单元测试：选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》

1、选修1-1第二章圆锥曲线与方程（本卷共150分，考试时间120分钟）、选择题：本大题共12小题，每小题 5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设定点F1 0,-3，F2 (0,3 )，动点 P(x, y )满足条件 PFi + PF2二a a 0，则动点P2、的轨迹是（）A.椭圆 B. 线段 C.不存在D.椭圆或线段或不存在抛物线ym2的焦点坐标为（丄,0B .0,丄C .,0D.0,m4m.4m4.4A.3、双曲线mx2二1的虚轴长是实轴长的2 倍,则m的值为（4、AB为过椭圆A.b2_ 2爲+爲=1中心的弦, a bB.ab C.acF(c,0)为椭圆的右焦

2、点,D.bc则厶AFB面积的最大值是 （）9x25、设A(x, yj B(4, )C (2 y是右焦点为 F的椭圆 一5252-1上三个不同的点，则9“ AF , BF , CF成等差数列”是“X1x8 ”的(A.充要条件C.充分不必要条件6、过原点的直线B.D.2l与双曲线4必要不充分条件 既非充分也非必要1有两个交点，则直线l的斜率的取值范围是A.(山，22B.(OOC.,2212).7、过双曲线的条数为A. 1x2B.2D.( o的右焦点作直线C.3D.433 丄“、)U (，+ O )2 -22U ，+ o )2l，交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线个交点，则满足条件的

3、直线12的条数为（A. 1B.2C.3D.49、如图，在正方体 ABCD- AiBiGD中，P是侧面BBCC内一动点，若 P到直线BC与直线 CDA.直线B.抛物线C.双曲线D.圆10、以过椭圆2 2爲爲=1(a ba2b20)的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.不能确定的距离相等，则动点 P的轨迹所在的曲线是（）点P在椭圆11、12、唔137x2+4y2=28上，则点P到直线3x 2y 16=0的距离的最大值为28f-D.1313B. 13 C.卸13若抛物线2y = ax -1上总存在两点关于直线x y =0对称，则实数 a的取值范围是A. ?：B

4、.4，:C.D.4二、填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共16分.313、已知双曲线的渐近线方程为y= x，则此双曲线的离心率为4 14、 长度为a的线段AB的两个端点 A B都在抛物线y2=2px（p .0且a 2 p）上滑动，则线段AB的中点 M到y轴的最短距离是 .2 2x y15、 F1, F2是椭圆二 2 =1的两个焦点，点 p是椭圆上任意一点，从 F引/ FPE的外角a b平分线的垂线，交 F2P的延长线于 M,则点M的轨迹是一16、椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A、B是它的焦点，

5、长轴长为2a,焦距为2c,静放在点A的小球（小球的半径忽略不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到 点A时,小球经过的路程是.三、解答题：本大题共 6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. （本小题满分12分）焦点到椭圆长轴端点的最短距离为椭圆短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形, 求此椭圆的标准方程。18. (本小题满分12分)2 2Fi，F2为双曲线 H =1(a0,b0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线与点a bP且/ P FiF2=300，求双曲线的渐近线方程。2 2务 与=1(a1,b0)的一个焦点，并于双曲线a b求抛物线的方程和双曲线的方

6、程。19. (本小题满分12分)抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为20、(本小题满分12分)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验设计方案是:2 2如图，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为- y 1，变轨10025(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M 0, 64 j为顶点的抛物线的实线部分，降落点为L 7丿D(8, 0).观测点A(4, 0)、B(6, 0)同时跟踪航天器(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;(2)试问：若航天器在 x轴上方，则在观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变

7、轨指令?21、(本小题满分12分)如图，已知椭圆2 2. y_ a2 b2(ab0)的离心率e =，过点A (0, -b )和-: 3 B (a, 0)的直线与原点的距离为.2(1) 求椭圆的方程.(2) 已知定点E (-1 , 0),若直线y= kx + 2 ( k丰0)与椭圆交于 C、D两点.问: 是否存在k的值，使以CD为直径的圆过 E点?请说明理由.22、(本小题满分14分)2 2设双曲线C：笃一爲=1 (a 0, b 0)的离心率为e,若准线I与两条渐近线相交于 P、a bQ两点，F为右焦点， FPQ为等边三角形.(1 )求双曲线C的离心率e的值；b22(2)若双曲线C被直线y =

8、ax+ b截得的弦长为 匕亘，求双曲线c的方程.a参考答案、选择题:1、D 提示：当a 6时轨迹是以Fi,F2为焦点的椭圆；当a =6时轨迹是线段RF?；当a ： 6时轨迹不存在，故选D.2、D提示：抛物线方程的标准形式为：x2 =my 其焦点坐标为iO,印，故选D.I 4丿3、A.提示：丁 mx2 y2 =1是双曲线，m0,且其标准方程为又T其虚轴长是实轴长的 2倍，故选A.4、D提示:设 A(xo,yo),B( xo, yo),1 1Saab=Sa ofb+S of=c |y o|+ c | yo|=c |y o|.2 2/=1 上,2 |y o|的最大值为b.点A B在椭圆笃+ 2a2

9、b2- SABF的最大值为bc，故选Do5、A.提示：= 5, b= 3, c = 4, F(4, 0),4e =-.由焦半径公式可得54 94|BF| = 5X 4= , |CF| = 5 - X2，故 AF5 554 9_ X2)= 2 X”5 56、B提示:双曲线方程线与渐近线重合，直线% x2 =8，故选 A.,BF ,CF成等差数列二4|AF| = 5-X1,54(5 X1)+ ( 552 2拓仝一=1,其渐近线的斜率 k= 土三，当直线I的斜率为土3 42I与双曲线无交点，排除CD.又双曲线的焦点在y轴上，当一时，直2.3 |.3k2 2时，直线与双曲线无交点，故选B。7、C.提示

