2020-2021学年数学高中人教A版选修2-1课后习题：模块复习课 第2课时　圆锥曲线的概念、标准方程与简单几何性质 含解析

1、祝学子学业有成，取得好成绩第2课时圆锥曲线的概念、标准方程与简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1。已知椭圆x29+y2n2=1（n0)与双曲线x24-y2m2=1（m0）有相同的焦点，则动点p（n，m）的轨迹是（)a.椭圆的一部分b.双曲线的一部分c。抛物线的一部分d.圆的一部分解析椭圆x29+y2n2=1与双曲线x24-y2m2=1有相同的焦点,9-n2=4+m2,即m2+n2=5(00，b0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于a，b两点.设a，b到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6,则双曲线的方程为(）a。x24-y212=1b。x212-y24

2、=1c。x23-y29=1d。x29-y23=1解析由双曲线的对称性，不妨取渐近线y=bax.如图所示,ad=d1,|bc|=d2，过点f作efcd于点e.由题易知ef为梯形abcd的中位线，所以|ef=12(d1+d2）=3.又因为点f（c,0)到y=bax的距离为|bc-0|a2+b2=b，所以b=3,b2=9。因为e=ca=2,c2=a2+b2，所以a2=3,所以双曲线的方程为x23-y29=1。故选c。答案c3。已知点a（x1,y1），b（x2,y2）,m（1，0)，ab=（3,4）（0），ma=4mb，若抛物线y2=ax经过a和b两点,则a的值为（)a.2b.-2c.-4d.4解析a

3、(x1,y1）,b(x2,y2)，m（1,0)，ab=（3，4）（0），直线ab的方程为y=43（x-1），与y2=ax联立可得y234ay-a=0.y1+y2=34a，y1y2=-a,ma=4mb，y1=-4y2。由可得a=4.故选d.答案d4。如果过点m（-2,0）的直线l与椭圆x22+y2=1有公共点,那么直线l的斜率k的取值范围是（)a.-,-22b.22,+c。-12,12d.-22,22解析设过点m（-2,0)的直线l的方程为y=k(x+2），联立y=k(x+2),x22+y2=1,得（2k2+1）x2+8k2x+8k22=0.过点m（2,0）的直线l与椭圆x22+y2=1有公共点

4、，=64k44（2k2+1）(8k2-2)0,整理得k212，解得22k22,直线l的斜率k的取值范围是-22,22。故选d。答案d5.已知圆c1：x2+y2=b2与椭圆c2：x2a2+y2b2=1(ab0),若在椭圆c2上存在一点p，使得由点p所作的圆c1的两条切线互相垂直，则椭圆c2的离心率的取值范围是(）a。22,32b.12,1c。32,1d.22,1解析设p(m,n)，由题意知m2+n2=2b2,m2a2+n2b2=1,e2m2=b2，又0|m|a,0m2a2，即b2e2a2,解得22e0)的左、右焦点分别为f1,f2,p是椭圆上一点,|pf1|=pf2122，f1pf2=2,则椭圆

5、离心率的取值范围为（)a.0,22b.22,53c。23,53d。53,1解析设f1（-c，0）,f2（c，0),由椭圆的定义得，|pf1+pf2=2a,可设|pf2=t,可得|pf1|=t,即有（+1）t=2a。由f1pf2=2，可得pf12+|pf22=4c2,即为（2+1）t2=4c2.由2,可得e2=2+1(+1)2。令m=+1,可得=m-1,即有2+1(+1)2=m2-2m+2m2=21m-122+12.由122，可得32m3，即131m23，则当m=2时,取得最小值12;当m=32或m=3时,取得最大值59.即有12e259,解得22e53.故选b.答案b7.(2018江苏高考)在

6、平面直角坐标系xoy中,若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0）的右焦点f(c，0）到一条渐近线的距离为32c，则其离心率的值为。解析因为双曲线的右焦点f(c,0)到渐近线y=bax的距离为|bc0|a2+b2=bcc=b,所以b=32c.因为a2=c2b2=c234c2=14c2，所以a=12c，e=2。答案28。抛物线y2=-8x上到焦点距离等于6的点的坐标是。解析抛物线方程为y2=-8x，可得2p=8，p2=2,抛物线的焦点为f（-2，0）,准线为x=2。设抛物线上点p（m，n),到焦点f的距离等于6,根据抛物线的定义，得点p到f的距离等于p到准线的距离,即pf|=m+2=6,解得m

7、=4，n2=8m=32，可得n=42,因此，点p的坐标为（4，42)。答案（-4,42）9.(2019全国高考）已知双曲线c：x2a2-y2b2=1（a0,b0)的左、右焦点分别为f1，f2，过f1的直线与c的两条渐近线分别交于a,b两点。若f1a=ab,f1bf2b=0,则c的离心率为。解析如图，由f1a=ab，得|f1a=ab.又of1=of2，得bf2oa，且|bf2|=2|oa。由f1bf2b=0，得f1bf2b。则oaf1a，ob=|of1|=|of2|.故bof2=aof1=2of1b，得bof2=60.则ba=tan 60=3。所以e=ca=1+ba2=1+3=2.答案210。（

8、2018江苏高考）如图,在平面直角坐标系xoy中,椭圆c过点3,12，焦点为f1(3,0)，f2(3，0），圆o的直径为f1f2。（1)求椭圆c及圆o的方程；(2)设直线l与圆o相切于第一象限内的点p.若直线l与椭圆c有且只有一个公共点,求点p的坐标;直线l与椭圆c交于a，b两点.若oab的面积为267,求直线l的方程.解(1）因为椭圆c的焦点为f1(-3，0)，f2(3,0),可设椭圆c的方程为x2a2+y2b2=1（ab0).又点3,12在椭圆c上,所以3a2+14b2=1,a2-b2=3,解得a2=4,b2=1.因此,椭圆c的方程为x24+y2=1.因为圆o的直径为f1f2,所以其方程为

