建筑力学13[高教课堂]

1、1 第十三章第十三章 位位 移移 法法 131 等截面单跨超静定梁的杆端内力、转角位移方程等截面单跨超静定梁的杆端内力、转角位移方程 132 位移法的基本概念位移法的基本概念 133 位移法基本未知量数目的确定位移法基本未知量数目的确定 134 位移法典型方程位移法典型方程 135 用位移法计算超静定结构用位移法计算超静定结构 2 力法和位移法是分析超静定结构的两种基本 方法。力法于十九世纪末开始应用，位移法建立 于上世纪初。 位移法位移法以某些结点位移为基本未知量结点位移为基本未知量，由 平衡条件建立位移法方程，求出位移后再计算 内力。 力法力法以多余未知力为基本未知量多余未知力为基本未知量

2、，由位移 条件建立力法方程，求出内力后再计算位移。 3 131等截面单跨超静定梁的杆端内力、转角位移方等截面单跨超静定梁的杆端内力、转角位移方 程程 用位移法计算超静定刚架时，每根杆件均视为单跨超静定梁。 计算时，要用到各种单跨超静定梁在杆端产生位移(线位移、角位 移)时,以及在荷载等因素作用下的杆端内力(弯矩、剪力)。为了应 用方便，首先推导杆端弯矩公式。 如图所示，两端固定的等截 面梁，A B L EI P A B A B AB AB 除受荷载外，两支座还发 生位移：转角 A、 B及侧移 AB 。 转角A、 B顺时针为正 ， AB则以整个杆件顺时针方 向转动为正。 在位移法中，弯矩的符号规

3、定如 下：弯矩是以对杆端顺时针为正( 对结点或对支座以逆时针为正)杆 端剪力符号规定与原来相同。 图中所示均为正值 MAB A MBA B QABQBA 4 AB L EI P A B A B AB AB 用力法解此问题，选取基本 结构如图。 P t1 t2 X1 X2 X3 多余未知力为X1、X2。 力法典型方程为 11X1+12X2+ 1P+ 1=A 21X1+22X2+ 2P+2=B 为计算系数和自由项，作 1M 、 2M 、MP图。 1M 图 1 2M 图 1 MP图 XAXB 由图乘法算出： EI3 L 11 ， EI3 L 22 EI6 L 2112 L X EI B P1 ， L

4、 X EI A P2 AB AB 由图知 L AB AB21 这里，AB称为弦转角，顺时针为 正。 5 将以上系数和自由项代入典型方程，可解得 X1= g ABABBA M L EI L EI L EI 2 624 X2= g BAABAB M L EI L EI L EI 2 624 令 l EI i 称为杆件的线刚度线刚度。此外，用MAB代替X1，用 MBA代替X2，上式可写成 MAB= 4iA+2i B AB l i 6 g AB M MBA= 4i B +2i A AB l i 6 g AB M (131） 是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆端 弯矩，称为固端弯矩固端弯矩

5、。 g AB M g BA M 杆端弯矩求出后，杆端剪力便不难由平衡条件求出。（略） 式(131）是两端固定的等截面梁的杆端弯矩的一般公式，通常 称为转角位移方程转角位移方程。 6 i =EI/l AB A=1 l EI M图图 AB 4i 2i liQ liQ BA AB /6 /6 6i/l AB 6i/l Q图图 iM iM BA AB 2 4 形常数示例（两端固定梁） （线刚度）（线刚度） 7 l AB =1 EI M图图 AB 6i/l 6i/l 2 2 /12 /12 liQ liQ BA AB AB 12i/l2 Q图图 12i/l2 liM liM BA AB /6 /6 （续

6、） 8 AB l/2 l/2 P 8/ 8/ PlM PlM P BA P AB 2/ 2/ PQ PQ P BA P AB AB P/2 P/2 Q图图 AB Pl/8Pl/8 M图图 载常数示例（两端固定梁） 9 q AB l/2 l/2 12/ 12/ 2 2 qlM qlM P BA P AB AB ql2/12 ql2/12 M图图 （续） 2/ 2/ qlQ qlQ P BA P AB AB ql/2 ql/2 Q图图 10 132 位移法的基本概念位移法的基本概念 一、解题思路一、解题思路 q C ll B B B A (a)原结构： C B B B A C B B B A C