10、：T 2a =2,而AB =4, A,B分别在双曲线两支上的直线有2 条;又通径长=4, A,B在双曲线同一支上的直线恰有1条,满足条件的直线共有3条.故选C.8、C.提示：点P(2,1)在抛物线内部，且直线h与抛物线C相交于A,B两点,过点P的直线12再过点A或点B或与x轴平行时符合题意满足条件的直线12共有3条.9、B.提示：易知点P到直线CD的距离为PC1 .由O是定点，BC是定直线.据题意，动点 P到定点G的距离等于到定直线 BC的距离.由抛物线的定义，知轨迹为抛物线.故选B.10、C.提示：设过焦点P的弦的两个端点及弦的中点分别为A、B、P,它们在右准线上的射影分别为A、BP ,则圆

11、心P到准线的距离1PP* =訓 AA*+| BBJ而圆的半径=AB212 AFBF |QAA + BB 又 e圆的半径圆与右准线相离，故选 C.x = 2co(,11、C提示：化椭圆方程为参数方程丿(a为参数).y =H7 sina|6cos: -2、.7sin : -16| |8cos(展亠)|16点P到直线3x 2y 16=0的距离为d=.尿v132424- dma)= = - 13，故选 CoV131312、 B.提示：设P、Q关于x - y = 0对称，则可设直线 PQ的方程为：2y 二 x b,由 y 二 x b 和 y =ax提示：当线段AB过焦点时，点 M到准线的距离最小，其值为

12、 1 (a-p). 15、 以点F2为圆心，以2a为半径的圆. -1 联立，消去 y 得，ax -x-b-1=0. =1+4a(b 1)0,1 1 1 提示： MP| =|F1P|, |PF1|+|PF 2|=|MF2|=2a, 点 M到点 F2的距离为定值 2a, 点 M 的轨迹是以点 F2为圆心，以2a为半径的圆.又陀中点M(才b)在x上，得-a联立，解得a 4，故选B.二、填空题13、16、4a 或 2(a c)或 2(a+c) 或 5 .3 4提示：据题意，a = 3或, e=5或5.b 433414、(a - p)2提示：设靠近A的长轴端点为 M另一长轴的端点为 N.若小球沿AM方向

13、运动，则路程应 为2(a c);若小球沿 ANM方向运动,则路程为2(a+c);若小球不沿 AM与AN方向运动,则路 程应为4a.三、解答题：本大题共 6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤2 217. 解：当焦点在x轴时，设椭圆方程为 冷爲=1，由题意知a=2c, a-c= . 3 a2 b22 2解得a=2. 3 , c= . 3，所以b2=9，所求的椭圆方程为 - 丫 11292 2同理，当焦点在y轴时，所求的椭圆方程为 y 1.91218.解：设 PF2=m 所以 PF 1 =2m F1F2 =2c=、；3m, PR - PF2=2a=m2a2 ,2 .2a +b b

14、-31 :-3 2 - 1 2aab22 =2a2a2爲 二1的渐近线方程为y= _ 、2x .b219.解：由题意可知，抛物线的焦点在x轴,又因为过点所以可设其方程为y2 = 2 px( p 0). 6 =3p p =2所以所求的抛物线方程为y2 = 4x所以所求双曲线的一个焦点为(1 , 0)x2y2322 =1 而点(一，-.6)在双曲线上，所以a1 -a2所以所求的双曲线方程为4x-y2 =1.3,所以c=1 ,所以，设所求的双曲线方程为2a20、解：(1)由题意，设曲线方程为 y将点D(8,0)的坐标代入，得0 二 a 64647曲线方程为 y=-lx27(2)设变轨点为 C(x,y

15、)，根据题意可知2-1, 12512*642X100将(2)代入y x772(1)得 4y2-7y-36=0，解之，得 y=4 (y=-9/4 舍去)是x=6，所以点C的坐标为（6, 4）.所以AC = 2圧，BC因此，在观测点A、B测得离航天器的距离分别为2、5,4时，应向航天器发出变轨指令.21、解析：（1）依题意直线 AB方程为：bx-ay-ab = 0. 盲，ab2解得.3a =、. 3,b =1Ja2 b222椭圆方程为y1 .3（2）假若存在这样的k值，由y 二 kx 2,x2 3y2 - 3 = 0得(1 3k2)2x 12kx 9 = 0.一 36(1 3k2) 0设C（x1，

16、yj、D（X2， y2），则X112k X2 2，1 3k29X221 3k主 1，即x21而 yi y2 = (kx1 2)(kx2 2) = k2x1x2 2k(x1 x2) 4 .要使以CD为直径的圆过点 E （-1 , 0）,当且仅当 CE!DE时,y2(为1)(X21)=0二(k21)X1X22(k1)(X1X2)5=0将式代入整理解得 k = 7 .经验证，k =，使成立.综上可知，存在k6 6-，使得以CD为直径的圆过点E.622、解析：（1）双曲线C的右准线l的方程为：x=2，两条渐近线方程为:cyx.a两交点坐标为2P(-,cab、)、Q(,cab).c. 3 PFQ为等边三角形，则有|MF | |PQ| （如图）.2a2. 3 zab ab、c(),c2 ccc2 -a2、.3abcc解得 b = . 3a , c= 2a. e 2.a2 2(2)由(1)得双曲线C的方程为把笃-乙=1 .a 3a把 y = ax 3a 代入得(a2 -3)x2 2 3a2x 6a2 = 0 . 2a2 -