导数知识点总结

1、知识要点函数y f (x)在点x0处连续是 y f(x)在点x0处可导的必要不充分条件 .可以证明，如果 y f(x)在点 x0处可导，那么 y f(x)点x0处连续.事实上，令 x x0 x，则 x x0相当于 x 0.于是 lim f (x) lim f(x0 x) lim f (x x0) f(x0) f (x0)x x0 x 0 x 0f (x0 x) f(x0)f(x0 x) f(x0)lim 0 0 x f (x0) lim 0 0 lim lim f (x0) f (x0) 0 f(x0) f(x0).x 0 x x 0 x x 0 x 0如果 y f (x) 点 x 0处连续，

2、那么 y f (x) 在点 x 0处可导，是不成立的 .例：f(x) |x|在点 x0 0处连续，但在点 x0 0处不可导，因为 y | x| ，当 x0时， y 1；x x x 当 x0，则y f(x)为 增函数；如果 f(x)0，则 y f (x)为减函数.常数的判定方法；如果函数 y f (x)在区间 I内恒有 f (x) =0，则 y f(x)为常数.注： f(x) 0是 f (x)递增的充分条件，但不是必要条件，如 y 2x3在( , )上并不是 都有 f(x) 0 ，有一个点例外即 x=0时f(x) = 0 ，同样 f(x) 0是f(x)递减的充分非必 要条件.一般地，如果 f (

3、x)在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正(或负)，那么f( x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的 .8. 极值的判别方法：(极值是在 x0附近所有的点，都有 f(x) 0，右侧 f (x)0，那么 f (x0 )是极大值；如果在 x0附近的左侧 f (x) 0，那么 f (x0 )是极小值 .也就是说 x0是极值点的充分条件是 x0点两侧导数异号，而不是 f ( x) =0. 此外，函数不 可导的点也可能是函数的极值点 . 当然，极值是一个局部概念， 极值点的大小关系是不确 定的，即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同) .注： 若点 x0是可导函数 f (x)的极值

4、点，则 f (x) =0. 但反过来不一定成立 . 对于可导函 数，其一点 x0 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零 例如：函数 y f(x) x3，x 0使 f (x) =0，但 x 0不是极值点 .例如：函数 y f (x) |x|，在点 x 0 处不可导，但点 x 0 是函数的极小值点 .9. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值 进行比较 .注：函数的极值点一定有意义 .导数练习一、选择题1设函数 f ( x)在R上可导,其导函数 f ( x) ,且函数 f(x)在x 2处取得极小值 ,则函数y xf (x) 的图象可能是2设 a0

5、,b0,e 是自然对数的底数A若 ea+2a=eb+3b, 则 abB若 ea+2a=eb+3b, 则 abD若 ea-2a=eb-3b, 则 a0, b0.A若 2a 2a 2b 3b, 则 abB若 2a 2a2bC若2a 2a 2b 3b,则 abD若 2a 2a2b9设函数 f(x)在 R上可导,其导函数为f (x), 且函数的图像如题 (8) 图所示, 则下列结论中一定成立的是 A函数f (x) 有极大值f(2) 和极小值 f (1)B函数f (x) 有极大值f( 2) 和极小值 f (1)C函数f (x) 有极大值f(2) 和极小值 f ( 2)3b, 则 a0.1 1 a17已知函数 f (x) 1x3 1 a x2 ax a(a 0)32(I) 求函数 f(x) 的单调区间 ;(II) 若函数 f(x)在区间( 2,0)内恰有两个零点 ,求a的取值范围;(III) 当a 1时,设函数 f (x) 在区间t,t 3上的最大值为 M(t),最小值为 m(t),记 g(t) M(t) m(t),求函数 g(t)在区间 3, 1上的最小值.18设函数 fn(x) xn bx c (n N ,b,c