9、x2+y2=3.（2）设直线l与圆o相切于p（x0,y0）(x00，y00），则x02+y02=3,所以直线l的方程为y=-x0y0（xx0）+y0，即y=x0y0x+3y0.由x24+y2=1,y=-x0y0x+3y0,消去y，得（4x02+y02)x224x0x+36-4y02=0。(*)因为直线l与椭圆c有且只有一个公共点，所以=（-24x0)2-4（4x02+y02）（36-4y02）=48y02(x02-2）=0。因为x0，y00,所以x0=2，y0=1.因此，点p的坐标为(2，1)。因为三角形oab的面积为267,所以12abop=267，从而ab=427。设a(x1,y1），b（

10、x2,y2）,由（*）得，x1,2=24x048y02(x02-2)2(4x02+y02)，所以ab2=（x1x2）2+(y1-y2）2=1+x02y0248y02(x02-2)(4x02+y02)2。因为x02+y02=3,所以ab2=16(x02-2)(x02+1)2=3249，即2x04-45x02+100=0，解得x02=52(x02=20舍去），则y02=12，因此p的坐标为102,22.综上,直线l的方程为y=-5x+32。能力提升1.已知点a（0，1），抛物线c:y2=ax(a0）的焦点为f，射线fa与抛物线相交于m，与其准线相交于点n，若fm|mn=25，则a=()a.2b.4

11、c。6d。8解析依题意点f的坐标为a4,0，设m在准线上的射影为k,由抛物线的定义知|mf=mk|,fmmn=25，则|kn|km|=12,kfn=0-1a4-0=4a,kfn=12.4a=2,求得a=2。故选a.答案a2。（2019全国高考)双曲线c：x24-y22=1的右焦点为f,点p在c的一条渐近线上,o为坐标原点。若|po|=pf,则pfo的面积为（）a。324b。322c.22d。32解析由已知可得a=2,b=2,则c=a2+b2=6，f（6,0）。|po=|pf|,xp=62.又p在c的一条渐近线上,不妨设在渐近线y=22x上，yp=2262=32.spfo=12|ofyp|=12

12、632=324.故选a。答案a3.(2019全国高考)设f1,f2为椭圆c：x236+y220=1的两个焦点，m为c上一点且在第一象限。若mf1f2为等腰三角形,则m的坐标为。解析a2=36，b2=20，c2=a2b2=16,c=4。由题意得，|mf1|=f1f2=2c=8。mf1|+|mf2=2a=12，|mf2=4.设点m的坐标为（x0，y0)(x00，y00),则smf1f2=12f1f2y0=4y0。又smf1f2=12482-22=415,4y0=415,解得y0=15。又点m在椭圆c上,x0236+(15)220=1，解得x0=3或x0=-3（舍去）。点m的坐标为（3,15).答案

13、(3,15）4。(2018北京高考）已知椭圆m：x2a2+y2b2=1(ab0)，双曲线n:x2m2-y2n2=1.若双曲线n的两条渐近线与椭圆m的四个交点及椭圆m的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆m的离心率为；双曲线n的离心率为.解析根据题意可画出下图，其中bd和ac为双曲线的渐近线,abf2cdf1是正六边形.由题意可知bof2=3，故双曲线的渐近线bd的方程为y=nmx=3x，故双曲线的离心率e1=m2+n2m=m2+(3m)2m=2.设ab=x,由椭圆定义得|bf1+bf2|=3x+x=2a,2c=2x,故e2=2c2a=2x(3+1)x=31.答案3-125.(2018全国高考

14、)设抛物线c:y2=4x的焦点为f，过f且斜率为k（k0)的直线l与c交于a,b两点，ab=8.(1)求l的方程.(2)求过点a,b且与c的准线相切的圆的方程.解(1）由题意得f(1,0）,l的方程为y=k(x1）(k0).设a（x1,y1），b(x2,y2)。由y=k(x-1),y2=4x得k2x2-（2k2+4)x+k2=0.=16k2+160,故x1+x2=2k2+4k2。所以ab=|af|+bf|=(x1+1）+(x2+1）=4k2+4k2.由题设知4k2+4k2=8，解得k=-1（舍去）,k=1。因此l的方程为y=x-1.(2）由(1）得ab的中点坐标为（3，2),所以ab的垂直平分

15、线方程为y-2=-(x3)，即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为（x0,y0），则y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16.解得x0=3,y0=2或x0=11,y0=-6.因此所求圆的方程为（x-3）2+(y-2)2=16或（x11）2+（y+6)2=144。6.已知椭圆m的对称轴为坐标轴,离心率为22，且一个焦点坐标为（2，0).(1)求椭圆m的方程;（2）设直线l与椭圆m相交于a,b两点,以线段oa,ob为邻边作平行四边形oapb，其中点p在椭圆m上,o为坐标原点,求点o到直线l的距离的最小值.解（1)由题意可设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0），ca=22,c=2,a2=b2+c2,解得a=2,b=2,椭圆m的方程为x24+y22=1.(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，联立y=kx+m,x2+2y2=4,化为（1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0,=16k2m24(1+2k2)（2m24)0，化为2+4k2-m20,设a(x1,y1)，b(x2,y2)，p（x0，y0）.x0=x1+x2=-4