数列通项公式的求法

1、 数列通项公式的求法集锦 非等比、等差数列的通项公式的求法，题型繁杂，方法琐碎结合近几年的高考情况，对 数列求通项公式的方法给以归纳总结。 一、累加法 形如an an 1 f(n)(n=2、3、4)且f f(2) . f(n 1)可求，则用累加 法求an。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 例1. 在数列an中，a1=1, an an 1 n 1 (n=2、3、 4) ，求 an的通项公式。 解： n a2a11 a3a2 a4a3 n-1 个等式累加得：an a1 .(n-1 )=叫 an an 1 n a1 -且a1 1也满足该式 an (n N ). 例2.在数列a

2、n中，a1=1, a* 1 (n N ),求an。 解: n=1时,印=1 2 时,a2 a3 a2 a4 a3 2 22 23 以上n-1个等式累加得 n 1 anan 12 ana1 2 22 2n 1 = 21 = 2 1 2 2，故 an 22a1 2n 1且a1 1也满 (n N )。 形如卫f (n) an 1 (n=2、3、4)，且 f(1) f(2) f(n 1)可求，则用累乘法 足该式 二、累乘法 求an。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 例3 .在数列 an中，a1=1, an 1 nan ,求 an。 a 解：由已知得 亠 n ，分别取n=1、2、

3、3（n-1）,代入该式得 an n-1个等式累乘，即 a2 a3 a4 a1 a? a3 出=1X 2 x 3X-X (n-1)=( n-1)! 所以时, an 1 引(n a1 1)!故 an(n 1)! 且ai0! =1也适用该式 an(n 1)!(n N ). 2 例4 已知数列 an满足a1=, an 1 an，求 an。 n 1 解：由已知得旦, ann 1 分别令 n=1, 2, 3,.(n-1),代入 上式得n-1个等式累乘，即 an1 所以一，又因为厲 印 n 三、构造等比数列法 原数列 an既不等差，也不等比。若把 an 列，使之等比，从而求出an 。 an 1 = ban

4、cn其中b、c为不相等的常数, an . _ 1 2 3 n 1 an 1 2 3 4 n 所以 an 2 。 3n J中每- 一项添上一个数或一个式子构成新数 形如 an 1 : = ban c 或 an 1 = ban f n n为 次式。 ) 或 2 、 、 也满足该式， 3 a?a3 a4 a1 a2 a3 例5、（06福建理22 ）已知数列 an满足a1=1, an 1= 2an 1 (n N ），求数列 an 的通项公式。 解：构造新数列 an p，其中p为常数，使之成为公比是 an的系数 2的等比数列 即an 1 p =2(an p)整理得：an 1 = 2an p使之满足an

5、1 = 2an 1 p=1 即an 1是首项为a1 1=2, q=2的等比数列 an 1 = 2 2n 1 an=2n 1 例6、（ 07全国 理21）设数列 an的首项 a1(0,1) , an 3 an1 ,n=2、3、4 （）求 an的通项公式。 解：构造新数列 an p，使之成为q 1 即 an p= 2(an 1 p)整理得：an 1 -的等比数列 2 1 3 2 an 1- P 满足 an 3 an 1 2 p=-1 即新数列an 1首项为ai1, q 等比数列 印 0()n1 故 an =(a11) 2) 例 7、(07全国 理 22)已知数列 an中，a1=2, an1=(.2

6、1)(an ()求 an的通项公式。 解：构造新数列 an p，使之成为q . 21的等比数列 an 1 P=(、2 1) (an p)整理得：an 1=G. 2 1)an + (、2 2)p 使之满足已知条件an1 = c、2 1) an +2 G-2 1) G.2 2)p 2.2 1)解得 P . 2 an.2是首项为2 .2 q 、2 1的等比数列，由此得 an.2 = (2.2) ( J 1)n 1 an=、2(、2 1)n .2 例8、已知数列an中，a1=1, an1 = 2an 3n，求数列的通项公式。 分析：该数列不同于以上几个数列，该数列中含3n是变量，而不是常量了。故应构造

7、 新数列an3n，其中 为常数，使之为公比是 an的系数2的等比数列。 解：构造数列an3n, 为不为0的常数，使之成为q=2的等比数列 即 an 13n1 = 2(an3n)整理得：an1=2an(23n3n1) 满足an1 = 2an3n得23n3n13n1新数列3n是首项为 a1 3=2, q=2 的等比数列 an 3 = 2 2“ 1an = 3 2n 3n 1，求数列的通项an 。 例 9、( 07 天津文 20)在数列an中，a1=2, an 1 = 4an 解:构造新数列ann，使之成为q=4的等比数列，则an 1 (n 1) = 4(an n) 整理得：an 1= 4an 3

