05静定平面桁架的内力计算

1、哈尔滨工业大学（威海）土木工程系哈尔滨工业大学（威海）土木工程系 曾森曾森 博士博士/讲师讲师 Dr. Zeng Sen 2021-6-7 静定平面桁架的内力计算 Structural Mechanics (The 1st Part) Department of Civil Engineering Harbin Institute of Technology at Weihai 哈尔滨工业大学（威海）土木工程系哈尔滨工业大学（威海）土木工程系结构力学结构力学电子教案电子教案 桁架结构的组成 2021-6-7 1 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 拱式桁架拱式桁架 扩展

2、内容扩展内容 基本概念基本概念 桥面系：钢轨，枕木，纵、横梁 联结系：上、下平纵联，横联，桥门架 传力路径：列车荷载钢轨枕木纵梁 横梁主桁架 桁架结构的组成 2021-6-7 2 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 基本概念基本概念 弦杆：上弦杆，下弦杆 腹杆：斜杆，竖杆 上弦杆 下弦杆 竖杆斜杆 跨度 节间长度 桁高 拱式桁架拱式桁架 桁架的特性 直杆铰接、结点受荷 杆件只有轴力，没有弯矩和剪力 实际结构和计算简图的差别 2021-6-7 3 结点存在刚性 杆件 轴 线 不 可 能绝对平直 杆件 的 轴 线 在 结点 处 不 可 能 准确交于一点 存

3、在 非 结 点 荷 载，比如自重 结构空间作用 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 基本概念基本概念 拱式桁架拱式桁架 主内力于次内力 主内力：按理想桁架算得的杆件的轴 力称为主内力 次内力：考虑了非理想因素而产生的 内力称为次内力 2021-6-7 4 66 1212 12 12 12 12 12 81.5 m 1.8 m 荷载单位：kN 218468101214 16 1 17 3579111315 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 基本概念基本概念 拱式桁架拱式桁架 主内力于次内力 2021-6-7 5

4、 起点起点 终点终点 桁架轴力桁架轴力刚架轴力刚架轴力误差误差(%) 24-35.000-34.966 0.10 68-75.000-74.977 0.03 35 35.000 35.005-0.01 79 75.000 74.991 0.01 23 54.672 54.560 0.21 67 23.431 23.392 0.17 65-30.000-29.958 0.14 109-12.000-11.981 0.16 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 基本概念基本概念 拱式桁架拱式桁架 桁架的分类 按维数分：平面桁架、空间桁架 2021-6-7 6

5、 平面桁架 空间桁架 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 基本概念基本概念 拱式桁架拱式桁架 桁架的分类 按形状分 2021-6-7 7 平行弦桁架 三角形桁架 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 基本概念基本概念 拱式桁架拱式桁架 桁架的分类 按形状分 2021-6-7 8 抛物线桁架 梯形桁架 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 基本概念基本概念 拱式桁架拱式桁架 桁架的分类 按受力特点分 2021-6-7 9 梁式桁架：竖向荷载作用下不引起支座水 平反力 拱式桁架

6、 竖向荷载作用下引起支座水平反力 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 基本概念基本概念 拱式桁架拱式桁架 桁架的分类 按几何组成分析 2021-6-7 10 简单桁架：由一个基本铰接三角形依次增 加二元体而组成的桁架 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 基本概念基本概念 拱式桁架拱式桁架 桁架的分类 按几何组成分析 2021-6-7 11 联合桁架：由几个简单桁架按几何不变体 系的基本组成规则联合而成的桁架 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 基本概念基本概念 拱式桁架

7、拱式桁架 桁架的分类 按几何组成分析 2021-6-7 12 复杂桁架：不按简单桁架和联合桁架这两 种方式组成的其它静定桁架 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 基本概念基本概念 拱式桁架拱式桁架 杆端轴力的命名 2021-6-7 13 A B FNAB FNBA XNBA YNBA FNAB：第一个下标“N”表示轴力 第二个下标“A”是本端编号 第三个下标“B”是它端编号 轴力以杆件受拉为正！ 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 基本概念基本概念 拱式桁架拱式桁架 结点法 以一个结点为隔离体（研究对象），用

8、汇交力系的平衡方程求解各杆内力的方法。 2021-6-7 14 15 kN15 kN15 kN 4 m4 m4 m 3 m ACFG BDE 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 结点法结点法 拱式桁架拱式桁架 结点法 2021-6-7 15 15 kN15 kN15 kN 4 m4 m4 m 3 m ACFG BDE 解：(1)取G结点为隔离体分析 15 kN G FNGF FNGE 方法一：利用三角函数 N NN sin15kN cos GE GFGE FEGF FFEGF 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容