7、B A (d) (c) (b)基本体系： Z1= B Z1= B q q R R11 R1P 实现位移状态可分两步完成：实现位移状态可分两步完成： 1 1）在可动结点上附加约束，限）在可动结点上附加约束，限 制其位移，在荷载作用下，附加制其位移，在荷载作用下，附加 约束上产生附加约束力；约束上产生附加约束力； 2 2）在附加约束上施加外力，使）在附加约束上施加外力，使 结构发生与原结构一致的结点位结构发生与原结构一致的结点位 移。移。 对比约束结构与原结构可发现，对比约束结构与原结构可发现， 附加约束上的附加内力应等于附加约束上的附加内力应等于0 0， 按此可列出基本方程。按此可列出基本方程。

8、 1111 1111 11111 111 / 0r 0R rRZ RZ ZrR R p p p 所以： 其中： 平衡条件： 11 2、解题示例、解题示例 q C ll B B B A 原结构原结构 C B B B A 基本体系基本体系 Z1 q A C B A Z1= 1 C B M1图图 2 ql/8 2 ql/8 Mp图图 2EI/l 4EI/l 3EI/l 0 1111 p RZr 解：解：位移法方程位移法方程 12 l EI l EI l EI r 734 11 8 2 1 ql R P EI ql l EI ql r R Z p 56 7 8 3 2 11 1 1 式中：式中： 依依

9、M=M1+MP绘弯矩图绘弯矩图,依依M图绘剪力图图绘剪力图: C B AC B A M图图 2 ql/8 Q图图 ql/28 ql/14 2 2 4ql/7 3ql/7 3ql/28 依内力图求支座反力依内力图求支座反力: MA=ql/28 ( ); VA=3ql/28 ( ); VB=19ql/28 ( ) ; VC=3ql/7( ) 2 13 第第六六节节建建立立位位移移法法方方程程的的另另一一作作法法-由由 原原结结构构取取隔隔离离体体直直接接建建立立平平衡衡方方程程 一一、“新新法法”与与“老老法法”的的概概念念： 1、新新法法：通通过过基基本本结结构构列列位位移移法法方方程程，进进而

10、而求求解解结结点点 未未知知位位移移的的方方法法。 2、老老法法：不不通通过过基基本本结结构构，直直接接依依据据“转转角角位位移移方方程程”， 由由原原结结构构取取隔隔离离体体，利利用用平平衡衡条条件件直直接接建建立立位位移移法法方方程程的的 方方法法。 二二、取取隔隔离离体体建建立立平平衡衡方方程程（老老法法）的的解解题题步步骤骤、举举例例： 建立位移法方程的另一作法建立位移法方程的另一作法 由原结构取隔离体直接建立平衡方程由原结构取隔离体直接建立平衡方程 14 根据转角位移方程：根据转角位移方程： 1 2 AB EI MZ l 1 4 BA EI MZ l 1 33 16 BCP EI M

11、ZF l l 0 CB M 根据结点根据结点B B的力矩平衡条件：的力矩平衡条件： 0 ABBC MM 将杆端弯矩代入上式的：将杆端弯矩代入上式的： 1 433 ()0 16 P EIEI ZF l ll 所以：所以： 2 1 3 112 P F l Z EI 另一种解题思路：另一种解题思路：直接由平衡条件建立位移法基本方直接由平衡条件建立位移法基本方 程程 15 再将再将Z1Z1代回杆端弯矩的表达式：代回杆端弯矩的表达式： 2 323 11256 P ABP F lEI MF l lEI 2 343 11228 P BAP F lEI MF l lEI 2 333 11216 3 28 P

