(x) max f(a)1；当 2 a0，所以 f(x)maxf(2)5 2a，a， 0a1，综上， f(x) 1， 1a2，5 2a， 2 a 3.(3)当x(0， )时，f(x)max1， 故问题只需转化为在给定区间内f(x) 2 恒成立1 a4 ，分两种情况讨论：a2当 142 3时，a a2 126M(a)(0，当1a4 2时， M (a)是方程 x2ax12的较大根，即 02 3，0 a 2 3，a a2 122综上 M(a)a a2 122且 M(a) (0， 3)( 3， 3 6 “2122”压轴大题抢分练 （

24、六 ）21（本小题满分 15 分）设抛物线 y24x 的焦点为 F ，过点 21，0 的动直线交抛物线于不同两点 P，Q，线段 PQ 中点为 M， 射线 MF 与抛物线交于点 A.（1） 求点 M 的轨迹方程；（2）求 APQ 的面积的最小值解： （1）设直线 PQ 方程为 x ty 21，代入 y2 4x， 得 y2 4ty 2 0.设 P(x1，y1)， Q(x2，y2)，2则 y1y24t，y1y22，x1x2t（y1y2）14t 1， 所以 M 2t221， 2t .x 2t212，2设 M （x， y），由2消去 t，得中点 M 的轨迹方程为 y22x1.y2t(2)设 FA FM (0)，A(x0，y0)， 又 F(1,0) ，M 2t221，2t ， 则(x01，y0)2t 2， 2t ，x0 2t 1， 即2y0 2.t由点 A 在抛物