习题及答案未

1、3-1 基本微分方程中没有包含水的密度，为什么说它表示了质量守恒定律答：首先，连续性方程：vxvyxyvzzxyznxyz表达了渗流区内任何一个 “局部 ”所必须满足的质量守恒定律， 且各种研究地下水运动的微分 方程都是根据连续性方程和反映动量守恒定律的方程（如 Darcy 定律）建立起来的。其次，在基本微分方程，如承压水运动微分方程中：KHKHyyKHz它表明单位时间内流入、 流出单位体积含水层的水量差等于同一时间内单位体积含水层弹性 释放（或弹性贮存）的水量。它还通过应用 Darcy 定律反映了地下水运动中的能量守恒与转 化关系。可见， 基本微分方程表达了渗流区中任何一个“局部”都必须满足

2、质量守恒和能量 守恒定律。这一结论也适用于半承压水运动和潜水运动的基本微分方程。最后，由：s dVb dV所以在各基本微分方程当中，水的密度的影响是通过贮水率s 来表达的。3-2 推导渗流的连续性方程、承压水运动的基本微分方程、半承压水运动的基本微分方程、潜水运动的基本微分方程（选做其二）答：（1）连续性方程： 设在充满液体的渗流区内，以 p（ x，y，z）点为中心取一无限小的平行六面体（其各边 长度分别为 x，y， z，且和坐标轴平行）作为均衡单元体（图1）。x cybp (x,y,z )a图 1 均衡单元体zd如 p（x， y， z）点沿坐标轴方向的渗流速度分量为vx、vy、vz，液体密度

3、为 ，那么，通过 abcd 面，在 t 时间内流入的水流质量vx1 可利用 Taylor 级数求得：vx1 y z t1v xvx2x同理，可求出通过右侧 abcd面流出的质量为vx2 y z tvx1vx2x因此，沿 x 轴方向流入和流出单元体的质量差为：vx1vx2xyzvx1vx2xvxxxyzt（） 同理，可以写出沿 y 轴方向和沿 z轴方向流入和流出这个单元体的液体质量差，分别为：vy yvzzxyzt因此，在 t 时间内，流入与流出这个单元体的总质量差为：在均衡单元体内，液体所占的体积为vy yvzzxyztnxyz，其中n 为孔隙度。相应的，单元体内的液体质量为 n x y z。

4、因此，在 t 时间内，单元体内液体质量的变化量为：t在连续流条件下（渗流区充满液体等）n x y z t，根据质量守恒定律，两者应该相等。因此，vxvyvzxyznxyzxyzt式（）即为渗流的连续性方程。（2）承压水运动的基本微分方程：假设， 地下水流动主要是沿水平面方向进行， 垂直流速可以忽略， 只考虑垂向压缩。于 是，只有水的密度 、孔隙度 n 和单元体高度 z 三个量随压力而变化， （）式的右端可改写 成；nxyzzpnzxyxyzvxvyvzxyzxyz因为水头 H z p ，故有：于是连续性方程（）变为：xyzpt g将ddVVdp 式代入上式得；H pt因为水的压缩性很小，l-

5、p 1，所以，H g Ht将（）式代入（）式，得：vxxvyvzzvxxvyyvzzxyz22gHt因此可以忽略不计，上式中，左端第二个括弧项比第一个括弧项要小得多， 变为：vxvyvzHx y z xy z gn x yz（）xyzt同时，根据 Darcy 定律在各向同性介质中，有：HHHvxK ,vyK ,vzK（）xyz将式（）代入式（） ，得：HHHHKKKxyzgnxyz（）xxyyzzt根据贮水率的定义，上式可改写为：HHHHKKKxyzs xy z（）xxyyzzt整理上式，得：KH zH st上述方程就是承压水非稳定运动的基本微分方程。3）半承压水运动的基本微分方程：近似地认为

6、水基本上是垂直地通过弱透水层，折射90后在主承压含水层中基本上是水平地流动的， 主含水层中的水流可近似地作二维流问题来处理，水头看作是整个含水层厚度上水头的平均值，即：H H x, y,t 1MM0 H x, y, z,t dz为简化起见，在以后叙述中略去 H 上方的横杠。同时假设和主含水层释放的水及相邻含水层的越流量相比，弱透水层本身释放的水量小到可以忽略不计。由图 2 所示的均衡单元体，根据水均衡原理可以写出下列形式的连续性方程QxQx xx2QxQx x tx 2 tQy yy2QyQy yt v2 v1 x y ty 2 2 1*H tyt式中： v1、v2 分别为通过上部和下部弱透水

7、层的垂直越流速率或越流强度，即v1 K1 H1 K1 H H1zm1v2K2 H2 K2 H2 H （）zm2式中： m1和 m2分别为厚度为 M 的承压含水层上、下的弱透水层厚度， K1和 K2 分别为承压 含水层上、下弱透水层的渗透系数。H1 x, y,t 和 H2 x, y,t 分别为上含水层（图中为潜水T表示主含水层的导水系数，含水层）和下含水层（图中为下承压含水层）中的水头，如以 则HQxT yxHQyT x把式（）代入式（） ，并在式的两端分别除以xy t，同时令 x、y、 t 0，则有THHH1 H H 2 HK2* H (TK1）xxyym1m2t（xQyQxQx这就是不考虑弱

