2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册教案：第10章 10.3　复数的三角形式及其运算 Word版含解析

1、*10.3复数的三角形式及其运算学 习 目 标核 心 素 养1.通过复数的几何意义，了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系.2.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.1.借助复数的三角形式，培养数学抽象的核心素养.2.通过复数三角形式的运算，培养数学运算的核心素养.前面已经学习过了复数的两种表示一是代数表示，即zabi(a，br)；二是几何表示，复数z既可以用复平面上的点z(a，b)表示，也可以用复平面上的向量来表示现在需要学习复数的三角表示，即用复数z的模和辐角来表示复数思考：复数的三角形式在复数的运算中有怎样的作用？1复数的三角表示式及复数的辐角和辐角主值一般地，如

2、果非零复数zabi(a，br)在复平面内对应点z(a，b)，且r为向量的模，是以x轴正半轴为始边、射线oz为终边的一个角，则r|z|，根据任意角余弦、正弦的定义可知cos ，sin .因此arcos ，brsin ，如图所示，从而zabi(rcos )(rsin )ir(cos isin )，上式的右边称为非零复数zabi的三角形式(对应地，abi称为复数的代数形式)，其中的称为z的辐角显然，任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2的整数倍特别地，在0,2)内的辐角称为z的辐角主值，记作arg z.2复数三角形式的乘、除运算若复数z1r1(cos 1isin 1)，z

3、2r2(cos 2isin 2)，且z1z2，则(1)z1z2r1(cos 1isin 1)r2(cos 2isin 2)r1r2cos(12)isin(12)(2) cos(12)isin(12)(3)r(cos isin )nrncos(n)isin(n).1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)复数的辐角是唯一的 ()(2)zcos isin 是复数的三角形式()(3)z2(cos isin )是复数的三角形式()(4)复数zcos isin 的模是1，辐角的主值是.()答案(1)(2)(3)(4)2复数z1i的三角形式为z_.r，cos ，又因为1i对应的点位于第一象限，所以ar

4、g(1i).所以z.3复数6的代数形式为_6i66cos6isin6i.4计算：(1)64_；(2)64_.(1)24i(2)i(1)642424i.(2)64i.复数的代数形式与三角形式的互化角度1代数形式化为三角形式【例1】把下列复数的代数形式化成三角形式：(1)i；(2)i.解(1)r2，因为i对应的点在第一象限，所以cos ，即，所以i2.(2)r2，cos ，又因为i对应的点位于第四象限，所以.所以i2.复数的代数形式化为三角形式的步骤(1)先求复数的模(2)决定辐角所在的象限(3)根据象限求出辐角(4)求出复数的三角形式提醒：一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便

5、，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值角度2三角形式化为代数形式【例2】分别指出下列复数的模和辐角主值，并把这些复数表示成代数形式(1)4；(2)(cos 60isin 60)；(3)2.解(1)复数4的模r4，辐角主值为.44cos4isin44i22i.(2)(cos 60isin 60)的模r，辐角主值为60.(cos 60isin 60)ii.(3)222.所以复数的模r2，辐角主值为.22cos2isin22i.1i.复数的三角形式zr(cos isin )必须满足“模非负、余正弦、相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例(3).1

6、下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式(1)；(2)；(3)；(4)cosisin.解根据复数三角形式的定义可知，(1)、(2)、(3)不是，(4)是复数的三角形式(1)原式.(2)原式.(3)原式.复数三角形式的乘、除运算【例3】计算：(1)84；(2)(cos 225isin 225)(cos 150isin 150)；(3)4.解(1)84323232321616i.(2)(cos 225isin 225)(cos 150isin 150)cos(225150)isin(225150)(cos 75isin 75)ii.(3)44(cos 0isin 0)422i.

7、1乘法法则：模相乘，辐角相加2除法法则：模相除，辐角相减3复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角为n倍2计算：(1)；(2)(cos 75isin 75)；(3).解(1)()221i.(2)i，所以(cos 75isin 75)cosisincosisini.(3)因为icosisin，所以i.复数三角形式乘、除运算的几何意义【例4】在复平面内，把复数3i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数解因为3i22，所以22223i，2222i.故把复数3i对应的向量按逆时针旋转得到的复数为3i，按顺时针旋转得到的复数为2i.两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向

8、量，然后把向量绕点o按逆时针方向旋转角2(如果20，就要把绕点o按顺时针方向旋转角|2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.3在复平面内，把与复数i对应的向量绕原点o按逆时针方向旋转，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数(用代数形式表示)解i，由题意得233i，即与所得向量对应的复数为3i.知识：(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2的整数倍(2)复数0的辐角是任意的(3)在02范围内的辐角的值为辐角主值，通常记作arg z，且0arg z2.(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角主值分别相等方法：两个复数三角形式乘法

9、的法则可简记为：模相乘，辐角相加，并且可以作以下推广；(1)有限个复数相乘，结论亦成立即z1z2znr1(cos 1isin 1)r2(cos 2isin 2)rn(cos nisin n)r1r2rncos(12n)isin(12n)(2)当z1z2znz时，即r1r2rnr，12n，有znr(cos isin )nrncos(n)isin(n)，这就是复数三角形式的乘方法则，即：模数乘方，辐角n倍1复数1i的辐角主值是()a bc da因为1i22，所以1i的辐角主值为.2复数9(cos isin )的模是_答案93复数1i的辐角主值是_将复数1i化为三角形式：1i2，即得1i的辐角主值为