12、BCP P F lEI MF l lEI F l 0 CB M 16 无结点线位移刚架无结点线位移刚架 1 2 3 EI=常数 P 2 l 2 l 刚架在荷载P作用下将发生如虚 线所示的变形。 Z1 Z1 在刚结点1处发生转 角Z1，结点没有线位移。则12杆可 以视为一根两端固定的梁（见图）。 1 P Z1 2 13杆可以视为一根一端固定另一端 铰支的梁（见图）。 1 3 Z1 可见，在计算刚架时，如果以 Z1为基本未知量，设法首先求出Z1， 则各杆的内力即可求出。这就是 位移法的基本思路。 Z1 17 有结点线位移刚架有结点线位移刚架 一般情况下，刚架若干接点可能同 时发生转角和线位移。如图

13、所示刚架 C、D两刚结点除分别发生转角Z1、 Z2外，还会产生同一水平线位移Z3， 只有同时求出这三个未知量，才能确 定全部杆端弯矩和剪力。 结点角位移仍列结点弯矩平衡方程： 结点线位移列有线位移的结构 部分的力的投影平衡方程： 0 C M 0 D M 0 CACD MM 0 DCDB MM 0 X F 0 PQCAQDB FFF 18 用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静 定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根 单跨超静定梁。通常的做法是， 在每个刚结点上假想地加上一个 附加刚臂附加刚臂(仅阻止刚结点转动),同 时在有线位移的结点上加上附加附加 支座链杆

14、支座链杆(阻止结点移动)。 1 2 3 456例如 ( 见图a) (a) 又例如(见图b) (b) 2 3 4 5 6 7 共有四个刚结点，结点线位移 数目为二，基本未知量为六个。 基本结构如图所示。 1 基本未知量三个。 19 以图(a)所示刚架为例，阐述在位移法中如何建立基本机构以及 求解基本未知量。 P L 2 l 2 l 1 2 34 EI=常数常数 基本未知量为:Z1、Z2 。 Z1 Z2 基本结构如图(b)所示。 (a)(b)基本结构基本结构 1 2 34 = Z1 Z2 R1=0 =0 P R1附加刚臂上的反力矩 R2附加链杆上的反力 据叠加原理, = Z1 R21 1 2 3

15、4 1 34 P R2P 1 2 2 34 则有 R1=R11+R12+R1P=0 R2=R21+R22+R2P=0 R22 R2 R12 R11 R1P Z2 20 R1=R11+R12+R1P=0 R2=R21+R22+R2P=0 式中第一个下标表示该反力的位置， 第二个下标表示引起该反力的原因。 设以 r11、r12分别表示由单位位移11 21ZZ、 所引起的刚臂上的反 力矩， 以 r21、r22分别表示由单位位移1121ZZ、所引起的链杆 上的反力，则上式可写成 r11Z1+ r12Z2+R1P=0 r21Z1+ r22Z2+R2P=0 (135) 这就是求解Z1、Z2的方程，即 位移

16、法典型方程位移法典型方程。 它的物理意义是：基本结构在荷载等外因和结点位移的共同作用 下，每一个附加联系中的附加反力矩或反力都应等于零(静力平衡条静力平衡条 件件)。 对于具有 n 个独立结点位移的刚架，同样可以建立 n 个方程： r11Z1+ + r1iZi+ + r1nZn+R1P=0 ri 1Z1+ + ri iZi+ + ri nZn+Ri P=0 rn1Z1+ + rniZi+ + rnnZn+RnP=0 (137） 21 r11Z1+ + r1iZi+ + r1nZn+R1P=0 ri 1Z1+ + ri iZi+ + ri nZn+Ri P=0 rn1Z1+ + rniZi+ +

17、 rnnZn+RnP=0 (137） 在上述典型方程中，rii 称为主系数主系数，rij(ij) 称为副系副系 数数。RiP称为自由项自由项。主系数恒为正，副系数和自由项可 能为正、负或零。据反力互等定理，副系数 rij=rji (ij)。 在位移法典型方程中，每个系数都是单位位移所引起 的附加联系的反力(或反力矩)。 22 1121ZZ、 以及载荷作用下的弯矩图 21MM 、 计算典型方程中的系数和自由项，基本结构在 和MP图： 1 34 2 1 3 4 21 3 4 2 11Z 图1M 4i 2i 3i 图2M l i 6 l i 6 l i 3 12Z P MP图 8 Pl 系数和自由项