9、 结点法结点法 拱式桁架拱式桁架 结点法 2021-6-7 16 15 kN15 kN15 kN 4 m4 m4 m 3 m ACFG BDE 解：(1)取G结点为隔离体分析 15 kN G FNGF FNGE 方法二：利用相似三角形 FG E 4/3 1 5/3 15 25 20 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 结点法结点法 拱式桁架拱式桁架 结点法 2021-6-7 17 15 kN15 kN15 kN 4 m4 m4 m 3 m ACFG BDE 解：(1)取G结点为隔离体分析 15 kN G FNGF FNGE 方法三：先计算斜杆轴力分力

10、FNGE 15 kN 20 kN 25 20 15 -20 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 结点法结点法 拱式桁架拱式桁架 结点法 2021-6-7 18 15 kN15 kN15 kN 4 m4 m4 m 3 m ACFG BDE 解：(2)取F结点为隔离体分析 25 20 15 -20 F FNFCFNFG=-20 kN 15 kN FNFE -20 15基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 结点法结点法 拱式桁架拱式桁架 结点法 2021-6-7 19 15 kN15 kN15 kN 4 m4 m4 m

11、 3 m ACFG BDE 解：(3)取E结点为隔离体分析 25 20 15 -20-20 15 25 20 15 15 FNED FNEC E FNEC=-50 YNEC XNEC N NN 30 kN 4 3 40 kN GE GFGE Y XY -50 40 30 60 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 结点法结点法 拱式桁架拱式桁架 结点法 2021-6-7 20 15 kN15 kN15 kN 4 m4 m4 m 3 m ACFG BDE 解：(4)取D结点为隔离体分析 (5)取C结点为隔离体分析 (6)取B、A结点为隔离体分析 (7)取整

12、体作为隔离体，求支反力，核实 结果。 25 20 15 -20-20 15 -50 40 30 60 0 60 -120 -4575 45 60 45 kN 120 kN 120 kN 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 结点法结点法 拱式桁架拱式桁架 结点法 基本原则：按与几何组成相反顺序逐 步求解，逐次建立各结点的平衡方程 。使得各结点未知内力的数目一定不 超过独立方程数 基本方法：以结点为隔离体，结点承 受汇交力系的作用，列结点平衡方程 基本思路：尽可能简化问题，一般先 求内力，然后逐次列结点平衡方程 2021-6-7 21 基本概念基本概念 结

13、点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 结点法结点法 拱式桁架拱式桁架 简化问题 对称性的利用 对称结构：结构的杆件以及支座对一 个轴对称，则称该结构为对称结构。 2021-6-7 22 2L2LLL 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 结点法结点法 拱式桁架拱式桁架 简化问题 对称性的利用 对称荷载：荷载的大小、作用点、方 向都关于一个轴对称。 2021-6-7 23 对称结构在对称荷载作用下，内力和反力对称结构在对称荷载作用下，内力和反力 都对称都对称 2L2LLL FPFP 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联

14、合法 扩展内容扩展内容 结点法结点法 拱式桁架拱式桁架 简化问题 对称性的利用 对称荷载：荷载的大小、作用点、方 向都关于一个轴对称 2021-6-7 24 结点上无荷载 2L2LLL FPFP 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 结点法结点法 拱式桁架拱式桁架 简化问题 对称性的利用 反对称荷载：荷载的大小、作用点关 于一个轴对称，对应位置的荷载方向 相反 2021-6-7 25 对称结构在反对称荷载作用下，内力和反对称结构在反对称荷载作用下，内力和反 力都反对称力都反对称 2L2LLL FPFP 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法

15、联合法 扩展内容扩展内容 结点法结点法 拱式桁架拱式桁架 简化问题 对称性的利用 反对称荷载：荷载的大小、作用点关 于一个轴对称，对应位置的荷载方向 相反 2021-6-7 26 2L2LLL FPFP 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 结点法结点法 拱式桁架拱式桁架 简化问题 对称性的利用 反对称荷载：荷载的大小、作用点关 于一个轴对称，对应位置的荷载方向 相反 2021-6-7 27 FPFP 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 结点法结点法 拱式桁架拱式桁架 简化问题 结点单杆、零杆 u结点单杆：以结点

16、为平衡对象能仅用一个 方程求出内力的杆件，称为结点单杆 u零杆：杆件轴力为零的杆件 特殊结点 2021-6-7 28 L形结点T形结点等价T形结点 FN1 FN2=FN1 FN3 FN4=FN3 FN2=-FN1FN1=-FN2 FN3FN4FN3 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 结点法结点法 拱式桁架拱式桁架 练习 判断结构中的零杆 2021-6-7 29 FP FP FP FP 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 结点法结点法 拱式桁架拱式桁架 练习 计算桁架各杆件内力 2021-6-7 30 2FP

17、4a a 第一步：求支座反力 第二步：判断零杆和单杆，简化问题 第三步：逐次去结点，列平衡方程 第四步：自我检查 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 结点法结点法 拱式桁架拱式桁架 练习 计算桁架各杆件内力 2021-6-7 31 2FP 2FP FP FP P 5F P 5F P 2F P 2F P 2F P 2F 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 结点法结点法 拱式桁架拱式桁架 练习 判断结构中的零杆 2021-6-7 32 6a a a 4FP FPFP 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联

