2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册章末综合测评3　立体几何初步 Word版含解析

1、章末综合测评(三)立体几何初步(时间：120分钟满分：150分钟)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知空间四边形abcd的四边相等，则它的两条对角线ac，bd的关系是()a垂直且相交 b相交但不一定垂直c垂直但不相交 d不垂直也不相交c空间四边形abcd的四个顶点不共面，所以ac与bd必为异面直线取bd的中点o，连接oa，oc，由abadbccd得oabd，ocbd，所以bd平面aoc，所以bdac，故选c2如图，三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1底面a1b1c1，底面三角形a1b1c1是正三角形，e是bc中点，则下列

2、叙述正确的是()acc1与b1e是异面直线bac平面abb1a1cae，b1c1为异面直线，且aeb1c1da1c1平面ab1ec由已知acab，e为bc中点，故aebc，又因为bcb1c1，所以aeb1c1，c正确3若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积是()a3 b3 c6 d9a根据轴截面面积是，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以sr2rl23.4已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足 m，n，则()aml bmn cnl dmnc利用线面垂直的性质进行分析因为l，所以l.因为n，所以nl.5设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m，下

3、列正确的是()a若l，则 b若，则lmc若l，则 d若，则lma利用空间平行与垂直的判定定理及性质定理进行分析因为l，l，所以(面面垂直的判定定理)，故a正确6已知二面角l的大小为60，m，n为异面直线，且m，n，则m，n所成的角为()a30 b60 c90 d120b如图，设m于点a，过m上的点p(异于点a)作n的平行线交于点b，设平面pab与l交于点o，连接ao，bo.由m，n，得ml，nl，则l平面pab，所以lao，lbo，所以aob是二面角l的平面角，所以aob60，可得apb120.又异面直线所成的角小于或等于90，所以m，n所成的角为60，故选b7在棱长为1的正方体abcda1b

4、1c1d1中，点p1，p2分别是线段ab，bd1(不包括端点)上的动点，且线段p1p2平行于平面a1add1，则三棱锥p2ap1b1的体积的最大值是()a b c da连接bd，过点p2作p2o底面abcd于点o，可知点o在bd上，连接op1，由题意可知op1ab，即op1为三棱锥p2ap1b1的高设ap1x,0x1，则由题意知op1ad，所以有，即op11x.又sap1b1x，所以三棱锥p2ap1b1的体积为sap1b1op1x(1x)，当x时等号成立，所以三棱锥p2ap1b1的体积的最大值为，故选a8正方体abcda1b1c1d1中，过点a作平面a1bd的垂线，垂足为点h.以下结论中，错误

5、的是()a点h是a1bd的垂心bah平面cb1d1cah的延长线经过点c1dahbb1d因为ah平面a1bd，bd平面a1bd，所以bdah.又bdaa1，且ahaa1a所以bd平面aa1h.又a1h平面aa1h.所以a1hbd，同理可证bha1d，所以点h是a1bd的垂心，a正确因为平面a1bd平面cb1d1，所以ah平面cb1d1，b正确易证ac1平面a1bd因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以ac1和ah重合故c正确因为aa1bb1，aa1与ah显然不垂直，ah与bb1也不垂直，故d错误二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全

6、部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别为棱c1d1，c1c的中点，其中正确的是()a直线am与c1c是相交直线b直线am与bn是平行直线c直线bn与mb1是异面直线d直线mn与ac所成的角为60cd结合题图，显然直线am与c1c是异面直线，直线am与bn是异面直线，直线bn与mb1是异面直线连接d1c，ad1，直线mn与ac所成的角即直线d1c与ac所成的角，在等边三角形ad1c中，易知acd160，所以直线mn与ac所成的角为60，故选cd10如图，在正四棱锥sabcd中，e，m，n分别是bc，cd，sc的中点当点p在线段

7、mn上运动时，下列四个结论中恒成立的是()aepacbepbdcep平面sbddep平面sacac如图所示，连接ne，me.e，m，n分别是bc，cd，sc的中点，ensb，mnsd，又enmnn，sbsds，平面sbd平面nem，ep平面sbd，选项c恒成立由正四棱锥sabcd，知ac平面sbd，ac平面nem，acep，选项a恒成立选项b，d对于线段mn上的任意一点p不一定成立，故选ac11如图，正三角形abc的中线af与中位线de相交于点g，已知aed是aed绕de旋转过程中的一个图形，下列四个命题中正确的是()a恒有平面afg平面bcedb动点a在平面abc上的射影在线段af上c三棱锥

8、afed的体积有最大值d直线ae与bd不可能垂直abc对于a，由题意，知agde，fgde，agfgg，故de平面afg.因为de平面bced，所以平面afg平面bced，故a选项正确；对于b，结合选项a的分析可知正确；对于c，当ag平面abc时，三棱锥afed的体积有最大值，故c选项正确；对于d，当ae在平面abc上的射影与直线bd垂直时，易证ae与bd垂直，故d选项不正确12如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，线段b1d1上有两个动点e，f，且ef，则下列结论中正确的是()aacbebef平面abcdc三棱锥abef的体积为定值daef的面积与bef的面积相等abc连接bd(图