8、n 满足 an 1 = 4an 3n 1，即 3 n3n 1 得 1 新数列an n的首项为a111, q=4的等比数列 n 1n 1 an n 4an 4 n 四、构造等差数列法 n 1 数列 an既不等差，也不等比，递推关系式形如an 1 ban b f (n),那么把两边例 10. (07 石家庄一模)数列 an满足 an 2an 1 2 1 (n 2)且 a4 81。求(1)印、a2、 a3 (2)是否存在一个实数，使此数列笃 为等差数列？若存在求出的值及an ； 若不存在，说明理由。 1 =33 得 a? =13 ； 解：(1)由 a4 = 2a3 21 =81 得 a3 =33 ；

9、又t a3 = 2a2 2 2 又t a2 = 2a121 =13 ,. a1 =5 (2)假设存在一个实数，使此数列2_为等差数列 an 1an 2an 1 2* 1=2* 2n 1 2n 1 2n 该数为常数 1 即旦异为首项 即2，d=1的等差数列 an 1 亍=2+5 1) 1=n+1 an = (n 1) 2n 1 例11、数列 an满足 an 1 =2an n 1 (2)(n N),首项为 a1 2，求数列 an的通 项公式。 解：an 1= 2an ( 2)n1两边同除以(2)n1得芳=冷 +1 数列占是首项为dr，d=1的等差数列舌 =1+ (n 1) 1 n 故 an = n

10、( 2)n 4)，试求数列 an 例 12数列an中，a1 =5，且 an 3an 131(n=2、3、 的通项公式。 解：构造一个新数列备 为常数，使之成为等差数列, 即 3n an 1 亍d 整理得an 3an 1 3nd +3，让该式满足an 3an 1 3n 1 取 d 3n 3n , 1 ，d=1 2 1 ，即亍是首项为亍 a1 2，公差d=1的等差数列。 an 故 1 2 3n (n 1) 1 1 1 n 1 n- - an = (n )3 2 2 2 例13、（07天津理21）在数列an中，a1=2,且an 1 an (2 )2 其中 0,（）求数列an的通项公式。 解: n 1

11、的底数与an的系数相同，则两边除以 n 1得 an 1 得 2* 1 n 1 2n n an1 2n1 an 2n n 1n a 仁.- n 2n n 公差d=1的等差数 五、 列。 0 (n 1) n an(n 1) n 2n 。 取倒数法 有些关于通项的递推关系式变形后含有 anan1项，直接求相邻两项的关系很困难, 两边同除以anan 1后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出 例 14、已知数列 an, a1 =1, a* 1 an n 1 an N，求 an=? 解：把原式变形得an 1 an 1 an an 两边同除以 anan 1 得 an an 1 4 是首项为 1, d

12、= 1的等差数列故 anan (n 1)( 1) 3 例15、（ 06江西理22）已知数列an满足a1 2 且an 3nan 1 2an 1 n 1 求数列 an的通项公式。 解：把原式变形成 2anan 1 (n 1总 3n a. 1 两边同除以anan 1得 即 an 构造新数列 an ，使其成为公比 1 q=的等比数列 3 即 an 3( 3 an 1 ）整理得: an -满足式使 3an 133 数列 n1 1是首项为 1 ana1 1 丄的等比数列 3 an 1(1) 3 3 (3)n an n 3n 例16. (06江西文22)已知各项均为正数的数列 n N求数列an的通项公式。

13、a.满足：ai 3，且空口 幻 an an 1 2an an 1 解：把原式变形为 2an 1 an anan 1 (2a n 两边同除以 anan 1得 2 1 2an an 1 an an 1 所以新数列 丄 an是首项为 1 1 a1 an a1 3 故an 1 2n2 解关于 an的方程得 an 3 六利用公式an Sn Sn 1 (n 2)求通项 解：由 an 1 (an 1 an 1 ) 11 移项得：an 1 2(an) an 1an 38q=2的等比数列。 3 1 n 12n 2 an(2、29) o 3 有些数列给出 an 的前n项和Sn与an的关系式Sn= f(an),利用