18、合法联合法 扩展内容扩展内容 结点法结点法 拱式桁架拱式桁架 练习 求a杆的轴力 2021-6-7 33 FP 4FP 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 结点法结点法 FP a b FP a 拱式桁架拱式桁架 练习 判断结构中的零杆 2021-6-7 34 FPFP FPFP 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 结点法结点法 拱式桁架拱式桁架 练习 判断结构中的零杆 2021-6-7 35 aa a a FP FP FP FP FP/2FP/2 FP FP/2 FP/2 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法

19、截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 结点法结点法 拱式桁架拱式桁架 截面法 截取桁架的某一局部作为隔离体，由平 面任意力系的平衡方程即可求得未知的轴力 2021-6-7 36 对于平面桁架，由于平面任意力系的独 立平衡方程数为3，因此所截断的未知轴力 的杆件数一般不宜超过3 1 2 3 4 FPFPFPFPFP 65 m 6 m 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 截面法截面法 拱式桁架拱式桁架 截面法 2021-6-7 37 解：(1)求支座反力 (2)以截面切开结构，取左边部分 作为隔离体 1 2 3 4 FPFPFPFPFP 65 m 6 m

20、 2.5FP 2.5FP I I 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 截面法截面法 拱式桁架拱式桁架 截面法 2021-6-7 38 解：(2)以截面切开结构，取左边部分 作为隔离体 FN1 3 FPFP 2.5FP FN4 FN2 O1 O2 1 N1PP 0627.52.5150 O MFFF =-3.75FP 2 N2PP 062.51050 O MFFF =3.33FP N4PP 6 02.520 61 y FFFF =0.65FP 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 截面法截面法 拱式桁架拱式桁架 截

21、面法 2021-6-7 39 解：(1)求支座反力 (2)以截面切开结构，取左边部分 作为隔离体 (3)以截面切开结构，取左边部分 作为隔离体 1 2 3 4 FPFPFPFPFP 65 m 6 m 2.5FP 2.5FP 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 截面法截面法 拱式桁架拱式桁架 截面法 2021-6-7 40 解：(3)以截面切开结构，取左边部分 作为隔离体 FN3 FPFP 2.5FP ？ FN2 N3PP 022.50 y FFFF =-0.50FP 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 截面法截

22、面法 拱式桁架拱式桁架 截面法 截断杆件时，可以考虑桁架的几何组 成。在联系处切断，暴露出来的未知 力数目一定少于独立方程数目 这里强调的仍然是按与几何组成相反 顺序求解的基本原则 2021-6-7 41 FPFP FP FP 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 截面法截面法 拱式桁架拱式桁架 截面单杆 截面法取出的隔离体，不管其上有几个 轴力，如果某杆的轴力可以通过列一个平衡 方程求得，则此杆称为截面单杆 相交类型 2021-6-7 42 FPFPFPFPFP a 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 截面法截

23、面法 拱式桁架拱式桁架 截面单杆 相交类型 2021-6-7 43 a FP FP a基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 截面法截面法 拱式桁架拱式桁架 截面单杆 平行类型 2021-6-7 44 FP FP a 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 截面法截面法 拱式桁架拱式桁架 联合法 结点法和截面法各有所长。将两种方法 联合使用更为方便 2021-6-7 45 FPFP a a 截面法 相交型 结点法 a 截面法 相交型 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 联合法联

24、合法 拱式桁架拱式桁架 联合法 用较简单的方法求指定杆件轴力，指出思路 2021-6-7 46 FP a 2FP b FPFPFPFPFPFPFP 8d 2d a b c d 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 联合法联合法 拱式桁架拱式桁架 联合法 用较简单的方法求指定杆件轴力，指出思路 2021-6-7 47 FPFP a b FP FP b a 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 联合法联合法 拱式桁架拱式桁架 联合法 K式桁架，求a、b杆的轴力 2021-6-7 48 6L 2L FP/2FP/2FPF

25、PFPFPFP a FN2=-FN1 FN1=-FN2 b 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 联合法联合法 拱式桁架拱式桁架 拱式桁架的计算 关键在于求支座反力：双截面法 几何组成分析基本原则 2021-6-7 49 2FPFP 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 拱式桁架拱式桁架 拱式桁架拱式桁架 拱式桁架的计算 2021-6-7 50 2FPFP 2FP 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 拱式桁架拱式桁架 拱式桁架拱式桁架 拱式桁架的计算 2021-6-7 51 2FP FP 2FP 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 拱式桁架拱式桁架 拱式桁架拱式桁架 拱式桁架的计算 2021-6-7 52 2FP FP 2FP 基本概念基本概念 结点法结点法 截面法截面法 联合法联合法 扩展内容扩展内容 拱式桁架拱式桁架 拱式桁架拱式桁架 练习 求a，b，c杆的轴力 2021-6-7 53 80 kN40 kN40 kN 40 kN a bc 44 m 24 m 120 kN 100 kN FNb=0；FNa=120 kN； N