9、略)对于a，b1b平面abcd，ac平面abcd，b1bac又acbd，bdbb1b，ac平面bdd1b1.be平面bdd1b1，acbe，故a中结论正确对于b，b1d1bd，b1d1平面abcd，bd平面abcd，b1d1平面abcd，ef平面abcd，故b中结论正确对于c，vabef1，即三棱锥abef的体积为定值，故c中结论正确对于d，点a到ef的距离与点b到ef的距离不相等，aef的面积与bef的面积不相等，故d中结论错误三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13设平面平面，a，c，b，d，直线ab与cd交于点s，且点s位于平面，之间，as8，bs6

10、，cs12，则sd_.9由面面平行的性质得acbd，解得sd9.14已知圆锥的顶点为s，母线sa，sb互相垂直，sa与圆锥底面所成角为30.若sab的面积为8，则该圆锥的底面半径为_，体积为_(本题第一空2分，第二空3分)28由题意画出图形，如图，设ac是底面圆o的直径，连接so，则so是圆锥的高设圆锥的母线长为l，则由sasb，sab的面积为8，得l28，得l4.在rtaso中，由题意知sao30，所以sol2，aol2.故该圆锥的体积vao2so(2)228.15.如图，在正四棱柱abcda1b1c1d1中，e，f，g，h分别是棱c1c，c1d1，d1d，dc的中点，点m在四边形efgh及

11、其内部运动，则m只需满足条件_时，就有mn平面b1bdd1，其中n是bc的中点(填上一个正确的条件即可，不必考虑全部可能的情况)mfh连接fh(图略)，因为平面fhn平面b1bdd1，若mfh，则mn平面fhn，所以mn平面b1bdd1，所以mn平面b1bdd1.16如图，在正三棱柱abca1b1c1中，已知ab1，d在棱bb1上，且bd1，则ad与平面aa1c1c所成角的正弦值为_取ac，a1c1的中点m，m1，连接mm1，bm，过d作dnbm，则dn平面aa1c1c连接an，则dan就是ad与平面aa1c1c所成角，在rtdan中，sindan.四、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写

12、出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)在正方体abcda1b1c1d1中挖去一个圆锥，得到一个几何体m，已知圆锥顶点为正方形abcd的中心，底面圆是正方形a1b1c1d1的内切圆，若正方体的棱长为a cm.(1)求挖去的圆锥的侧面积；(2)求几何体m的体积解(1)圆锥的底面半径r，高为a，母线la，所以挖去的圆锥的侧面积为rlaa2(cm2)(2)因为m的体积为正方体体积减去圆锥的体积，所以m的体积为a3aa3(cm3)18.(本小题满分12分)如图所示，abcd是正方形，o是正方形的中心，po底面abcd，底面边长为a，e是pc的中点(1)求证：pa平面bde；(2)平面p

13、ac平面bde.解(1)证明：连接oe，如图所示因为o，e分别为ac，pc的中点，所以oepa因为oe平面bde，pa平面bde，所以pa平面bde.(2)因为po平面abcd，所以pobd在正方形abcd中，bdac，又因为poaco，所以bd平面pac又因为bd平面bde，所以平面pac平面bde.19(本小题满分12分)如图，在三棱锥pabc中，abbc2，papbpcac4，o为ac的中点(1)证明：po平面abc；(2)若点m在棱bc上，且mc2mb，求点c到平面pom的距离解(1)证明：因为apcpac4，o为ac的中点，所以opac，且op2.如图，连接ob因为abbcac，所以

14、abc为等腰直角三角形，且obac，obac2.由op2ob2pb2知，opob由opob，opac，obaco，知，po平面abc(2)如图，作chom，垂足为h，又由(1)可得opch，所以ch平面pom.故ch的长为点c到平面pom的距离由题设可知ocac2，cmbc，acb45，所以om，ch.所以点c到平面pom的距离为.20(本小题满分12分)在正四棱柱abcda1b1c1d1中，已知aa12ab，求cd与平面bdc1所成角的正弦值解如图，设aa12ab2，连接ac交bd于点o，连接oc1，a1c1，过点c作choc1于点h，连接dh.因为bdac，bdaa1，acaa1a，所以b

15、d平面acc1a1.因为ch平面acc1a1，所以chbd，又choc1，oc1bdo，所以ch平面bdc1，所以cdh即cd与平面bdc1所成的角又oc1，由等面积法得，oc1choccc1，解得ch.所以sincdh.21(本小题满分12分)如图，矩形adef和菱形abcd所在平面互相垂直，已知adc，点n是线段ad的中点(1)求证：cnaf；(2)试问在线段be上是否存在点m，使得直线af平面mnc？若存在，请证明af平面mnc，并求出的值；若不存在，请说明理由解(1)证明：在菱形abcd中，addc，adc，则adc是等边三角形又n是线段ad的中点，cnad又平面adef平面abcd，

16、平面adef平面abcdad，cn平面abcd，cn平面adef.又af平面adef，故cnaf.(2)取fe的中点p，连接cp交be于点m，点m即为所求的点证明：连接pn，pead，adbc，pebc，cp与ce相交于点m，n是ad的中点，p是fe的中点，pnaf，又pn平面mnc，af平面mnc，直线af平面mnc又pebc，2.22(本小题满分12分)如图所示，已知三棱锥pabc中，acb90，cb4，ab20，d为ab的中点，且pdb是正三角形，papc(1)求证：平面pac平面abc；(2)求二面角dapc的正弦值；(3)若m为pb的中点，求三棱锥mbcd的体积解(1)证明：因为d是ab的中点，p