18、可分为两类：附加刚臂上的反力矩 r11、r12、和 R 1P； 是附加链杆上的反力 r21、r22和R2P。 r21 r22 R2P (a)(b)(c) 可分别在图(a)、(b)、(c) 中取结点1为隔离体， 4i 8 Pl 由力矩平衡方程M1=0求得：r11=7i , l i r 6 12 R1P= 8 Pl 。 r11=7i , L i 6 r12 R1P= 8 PL ， 对于附加链杆上的反力，可分别在图(a)、(b)、(c）中用截面法割断 两柱顶端，取柱顶端以上横梁部分为隔离体，由表131查出杆端 剪力， 1 2 1 2 1 2 l i 6 0 2 12 l i 2 3 l i 2 P

19、0 由方程X=0求得 r21= L i 6 2 22 L i15 r R2P=P/2 r21r22R2P R 1Pr12 r11 23 将系数和自由项代入典型方程(135)有 0 8 PL Z L i 6 iZ7 21 0 2 P Z L i15 Z L i 6 2 2 1 解此方程得 ， i PL 552 9 Z1 i PL 552 22 Z 2 2 所得均为正值，说明Z 1、Z2与所设 方向相同。 最后弯矩图由叠加法绘制： P2 2 1 1MZMZMM 例如杆端弯矩M31为 8 PL i PL 552 22 L i 6 i PL 552 9 i 2M 2 31 PL 552 183 M图图

20、 1 2 34 Pl 552 183 P Pl 552 60 Pl 552 27 Pl 552 27 Pl 552 66 M图绘出后，Q 、N图即可由平衡条件绘出(略）。 24 直接由平衡条件建立位移法基本方程 用位移法计算超静定刚架时，需加入附加刚臂和链杆以取得 基本结构，由附加刚臂和链杆上的总反力矩(或反力)等于零的条件， 建立位移法的基本方程。 我们也可以不通过基本结构，直 接由平衡条件建立位移法基本方程。 举例说明如下：举例说明如下： 1 2 34 P 2 L 2 L L i i i取结点1，由M1=0 及截取两柱顶端以上横梁部分， 由X=0 (见图)得： M12 M13 1 12 Q

21、24 Q13 由转角位移方程及表101得 8 PL Z L i 6 iZ4M 2113 112 iZ3M 2 P Z L i12 Z L i 6 Q 2 2 113 2 2 24 Z L i 3 Q 将以上四式代入式(a)、(b)得 0 8 PL Z L i 6 iZ7 21 0 2 P Z L i15 Z L i 6 2 2 1 所建立的典型方程完全一样，可见，两种方法本质相同，只是 处理方法上不同。 25 由上所述，位移法的计算步骤归纳如下： (1) 确定结构的基本未知量的数目(独立的结点角位移和线位 移)，并引入附加联系而得到基本结构。 (2) 令各附加联系发生与原结构相同的结点位移，根

22、据基本 结构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的 反力矩或反力均应等于零的条件，建立位移法的基本方程。 (3) 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载 作用下的弯矩图，由平衡条件求出各系数和自由项。 (4) 结算典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移。 (5) 按叠加法绘制最后弯矩图。 26 超静定结构计算的总原则超静定结构计算的总原则: : 欲求超静定结构先取一个基本体系欲求超静定结构先取一个基本体系, ,然然 后让基本体系在受力方面和变形方面与原后让基本体系在受力方面和变形方面与原 结构完全一样。结构完全一样。 力法的特点：力法的特点： 基本未知量基本未知量多余未

