撇开灭点的成角透视图作图方法及正确性验证

1、撇开灭点的成角透视图作图方法及正确性验证吴绍兰( 福州大学工艺美术学院 工业设计系, 福建 厦门 361002)摘要: 本文介绍一种不受灭点远近限制的成角透视图法, 并对其进行几何论证 结果表明, 这是一种遵循几何学原理的科学作图方法, 可以推广应用关 键 词: 成角透视图;中图分类号: j 206. 2灭点; 几何学文献标识码: a作图幅面小 (见图 1 高层建筑的表达) 然而这种方法到底是经验的近似画法, 还是精确的科学画法? 现 有资料无从考证为了验证其科学性并进一步推广,笔者按步骤介绍其画法, 并加以几何论证引言0成角透视在透视图中应用最广, 作图方法颇多,有视线法、迹点灭点法、量点法

2、和网格法 这些方法 虽然严格遵循几何学投影规律且能够得到精确的图 形, 但往往需要较大的图纸幅面才能保证左右灭点 均在图纸之内, 难以避免大图纸画小图形的尴尬纵 览透视学的有关资料, 解决该问题的常规作法便是通过引与画面成 90、60、45等特殊角度的水平位 置辅助线完成作图, 但此类方法必须先经基面作图 再转换到画面作图, 作图线多且过程繁琐、费时, 应 用于大图形的绘制局限性很大相比之下书1 中介 绍的撇开灭点成角透视法(笔者命名) 恰好弥补了上述诸种方法的缺陷 该方法撇开灭点、量点, 并省略 了基面作图, 直接进入画面作图, 方法简单, 所需的撇开灭点的成角透视图作图方法以立方体为例作图

3、作 图步骤 ( 一) : 如图 2, 根据立方体的真实高 度, 先画出铅垂线 a d , 再根据画面效果的需要, 定 出透视线l 1、l 2、和l 3 ( 或l 1、l 2、l 3 和l 4 中任意三 条) 在l 1 和l 2 之间 任意画一条水平线段 a 1 a 2、过 a 2 引铅垂线交l 3 于 b2 , 再过 b2 引水平线交过 a 1 的 铅垂线于 b1 , 连接 d b1 即为立方体上底面透视线l 4 作图步骤(二) : 如图 3, 以 a 1 a 2 为直径画圆弧交1(a )(b)收稿日期: 2001204209作者简介: 吴绍兰 (1964 ) , 女, 福建厦门人, 福州大学

4、工艺美术学院讲师第 2 期吴绍兰: 撇开灭点的成角透视图作图方法及正确性姆证21(c)(d )图 1 撇开灭点的成角透视图实例d a 的 延 长 线 于 d , 再 分 别 以 a 1、a 2 为 圆 心, 以a 1d 、a 2d 为半径画圆弧, 交 a 1 a 2 于 m 1、m 2 点, 连接a 、m 1 即为通向右量点的量线m 右 连接a 、m 2 即为连接a 、k 3 并延长与l 3 交于 c , 过 c 作铅垂线交l 1于b 点, 则a b cd 即为立方体右侧的透视 同理可 确定立方体左侧的透视a e fd 作图步骤 ( 四) : 如图 5, 连接 a 、c , 过 e f 作三

5、角形 en f 与三角形 a cd 相似, 则 c、n 连线即为上底面通向左灭点的一条透视线 同理可画出上底面另一条通向右灭点的透视线 f p , f p 与 cn点 g 为上底面的另一个端点的透视的交作图步骤 (五) : 如图 6, 连接 f、c 和d 、g , 交点为o 2 , 过o 2 作铅垂线交底边对角线 eb 于o 1 点, 延 长a o 1 交过g 点的铅垂线于h , 由此完成立方体的透视作图图 2 确定正确的消失线图 4 确定形体左右侧面进深论证2上面五个步骤中, 第(五) 步骤简单明了, 不再证图 3 确定左、右量线通向左量点的量线m 左作图步骤 (三) : 如图 4, 在射

6、线m 右 和l 1 之间任意作一水平线 k 1 k 2 和一铅垂线 k 2 k 3 , 使明下面是前四个步骤的证明过程:第 (一) 步骤证明: 如图 7, 已知立方体的铅垂棱 边 a d 和另外三条棱边的透视 l 1、l 2、l 3、在 l 1 和k 1 k 2 立方体右侧实长k 2 k 3 = 立方体右侧实高22华 东 交 通大学 学 报2001 年l 2 之间引一条水平线段 a 1 a 2 , 过 a 2 作铅垂线 a 2 b3 ,再过 b2 引水平线, 与过 a 1 的铅垂线交于 b1 点 求证: 点 d 、和点 b1 的连线为左侧上底棱边的透视方 向, 其实就是要求证直线 l 2 和

7、l 4 延长后的交点 f 2 , 与直线l 1 和l 3 延长后的交点 f 1 处于同一条水 平线上因为直线 a 1 b1 和a d 均为铅垂线, 故 a 1 b1 a d , 因而有a 1 b1f 2 b1(1)=a df 2d同理, 因为 a 2 b2 a d , 因而有图 5 引同向消失线a 2 b2f 1 b2=(2)a d f 1d又由于 a 1 b1 = a 2 b2 , 所以, 由(1) 和(2) 式得f 1 b2f 2 b1=f 1df 2d可见 b1 b2 f 2 f 1 , 而 b1 b2 为水平线, f 2 f 1 也为水 平线, 这说明点d 和点 b1 的连线代表立方体

