化复数的其他形式为三角形式的方法

1、化复数的其他形式为三角形式的方法广州七中 陈启华一、思考过程 复数的三角形式是指 zr(cosq+i sinq)这个形式，必须同时满足 4 个条件：1.模 r0； 2.三角函数是同角的余弦和正弦，虚数单位与正弦相乘； 3. 余弦和正弦的系数都是+1； 4. 辐角可正可负，但辐角的主值必须满足 0。由于运用复数的三角形式进行复数的乘、除、乘 方、开方运算特别简便，又与三角函数、极坐标知识联系紧密，而且复数化为三角形式后，可以直接得 到模与辐角，因此，常常要把不具备上述条件的复数化为三角形式。复数的其他形式主要有如下几种：点的形式 p（a，b）；向量形式p p12；整体形式 z；代数形式 abi；

2、极坐标形式（r, ）等。对于点 p（a，b）给出的复数，先写出其代数形式 abi，再把代数形式化为三角形式；对于向量形式p p12，先求出其代数形式 z ，再把代数形式化为三角形式；对于整体形式 z 给出的复数，可以直接设 z r( cos q+i sin q) 。由此可见化复数的其他形式为三角形式的的关键是要熟练掌握将代数形式化为三 角形式的方法。二、步骤格式1. 化复数的其他形式为代数形式 abi；2. 用公式 ra2+b2求模; 3. 由的终边经过点（a，b）求辐角。三、典型例题 例 1 化为三角形式解：模( -7)2+( -6)2=85，又由辐角的终边经过点（，）可知，在第三象限，因为

3、tonq=676， 所 以 可 取 arcton ， 故 的 三 角 形 式 为 cos( 76 6 arcton )+isin(arcton )7 7例2化cosq+i sinq为三角形式 （0）解：模(1 +cosq)2+(sinq)2= 2 +2 cosq = 2 2ton2q2=2 cosq2，由辐角的终边经过点（ cos ， sin ）且 cos 0 可知，辐角在一、四象限或 y 轴上。 ton ton (1)当 0时，0 ，即 0 ，2|cos |2cos2 2 2 2 2 2sin1+coscosq+i sinq 三角形式为 2cos （cos isin ）；2 2 2(2) 时

4、，cos q+i sin q ，得三角形式为（cos isin ）；2 2(3) 当2 时， sin ton ton ，可取 - ，又 2|cos |-2 1+cos 2 2 2 2cos ， cos q+i sin q三角形式为-2cos cos（ ）isin（ ）； 2 2 2 2综上所述cosq+i sinq三角形式为：()0 qp22 2(-2cos cos 6 q q q 2 cos cos +i sin q q q -p+isin -p pq2p 2 2 2例3 化下列复数为三角形式：) （1）2（sin +icos ）； （2）（sin icos ）； （3）（sin icos

5、）5 5 5 5 5 5 3 3解：（1）原式cos（ ）sin （ ）2（cos isin ）； 5 5 10 10（ 2 ） 原 式 （ sin ）isin10 icos ） 2cos( )+isin( ) （ cos5 5 10 （3）原式（sin icos ）2cos( )+isin( )（cos isin ）5 5 10 106四、注意事项 三角形式是满足四个条件的一种“形式”，所以 cos(arcton )+isin(7arcton67) 不能用诱导公式再去化简，一旦用诱导公式再去化简，这个复数的形式就不是三角形式了。看三角形式是否满足四个条件要看本质，如 rcos 0，不要误以为

6、有“-”号就是负数。2五、 其他方法 已知复数具有 r(cos isin)或 r(sinicos) 的形式，但不符合全部条件时，化为 三角形式的方法，可以用以下口诀：（ 1 ）“变模内外乘”；（2）“变名必然要用奇”（3 ）“正四二应牢 记”，如例的（）、（）。六、 梯度训练1. 3 i 的模和辐角分别是 ；2.已知 z，求z 2 -3 z +6 z +1的模和辐角的主值；已知 z，w =z 2 +3 z -4，求的三角形式；设复数 zcosisin，（，），求复数 的模和辐角； 化cosisin为三角形式（0）；化sinicos为三角形式（ ）； 3化iton为三角形式（ ）； 化3 sina+cos pa+2i cosa+ 为三角形式 已知 0，z c