23、知力；多余未知力； 基本体系基本体系静定结构；静定结构； 基本方程基本方程位移条件位移条件 （变形协调条件）（变形协调条件） 位移法的特点：位移法的特点： 基本未知量基本未知量 基本体系基本体系 基本方程基本方程 独立结点位移独立结点位移 平衡条件平衡条件 ？一组单跨超静定梁一组单跨超静定梁 27 例：试用力法计算图示连续梁结构，并绘出弯矩图。 解：将梁中间改为铰接， 加多余未知力X1得基本体 系如图（B）所示。 建立力法典型方程： 1111 0 P X 求系数和自由项： 11 1121122 (1)(1) 23233 L LL EIEIEI 代入典型方程得： 1 2 0 316 P F LL

24、 X EIEI 最后弯矩： 1P M M XM 2 1 1 11 () 24216 PP p F LF L L EIEI 1 3 32 P F L X 用力法求解超静定结构用力法求解超静定结构 28 用位移法求解超静定结构用位移法求解超静定结构 例：试用位移法计算图示连续梁结构，并绘出弯矩图。 解：基本未知量分别为刚 结点B点的角位移Z1，基 本体系如图（B）所示。 用转角位移方程写出个杆端内力如下（其中 ） EI i l 0 AB M 1 3 3 16 BAP MiZF l 1 3 BC MiZ 0 CB M 从原结构中取出图c隔离体。 由图c的平衡条件： 0 B M 0 BABC MM 1

25、 3 60 16 P iZF l 1 1 32 P ZF l i 0 AB M 3 32 BAP MF l 3 32 BCP MF l 0 CB M 29 总总 结结 力法是在原结构中解除多余约束得到基本结构力法是在原结构中解除多余约束得到基本结构; ; 位移法是在原位移法是在原 结构上加约束于阻止结点的全部独立角位移与线位移结构上加约束于阻止结点的全部独立角位移与线位移, ,从而得到从而得到 基本结构基本结构. .一个是减少约束得到静定结构一个是减少约束得到静定结构; ; 一个是增加约束一个是增加约束, ,得到得到 超静定次数更高的结构。这是两者的根本区别。超静定次数更高的结构。这是两者的根

26、本区别。 对于同一结构对于同一结构, ,力法可以选择不同的基本结构力法可以选择不同的基本结构, ,而位移法只有而位移法只有 唯一的一种基本结构唯一的一种基本结构. . 对于超静定次数高而结点位移数目少的超静定结构对于超静定次数高而结点位移数目少的超静定结构, ,用位移用位移 法比力法要简便得多法比力法要简便得多; ;相反相反, ,如果结点位移数目多如果结点位移数目多, ,而超静定次而超静定次 数少的结构数少的结构, ,则用力法要简便些。则用力法要简便些。 30 133 位移法基本未知量数目的确定 在位移法中，基本未知量是各结点的角位移和线位移。计 算时，应首先确定独立的角位移和线位移数目。 (

27、1) 独立角位移数目的确定 由于在同一结点处，各杆端的转角都是相等的，因此每一个 刚结点只有一个独立的角位移未知量。 1.位移法的基本未知量 这样，结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目。 例如图示刚架： 123 456 独立结点角位移数目为2。 31 (2)独立线位移数目的确定 在一般情况下，每个结点均可能有水平和竖向两个线位移。 但通常对受弯杆件略去其轴向变形，其弯曲变形也是微小的，于 是可以认为受弯直杆的长度变形后保持不变，故每一受弯直杆就 相当于一个约束，从而减少了结点的线位移数目，故结点只有一 个独立线位移(侧移)。例如(见图a） 1 2 3

28、 456 4、5、6 三个固定 端 都是不动的 点，结点1、2、3均无竖向位移。 又因两根横梁其长度不变，故三个 结点均有相同的水平位移 。 P (a) 事实上，图(a)所示结构的独立线位 移数目，与图(b)所示铰结体系的线 位移数目是相同的。因此，实用上 为了能简捷地确定出结构的独立线 位移数目，可以 (b) 将结构的刚结点(包括固定支 座)都变成铰结点(成为铰结体系), 则使其成为几何不变添加的最少 链杆数，即为原结构的独立线位 移数目(见图b)。 32 线位移举例： 图a刚架改为铰结体系后，只需增设两根附加链杆就能变成 几何不变体系（图b所示），故有两个角位移。 33 1 4 0 线位移

