导数中分类讨论的三种常见类型

1、导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出 结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释 几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对 于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论.1. 导函数根的大小比较实例1:求函数f x -

2、x31 -x2 ax a， x R的单调区间.32分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对函数 fx - x3 - - x2 ax a进行求导可以得到导函数32fx x2 1 a x a ，观察可知导函数可以因式分解为fx x2 1 a x a x a x 1 ，由此可知方程f x 0有两个实根x1 a，x21，由于a的范围未知，要讨论函数f x 1 x3 1 a x2 ax a的32单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分 a 1，a 1，a 1三种情况进行讨论：当a 1时，f x，f x随x的变化情况如下：x，-aa, 1-11,f x+00+f x单调递增极大

3、值单调递减极小值单调递增所以，函数f X的单调递增区间为 ，a和1,单调递减区间为a, 1 当a 1时，f x 0在R上恒成立，所以函数 f x的单调递增区间为,，没有单调递减区间当a 1时，f x，f x随x的变化情况如下：x,1-11,aaa,f x+00+f x单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数f x的单调递增区间为 ，1和a,，单调递减区间为 1,a综上所述,1时，函数f x的单调递增区间为,a和1,，单调递减区间为a, 1 ；，没有单调递减区间；1和a,，单调递减区间为当a 1时，函数f x的单调递增区间为当a 1时，函数f x的单调递增区间为1,a点评：这道题之所以要分

4、情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于a R，所以要分a 1，a 1，a 1三种情况，这里注意不能漏了 a 1的情况.2. 导函数的根的存在性讨论实例2:求函数f xx3 ax2 x的单调区间分析：这道题跟实例1 一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数f x x3 ax2 x进行求导可以得到导函数 f x 3x2 2ax 1，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程 3x2 2ax 1 0是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式4a2 12，若4a2 12 0即.3 a .3，方程3x2 2 ax 1 0没

5、有实根，即f x 0在R上恒成立，所以f x在R上单调递增;若4a2 12 0即a，方程3x2 2ax 1 0有两个相等的实根x1 x2a，即f x 0在R上恒成立，所以f x在R上单调递增；若4a2 12 0即a-：3或a .3，则方程3x2 2ax 1 0有两个不同实根，由求根公式可解得人X2a23.，显然人X2此时f X，f x随x的变化情况如下:x,X1X1X1,X2X2X2,f x+00+f x单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上所述，当、.3 a .3时，f x的单调递增区间为，没有单调递减区间；72 3当a- 3或 a 13时，f x的单调递增区间为，一a 和3aa2 33，

6、单调递减区间为a Ja2 3 a Ja2 333点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情 况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以 可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两 个根的大小关系，实例2则相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出 来的两根大小已知，所以不用再讨论。通过这两道实例可以知道，在分情况讨 论的时候弄清楚讨论的必要性是很重要的，不能以偏概全。3. 导函数的根与给定区间的关系实例3:已知函数f x x2 ln x，函数g x

7、 f x x2 ax , a 0，若x 0,e时，g x的最小值是3,求实数a的值.（e是自然对数的底数）分析：由题意可以求得g x ax Inx，且函数g x的定义域为0,，已知 的是函数g x在0,e上的最小值是3,而函数最值的讨论通常是以单调性的讨 论为基础，所以可以先考虑函数 g x在0,e上的单调性，因此对g x进行求 导，得到导函数g x a 111若e 一即a -，则g x在0,-上单调递减，在 -，e上单调递增，所以aeaa 业，因为a 0，所以令g x 0解得x -，x xa则g x，g x随x的变化情况如下:x0,1a1 a1I ag x0+g x单调递减极小值单调递增这是

8、g x在0,上的单调性，而要讨论其在0,e上的单调性，这里涉及到e跟1的大小，也即是丄是在给定区间内还是在区间外的问题，可以知道，题目aa1中并没有条件可以让我们确定e跟-的大小关系，所以这里需要分情况讨论：a11若e 一即0 a ，则g x在0,e上单调递减，g x min g e ae 1，令ae4ae 1 3，解得a -（舍去）e1 2g X min g - 1 ln a，令1 Ina 3,解得 a e，满足条件.a综上所述，所求实数a的值为e2.点评：这道题实质上就是讨论函数在给定区间上的单调性，在这道例题中，导函数存在唯一的实根，所以可以确定原函数 g x在定义域0, 上的单调性，1

9、而要讨论其在区间0,e的单调性，则涉及到e跟-的大小关系，也就是确定导a函数等于零的点跟给定区间的关系这道题中如果把a的范围改为a R，问题就 稍微复杂一点，首先得考虑导函数g x a - 笆根是否存在，可以发现，x x1 1如果a 0，则不存在导函数等于零的点，此时g x a0 ,函数g xx x1在0,e上单调递减；而如果a 0,则导函数存在唯一的实根 -，其中a 0又a11包含了两种情况：a 0和a 0,如果a 0，那么0, 0, ，此时aag x a 1 坐0 ,函数g x在0,e上单调递减；至于a 0的情况，讨x x论如实例3.分类讨论思想是对研究对象进行分类，简化所要研究的对象，它

10、是解决问 题的一种逻辑方法，也是锻炼人思维模式的方法，但在分类讨论时要明确讨论 的对象以及按什么标准进行分类，做到不重复、不遗漏.导数中的分类讨论在历年高考中也是经常出现，主要是在研究函数的单调性、极值与最值中应用比较 多.导数问题中分类讨论的方法摘要：近年，高考解答题对导数部分的考察几乎都会涉及到对某个参数的分类讨论，而考生的在这一题中的得分率并不高。主要原因有两个，一是看不懂题意，二是不会分类讨论。而分类讨论在高考中处于重要的地位”：分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点与热点，而且是高考的难点。每年在中高档题甚至在低档题中都设置分类讨论问 题，通过分类讨论考查推理的严谨性和

