大一高等数学(上)期中测试

1、填空题：（每小题1.设f(x)高等数学（上）期中测试题4分，共32分，要求：写出简答过程，并且把答案填在横线上）(1x)x,x）上处处连续，则e-1。limx 0limx 0limx 0a,有连续性有ae-12. 已知f (3)2,则 lirfh 0h)f(3)1。解已知f2hlimf(3)f(3 h)h 0则 limf(3 h) f h 02hh1f(3)lim2 h 0f(3 h)3函数f ( x)2cosx 在0 上的最大值为2 6解令 f x 1 2sin x 0得 x6则最大值为4.设解dy解dxd2ydx25(t5(1dydtdxdtsint)cost)dydxdxdydxQ.d2

2、ydx2|t0205sin tcostddydtdxdtt 0丄20t 01 x x l n x2cost 1 cost sin t21 cost5 1 cost1 x / cx5设 y x (x 0)，则 y x1 xsin xy1 xsinxy解两边取对数有In y1 x In x两边关于x求导得In x1 x,整理后即得结果x6.设函数 yy(x)由方程 x y cos(xy) 0确定，则dy ysinxy 1dx。1 xsin xy解对方程两边关于x求导得：1 y - sin xyy xy 0ysin xy 1. ysin xy 1 .y则dydx7.曲线ye 2x在点 M (0,1)

3、处的曲率K4/5_25_解yx 02e 2xx 02 yx 0A 2x4e1x04则ky44亦12%12%25y28函数f (x) xe在x01处的二阶泰勒公式为 f(x)3e,23e3e 2e x 1x 1x 126nx解由f xn x e ，代入泰勒公式即得二选择题：(每小题4分，共32分，每小题的四个选项中只有一个是正确的，要求写出简答过程，并且将答 案对应的选项的字母填入题后括号里)0时，下列函数中为无穷小的函数是(Dx不存在D .00e0A.lg sin x ；1B.COS；x1C. sin ； xD.解 A. Iimlgx 0sin xB. limcos01不存在xC. limsi

4、nx 012设 f (x)0sin2，x 0 f ( )0 Cx2，则 f (x)在点 x 0处(C)。222211A.极限不存在；C 连续，但不可导;B.极限存在，但不连续;D.可导。解由limx 0f (x)在点xsin 二x0处连续limxlimxymcbin12不存在xf (x)在点x0处不可导3设y.arccos x sinA.B.1，则 y (?)D.arccos x cos1sin-xx4曲线tcost 在t tsint处的切线方程是（4A.B.C.D.dydx4（xdy dt dxsintcostdtt costtsint则切线方程为 y2x5已知函数40A. 2e2xcos

5、x，则 y（40）cosx ； b. 240e2xsin2xc. ecosx ；2xd. esin x。5解e2x2n e2xcosxcos x则x06曲线yxx3的凹区间是（B）。A.(,0)；B. 0,;C.（,） ; D.以上都不对。解yA5 35 21101xy3x 3 3 393 x当x0,+时,y 0,则曲线是凹的7.若 f (x)f (x),(x)，在(,0)内 f且f(x)0,则在(0,）内有（C ）。A. f(x)0, f (x)0； b. f (x)0, f (x)C. f(x)0, f (x)0； d. f (x)0, f (x)解设x:0,则 x,0Q f-xf xf

6、-xf x又Q f-x0fxfx 0由f-xf x且fx0A则即得结果0 ；0。(x) 08.函 数 y f(x) 对切x满足2ln x In2xf (x)3x f (x)2 1 e x，若 f (x0)0(x00)则(B)。A.f(X。)是 f (x) 的极大值；f(x)是 f(x) 的极小值；(x, f (x)是曲线 y f (x) 的拐点;d. f (x0)不是f (x)的极值，(x0, f (x0)也不是曲线yf (x)的拐点1 ex0ex01解fx0x0xxe 0当x0f x00,当x00 fx00也即fx00,则xx不是拐点又fX。0,则f (x0)是f (x)的极小值B.C.o1

7、求函数 f(x)ln2x的单调区间与极值。(8分)三解答题:解定义区间为0,2In x 丄 x In2 x令 f x xx20,111,e22 e2 e ,f xf x极小值极大值有x 1或者xe2）单调减少，在1,e2上单调增加2则在(0,1 e ,解应用洛比塔法则，有极小值：1 0,2极大值：f e42e2.求下列极限。（每小题6分）1 1 lim-（-一x 0 x sin xtan1 1 cosx解原式lim ()x 0 x sin xlim -x 0 x(2) lim1x 1Incos( x 1)1 sin x21x21x 1cos2 2xtan x 12 secx 1limlim2x

8、 1x 1cos x2 22sin x2sin x 1cos x 1原式lim423.确定函数 f(x)的间断点，并指出间断点所属的类型。(8分)Xe1解函数在 x 0,x=1 处无定义.x由于 lim 1 e1 x 1 e00x 0故lim f xx 0,从而x0是f x的无穷间断点又limx 1 1 xxlim e1 x ex 1lim，故x 1 1 xx0, lim e1 x ex 1所以f 10,1,因此x 1是f x的跳跃间断点4. (8 分)设函数 f (X)在 0,1 上连续，在 (0,1) 内可导，且1f(0)f(1) 0, fq 1，证明：(1)存在1(2,1)，使 f ();(2)存在(0,1)，使得 f ()f()1证(1)设F xf x x由 f(x)在0,1 上连续，在 (0,1) 内可导上连续，可导1在,1上F2f丄丄1丄丄02 2 2 2F 1 f 110 11