29、举例： 34 1 2 3 456 例如 ：图a (a) (b) 2 3 4 5 6 7 图b共有四个刚结点，结点线位移数目为二，基本未知量为 六个。基本结构如图所示。 1 基本未知量三个。基本结构如图所示。 （3）位移法基本未知量的确定 位移法基本未知量数目应等于结构结点的独立角位移和 线位移二者之和。 35 横梁刚度无穷大的刚架结构横梁刚度无穷大的刚架结构 图示刚架因横梁刚度无穷大而不发生弯曲变形， 只发生刚性平移，柱子则发生弯曲变形。所以用位移 法计算时，结构只有水平线位移而无结点角位移，故 结构只有一个基本未知量。 P EI 基本结构基本结构 EI 36 排架结构 图（a）所示排架，将其

30、变成铰结体系后图（图b） ，需 增加两根附加链杆的约束，才能成为几何不变体系，故有两 个线位移。 结点3是一 组合结点 确定角位移时，要注意结点3是一个组合结点， 杆件 2B应视为23和3B两杆在3处刚性联结而成，故结点3处 有一转角，该排架的位移法基本未知量共有3个。 习题习题 131 37 求作刚架的M图 4m 6m 3EI EIEI 10kN/m A C D B ：(1) 基本未知量： 1（C)、2 (2) 写各杆端弯矩： 令iCA=EI/4= i，则iCD = 2i 2121 2121 2 3 2 6 2 2 3 4 6 4 i i l i iM i i l i iM CA CA CA

31、AC CA CA CACA 135 135 用位移法计算超静定结构用位移法计算超静定结构 38 20 4 3 4 8 103 6)2(33 2 2 2 111 i l i M iiiM BD BD BD CDCD (3)建立位移法方程 取结点C为隔离体 ) 1 (0 2 3 10 00 21 i i MMM CACDC 即 39 截取含有2的柱顶以上的横梁为隔离体 00 DBCA QQX 其中，分别取柱AC和BD为隔离体，则由 BD BD BD DBB AC CAAC CAA ql l M QM l MM QM 2 1 0 0 代入得 080 BDCAAC MMM 即 (2) 06075. 3

32、6 21 ii 40 (1)、(2)即为位移法方程 ，联立解得 1 = 3.16/i , 2 = 21.05/i 将1、2代入转角位移方程，可得各杆端弯矩： mkNMmkNM mkNMmkNM BDCD ACCA 79.3595.18 05.2594.18 据此作出M图。 25.26 18.94 35.79 20 18.94 AB C D MM图（图（kNmkNm） 41 例 图示刚架的支座A产生了水平位移a、竖向位移b=4a 及转角=a/L，试绘其弯矩图。 A B CEI 2EI L L A a 解：基本未知量 Z 1(结点C转角)； Z 1 基本结构如图示； A B C Z 1 基本结构基

33、本结构 建立位移法典型方程： r11Z1+R1=0 为计算系数和自由项，作 图1M 和M图(设EI/L=i) A B C Z 1=1 图1M b 8i 4i 3i A B C M图 基本结构由于支座位移产 生的固端弯矩(由表131)查得 ia L i iM F AC 20 )2(6 )2(4 ia L i iM F CA 16 )2(6 )2(2 ia L i b L i M F CB 124 33 20i 16i 12i 8i 3i 由图 1M求得 r11=8i+3i=11i 由M图求得 12i 16i R1=16i+12i=28i R1 r11 R1 42 将上述系数和自由项代入典型方程， 便有 11iZ1+28i=0 解得 Z1= 11 28 刚架的最后弯矩图为 MZMM 1 1 A B C A B C Z 1=1 图1M 8i 4i 3i A B C M图 20i 16i 12i 例如： MAC= 4i 11 28 +20i =i 11 108 i 11 108 i 11 48 M图 R1 43 例例 试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆EI相同。相同。 A BC D 0 8 610 3 42 2 2 21 DC CD CB M Z l EI M Z l EI Z l E