【教学设计】《指数运算的性质》(北师大)

1、指数运算的性质 教材分析 从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从 而把指数推广到分数指数。进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幕的运算性质 由整数指数幕推广到实数指数幕。 本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幕运算律的推广)、 类比的思想、逼近的思想 (有理数指数幕逼近无理数指数幕 )、数形结合的思想(用指数函数 的图像研究指数函数的性质 )等，同时，充分关注与实际问题的结合， 体现数学的应用价值。 教学目标 【知识与能力目标】 (1) 在前面学习有理指数幕的运算的基础上引入了实数指数的概念及运算； (2) 能够利用实数指

2、数幕的运算性质进行运算、化简。 【过程与方法目标】 (1) 让学生了解指数幕的扩展，进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义； (2) 随着数的扩展，相应的运算性质也要延用和拓展 ，引入指数函数。 【情感态度价值观目标】 使学生通过学习无理指数幕的确定，了解数学中的无限逼近的思想，体会学习指数扩展的重 要意义，增强学习数学的积极性和自信心。 教学重难点 【教学重点】 无理指数幕的确定以及利用指数运算性质进行化简，求值。 【教学难点】 无限逼近的思想。 1 课前准备 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 教学过程 IJ 一、导入部分 先回顾正整数指数幕的运算性质

3、。 1. 2.当 其中m, n 同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样指数 就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理数指数幕呢？回顾数的扩 充过程，自然数到整数，整数到分数（有理数），有理数到实数。并且知道，在有理数到实数 的扩充过程中，增添的数是无理数。对无理数指数幕，也是这样扩充而来。既然如此，我们 这节课的主要内容是：教师板书本堂课的课题一一指数运算的性质。 二、研探新知，建构概念 请同学们阅读课本,无理数=1. 414 213 562 373 095 048 801 688 724 210的不足近似值 和过剩近似值，从两边逼近 得

4、到的近似值： 应该是个确定的实数 类似地 ,等都是确定的实数 ,对于任意的实数 , 都有 根据无理数的逼近过程 , 可以看出无理指数幂也是一个确定的实数。 这样指数概念又一次得到推广， 在数的扩充过程中， 我们知道有理数和无理数统称为实数 我 们规定了无理数指数幂的意义， 知道它是一个确定的实数， 结合前面的有理数指数幂， 那么， 指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂。 实数指数幂的运算性质： 对任意的实数r, s,均有下面的运算性质： 三、质疑答辩,发展思维 例1在实数范围内，对比和 （其中a 0, b0, b丰0），说明后者可以归入前者。 解： ，因此，性质可以归入性质。 例 2 化简（

5、式中字母均为正实数）： （1）（2） 活动：学生观察,思考,所谓化简,即若能化为常数则化为常数,若不能化为常数则应 使所化式子达到最简, 对既有分数指数幂又有根式的式子, 应该把根式统一化为分数指数幂 的形式,便于运算, 教师有针对性地提示引导,对 （1）（2） 由里向外, 要紧扣分数指数幂的意 义和运算性质，并对学生作及时的评价，注意总结解题的方法和规律。 解 （ 1） = （2） 例 3 已知 活动：学生思考，观察题目的特点，从整体上看，应利用运算性质，然后再求值，要有 预见性，教师引导学生考虑问题的思路，必要时给予提示。 解 点评：运用整体思想和运算法则是解决本题的关键，要深刻理解这种做法。 变式训练 : 计算下列各式（式中字母都是正数） ： 解：原式= 原式 = 四、课堂小结 （1） 无理数指数幂的意义。 一般地，无理数指数幕 aaa 0, a是无理数）是一个确定的实数。 （