8、透水层弹性释水条件下非均质各向同性越流含水层中非稳定运动的基 本微分方程。（4）潜水运动的基本微分方程：潜水面是个自由面，相对压强 p 0。对整个含水层来说，可以不考虑水的压缩性。 先考虑一维问题。取平行于 xoz 平面的单位宽度进行研究。在渗流场内取一土体，它的上界面是潜水面，下界面为隔水底板，左右为二个相距 x 的垂直断面。上断面流入的流量为qqxx2下断面流出的流量为qxx2设单位时间、单位面积上垂向补给含水层的水量为 W（入渗补给或其它人工补给取正值，蒸发等取负值） 入和由下游流出的水量差，根据 Dupuit 假设为：。在 t 时间内，从上游流qxqxvxhx2x2xt在 t 时间内，

9、垂直方向的补给量为 Wx t。因此， t 时间内小土体中水量总的变 化为：vxh W x t小土体内水量的变化必然会引起潜水面的升降。设潜水面变化的速率为，则在 tt时间内，由于潜水面变化而引起的小土体内水体积的增量为：Hxtt当潜水面上升时 为饱和差，下降时为给水度，此时忽略了水和固体骨架弹性贮存的 变化。vxh W xxt由于假设水是不可压缩的，根据连续性原理，这两个增量应相等，即：v K dH将 x dx 代入上式，得； H H xHKthHxx上式为有入渗补给的潜水含水层中地下水非稳定运动的基本方程（沿 x 方向的一维运 动），通常称为 Boussinesq 方程。在二维运动情况下，可

10、用类似方法导出相应的方程为：h H h x x yH yWHK K t（）当隔水层水平时，上式中 h H。对于非均质含水层， Boussinesq 方程有如下形式：HHHKhKhW（）x x yytBoussinesq 方程是研究潜水运动的基本微分方程。3-3 为什么初始时刻可以任意选定，不一定选用地下水的原始状态答：所谓初始条件，就是给定某一选定时刻（通常表示为t 0）渗流区内各点的水头值，用于表明所研究实际问题的特定条件。所以，利用渗流区内已知的水头H 的分布情况， 即可以作为初始时刻。3-4 为什么可以根据具体条件任意用一个区作为计算区，它的周界就作为边界答：边界条件，即渗透区边界所处的

11、条件，用来表示水头H（或渗流量 q）在渗流区边界上所应满足的条件，也就是渗流区内水流与其周围环境相互制约的关系。边界条件和初始条件合称定解条件。 一个描述某实际问题的数学模型中， 定解条件用来 表明所研究实际问题的特定条件。我们用这样的模型来再现一个实际水流系统。所以，只要其周界能够比较好的符合边界条件的选取要求，能够相对简单准确的给出数学模型的定解条件，该区域就可以作为计算区3-5 如果选用天然边界作为计算区边界，有什么优越性答：选取方便求解准确3-6 边界上的泉一般作为什么边界条件如在开采过程中泉水可能被疏干，还能 作为边界吗答：通过实际观测可以得到边界上的泉单位面积（二维空间为单位宽度）

12、上流出时的流量 q 时，因此泉可以作为第二类边界或给定流量的边界。泉水疏干后，相当于各点在每一时刻的水头都是已知的，此时这部分边界可作为第一类边界。3-7 为什么一定要有识别（校正）模型这个阶段直接用野外试验所得的参数值 和边界条件建立模型，不经过上述阶段行不行答：当已建立确定性模型来描述实际地下水流后， 我们对通过上述步骤建立的模型是否能确 实代表所研究的地质体还没有把握； 模型中出现的参数这时一般也不能确切给出。 因此， 必 须对所建立的模型进行检验， 即把模型预测的结果与通过抽水试验或其它试验对含水层施加 某种影响后所得到的实际观测结果或一个地区地下水动态长期观测资料进行比较， 看两者是

13、 否一致。若不一致， 就要对模型进行校正，直至满意地拟合为止。 这一步骤称为识别模型或 校正模型。模拟实际问题的数学模型还应满足下列基本条件这个解对原始数据是连续依赖的 （稳定 性）。这意味着当参数或定解条件发生微小变化时，所引起的解的变化也是很微小的。只有 有了这条保证，当参数和定解条件的数据有某些误差时，所求得的解才能仍然接近于真解； 否则， 解是不可信的，并应该认为此时的数学模型是有毛病的。在实际工作中，原始数据有 某种误差，在所难免，所以这个条件很重要。所以一定要有识别（校正）模型这个阶段，不 能直接用野外试验所得的参数值和边界条件建立模型。3-8 下图所示为均质、各向同性的潜含水层，

14、地下水流为平面非稳定流，且与 河水有直接的水力联系。 已知渗流区内的 A 区为稻田区，其灌溉水的补给强 度W（m/d）；B区为开采区，其开采强度为 （m/d ），在 A、B区的右侧有 3 口分散的开采井，其开采量分别为 Q1、Q2 和 Q3（m3/d ）。区内其它地方均 没有垂直方向的水量交换，试写出该地区地下水运动的数学模型。CAE可解：边界 BCD 为天然隔水边界。地下水流与河水有直接的水力联系。因此，边界 以作第一类边界处理。在远离开采区的、实际上不受该区抽水影响的地段人为地划定一条边界。以二条流线BA和 DE）作为边界。这时计算区就由ABCDEA所围的区域组成。根据给出的条件描述这一均