8、左侧顶 边的透视方向第 ( 二) 步骤证明: 如图 8, 已知, 在直线 l 1 和l 2 之间任意引一水平线段, 我们不妨就取第 ( 一) 步骤中的 a 1 a 2 以 a 1 a 2 为直径画圆弧, 与d a延长线交于d , 分别以 a 1、a 2 为圆心, 以 a 1 d 、a 2 d 为半径画圆弧, 与水平线 a 1 a 2 分别交于 m 1、m 2 点 求证: 点 a 、m 1 的连线a m 1 和点a 、m 2 的连线a m 2 , 延长后 分别经过右、左量点由于 a 1a 2 为所作圆弧的直径, 所以, a 1d a 2 = 90 又因为 a 1d = a 1m 2 , a 2d

9、 =a 2m 1 , 这符合量点法成角透视的基面作图原理, 如图图 6 利用对角线确定立方体其它点的透视图 7 验证左、右灭点处于同一条水平线上9, 即灭点的基面正投影与量点的基面正投影的距离, 等于灭点的基面正投影与站点的距离分别将直 线l 1、l 2、l 3、l 4、a m 1、a m 2 延长, 与视平线分别交 于 f 1、f 2、m 1、m 2 由于 a 1 a 2 视平线, 故有 a 1m 1: m 1m 2: m 2 a 2 = f 2m 1: m 1m 2: m 2 f 1 , 这说明基面作图与画面作图成比例,m 1、m 2 分别为左、右量点 第(三) 步骤证明: 如图 10,

10、已知, 在右量线m 右和右侧透 视线l 1 之间任意引一条水平线段 k 1 k 2 和铅垂线段第 2 期吴绍兰: 撇开灭点的成角透视图作图方法及正确性姆证23图 8验证a m 1、a m 2 即为左、右量线k 2 k 3 , 使 k 1 k 2: k 2 k 3 =立方体右侧实长: 立方体右侧实高 求证, 点a 、k 3的连线代表立方体右侧面对角线的 透视方向先补出右侧面实形 a b c d , 根据量点法和真高线法, 求出 k 2 和 k 3 在右侧面上的实际位置 t 2 和t 3 , 如果 t 3 确实是右侧面对角线 的点, 则会有a t 2 立方体右侧实长t 2 t 2 =立方体右侧实高

11、其实, 由于 k 1 k 2 a b , 所以有k 1 k 2 = m 1 k 2(1)a t 2 m 1 t 2图 9 量点法原理图又由于 k 2 k 3 t 2 t 3 , 所以有 k 2 k 3 m 1 k 2(2)t 2 t 3 =m 1 t 2第 ( 四) 步骤证明: 如图 11, 已知, 过 l 2 直线上( 或l 4 直线上) 任一点, 不妨取现成的点 e , 作一个 三角形 e fn 与三角形a d c 相似 求证: 点 c 和点 n 的连线延长后必通过左灭点 f 2 由(1) 和(2) 式得k 1 k 2 k 2 k 3 a t 2 =t 2 t 3该式可写为用反证法证明:

12、假如直线 l 2、l 4 和 cn延长后k 1 k 2a t 2 不汇交于同一点, 而是分别相交于 f 1、f 2、f 3 那k 2 k 3 =t 2 t 3么, 在f 2a c 和f 中, 因为a c en , 所以2 en而f 1aa c2=(1), 所f 1 ek 1 k 2 立方体右侧实长n e2k 2 k 3 = 立方体右侧实高同理, 在和中, 因为f 1a df1 e fe fa d所以以a t 2 立方体右侧实长f 1a d1ak 2 t 3 = 立方体右侧实高(2)=f 1e f1 e这说明 t 3 必为对角线上的点同理可证明立方体左侧进深的作图原理又因为e fn a d c

13、, 所以24华 东交 通 大 学 学 报2001 年图 10验证左、右进深点a c a d(3)=n e e f由(1)、(2)、(3) 式可得f 1 1 2af 2a=f 111 ef 1 e而 f 2 a = f 2 e + ea , f 1a = f 1e +11ea 所以f 2a + ea = f 1 e + ea 该式可f 112 ef 1 e写这eaea也即: ea =ea1 += 1 +f 11112 ef 1 ef 2 e f 1 e显然, f 1 和 f 2 只能是同一点 这说明cn 的延长线将与l 2、l 4 的延长线汇交 于同一点 同理可求证 f p 的延长线与 l 1、

14、l 3 的延长线汇交于同一点 则 cn与 f p 的交点即为顶面端点 g 的透视利用上、下底对角线可求得 g 点的基透视 h明完毕图 11 用两相似三角形确定同向消失线的合理性1辛华泉, 程建新. 设计表现技法m .上海: 上海交通大点 证学出版社, 1988, 6.李蜀光. 绘图透视原理与技法m . 成都: 西南师范大2学出版社, 1994, 12.结论33东:4广州机床研究所. 工业产品预想图表现技法m .广东科技出版社, 1990, 4.广不受灭点远近限制的成角透视法符合几何学原理, 是一种精确的成角透视图法, 可以推广应用参考文献:路风仙. 设计透视学m . 福州: 福建工艺美术出版社

15、, 1996, 11the m e thod of an gular per spec t ive w ithout v iew po in tsan d its d em on stra t ionw usha o- lan( indu st r ia l d e sign d ep a r tm en t, t h e a r t s and d e sign co llege o f f uzho u u n ive r sity, x iam en 361002, c h ina)a bstra c t: t h is p ap e r in t ro du ce s a m e tho d th a t w e can app ly it to d raw an gu la r p e r sp ec t ive w itho u t v iew po in t s, an d it dem o n st ra te s th is m e tho d