11、分析问题解决问题的能力。本人在几年的教学生涯中，对这类问题作了一定的探讨，并总结出了导数问题中解答问题的步骤及引起分类讨论的原因。关键词：单调区间，极值，分类，最值，取值范围为了更好的解决导数中分类讨论的问题，笔者建议按照下列步骤来解决导数解答题（1）求导 f（X）(2)令 f(x)=O（3） 求出f （x）=0的根（4）作出导数的图像或等价于导数的图像（一般是二次函数或一次函数的图像）（5）由图像写出函数的单调区间，极值，或最值规范了步骤后，在解题过程中涉及到的分类讨论一般有：方程f （x）=0的类型引起的讨论、根的存在引起的讨论、根的大小引起的讨论、画图像时开口或斜率的讨论、根与给定区间

12、或定义域的端点的大小的讨论）下面笔者结合若干例题对上述的分类讨论方法作一一阐述例1 ：若函数f（X）ax2 ln x （a0），求函数的单调区间。x解：f (x) a2小ax x 2 / c、(x 0)x2令 f (x)=0，即:2ax（注意这里方程的类型需要讨论）若a 0,则x2,作出g(x)2的图像，由图像可知f （x）在（0,2）上为减函数，在（2 , + g）上为增函数若 a 0,贝y1 8a 0,yt 叭7X2a2由ax x 20，得141 8a11 8ax102a2a在（ 1一8a,）上为增函数2a.32、.例2: （08全国高考）已知函数f（x） = x + ax + x+ 1,

13、 a R,讨论函数f（x）的单调区间解:2f (x) 3x2ax 1令（注意这里根的存在需要讨论）f (x) 3x2 2ax 14a21224a 120，即f （x）在R上为增函数4a2 120,即 af (x) 3x2 2ax 1i 2a . a 33，x2f（X）在（在（综上所述:.3或 a30得,a 3,）上为增函数a匚卫,“j 3 ）上为减函数3时,f （x）在R上为增函数.3时,f (x)在(上为增函数，在亠，）上为减函数例3.（ 2010北京）已知函数f(x)=I n(1 +x)- x+ k x2 (k 0)。2求f （x）的单调区间。解: f (x)-11 xkxx(kx k1

14、x (x 1)令 f (x) =0，即：x(kx k1)讨论）a30 （这里需要对方程 kx k 10的类型若 k=0 ,则 f (x)1 xf （x）在（-1,0 ）上为增函数，在（0, + 8）上为减函数若 kM 0,由 x(kx k 1)0 得,1 11（这里需要对两个根的大小进行讨论）k若 k=1 ,2x则f (x)0, f (x)在(-1, +8)上为增函数1 x1，则 f (x)在(1,0)或(k1,）上为增函数1在(0,1)上为减函数k1则 f (x)在(1,1)或(0,k）上为增函数综上所述:若 k=0 ,若 k=1 ,在（!1,0）上为减函数kf （x）在（-1,0 ）上为增

15、函数,在（0 , +上为减函数1, f（x）在（1,0）或（11,）上为增函数k在（0,11）上为减函数f（X）在（-1, +8）上为增函数f(x)在(1,1 1)或(0,k）上为增函数在（11,0）上为减函数例4. （2009北京理改编）设函数解：f（X）kxkxe kxe讨论）令 f (x)0，即 kx若k = 0,则f (x) 1若kM 0则由kx 10 得,斜率讨论)若k0则f(x)在(,-)上为减函数，在( k1 k,)上为增函数若k0则f(x)在(1,匚)上为减函数，在(1 k,)上为增函数若k0 ,则f(x)在(1,匚)上为增函数，在(k,)上为减函数例5 :(海南2011四校联

16、考)f(x) 2l nx 2x 3,g(x) (p 2)x -3x若对任意的x 1,2, f(x)g(x)恒成立，求实数p的取值范围解：f(x)的定义域为(0，)设 h(x)f (x) g(x) 2l nx px2设 h (x)px 2x p 22x2令设h (x)0,即 px 2x p 20 (对方程类型的讨论)2x 2若 p=0,则设h (x)20x则h(x)在1,2上为增函数，h(x)minh(1)2,不符合要求2若p丰0,由 px 2x p 20得(对两根的大小，定义域的端点、给定区间的端点大小的讨论)若巴21,即p 1,则h(x)min h(1)0,符合题意p1,即 1 p 0,则

17、h(x)min h(1) 2p 20,不符合题意P -0,即 2 P 1,则 h(x)minP0,即p 2,则 h(x)min h(1)22h(1) 2p 20,符合题意2p 20 ,符合题意2,即p 2,则 h(1)2p 20,不符合题意-101 22,即 p 2,则 h(1)20，不符合题意2,即0 p 2,则 h(1)2p 20，不符合题意综上所述:p的取值范围为（，1-1,即 P 2,则 h(x)min h(1)定不足之处，望全体同仁多多下面笔者就海南2010年高考的压轴题来说明本人提出的解题步骤和讨论方法具有 的实用价值，当然解答的过程可能不够严谨，处于定性的范围，指教。理）设函数f（x）ax2。若当 x 0 时 f (x)0 ,求a的取值范围f (x)ex2 ax 1令 f (x) ex 2ax0 （此方程是个超越方程，故根的讨论转换成两个函数的交点的问题）即ex2ax 1令y1易求得ex，y22ax 1x在A的切线的斜率为11 x a 则有e2y1 e显然若有2a1，即2ax 1恒成立即 f (x) ex2ax10恒成立所以x 0，时f （x）f(0)0，即f