14、该式写出 Sn 1 f (an 1 )，两式做差，再利用an 1 Sn 1 Sn导出an 1与an的递推式，从而求出an o 例17.(07重庆21题)已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn满足S1 1且6Sn = (an 1)(an 2) n N 求 an的通项公式。 1 a1S1 =11)12)解得a1 =1 或 a1=2,由已知a1S1 1,因此a1=2 又由 6 11 Sn 1 Sn =何 11)1 2) 1) 2)得 66 an )(an 1an3) =0- an 0 - - an 1 an 3 从而 an是首项为2,公差为3的等差数列，故 an的通项为an =2+3(n-1)=

15、3n-1. 1 例18.(07陕西理22)已知各项全不为0的数列 ak的前k项和为Sk，且Sk = akak1(k N ) 2 其中印=1，求数列ak的通项公式。 1 解：当 k=1 时，a1 S1 = a1a2 及 a1=1 得 a2=2 ；当 k2 时， 2 , 11/ 由 ak = SkSk1 = akak 1 ak1ak 得 ak(ak1 ak 1) =2 ak丁ak丰 0 二ak1ak1 =2 从而 a2m 1 =1+(m-1)2=2m-1 a2m =2+(m-1)2=2m ( m N ) 例19.（07福建文21）数列 an的前n项和为Sn, a1=1, an 1 故 ak =k

16、(k N ). 2Sn ( n N ),求a.的通 解：由 a1=l, a2 2S1=2，当n 2时an = Sn盼弓时 2 an ）得一口 =3，因此 an 是 an 首项为a2=2, q=3的等比数列。故an = 2 3n 2 （n 2）,而a1=1不满足该式 1 所以an = 2 (n=1) 3n 2(n 2) 例20.（06全国i理 4 22）该数列 an的前n项和Sna. 2* 1 (n=1、2、3)求 项公式。 an的通项公式。 41 解：由 Sn 3 an 3 (n=1、2、3)得ai 5 =茁 所以a1 =2 再Sn 1 =an 1 将和相减得: an = Sn 12 2“(n

17、=2、3) 33 Sn 1 = 4 (an an 1) g (2 33 2n) 整理得an 2n 4(an 1 n 1 2) (n=2、3)因而数列 an 2是首项为ai 24 ,q=4 的等比数列。即an 2n = 4 4n 1 = 4n，因而 an4n 2n。 七重新构造新方程组求通项法 有时数列 an和 bn的通项以方程组的形式给出，要想求出 an与bn必须得重新构造 关于an和bn的方程组，然后解新方程组求得 an和bn。 an 例21. （07辽宁第21题）：已知数列an, bn满足a1 =2, D=1且 bn 3 an 1 4 1 匚an 1 4 1 bn 11 4 _3bn 1

18、1 4 （n 2），求数列 an, bn的通项公式。 解析：两式相加得 an bn an 1 bn 1 2则 an bn是首项为a1 bi 3 , d=2的等差数 1 1 1 而两式相减得 an bn = an 1 1 = (an 1 1 bn =(2) 的等比数列，故an an 联立(1)、得 an bn 2n 1 b，(釘由此得an 分析该题条件新颖 bn 1)则 an bn是首项为印 0=1 ,q=g n i (J，bn n g 中。 ,给出的数据比较特殊， 两条件做加法、减法后恰好能构造成等差或等比 数列，从而 再通过解方程组很顺利求出 an、 bn的通项公式。若改变一下数据，又该怎

19、样解决呢？下面给出一种通法。 an 例 22.在数列 an、 bn中 a1=2, b1=1，且 bn 1 2an 6bn (n N 1 an 7bn )求数列 an和 bn 的通项公式。 解析：显然再把 an 1与bn 1做和或做差已无规律可循。不妨构造新数列 an bn其中为 an 1 bn 1 = 2an 6bn(an7bn ) = (2) an + (76)bn = (2 )(an bn)令 76 2-得 1 =2 或 2 =3 则 an bn为首项 a1b1, q= +2 的等比数列。 即1=2时， an 2bn是首项为4, q=4的等比数列，故an n 1 n 2bn=4x 4=4 ; 2=3时，an 3bn是首项为5, q=5的等比数列，故an n 1 n 3bn =5x 5= 5 联立二式n n 解得an 3 n an 3bn 5 4n 2 5n , bn 5 4n。 注：该法也可适用于例2