最新垂径定理典型例题及练习汇编

1、【基础知识回顾】一、圆的定义及性质：1、圆的定义：形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点 0旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图 形叫做圆，固定的端点叫 线段0A叫做描述性定义：圆是到定点的距离等于 的点的集合【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的 半径决定圆的 2、直径是圆中的弦】2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的 叫做弦弧：圆上任意两点间的 叫做弧，弧可分为 、 三类3、圆的对称性：轴对称性：圆是轴对称图形，有 条对称轴 的直线都是它的对称轴中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是 【名师提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转 性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重

2、合】二、垂径定理及推论：1、 垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 2、 推论：平分弦（）的直径 ，并且平分弦所对的 【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：过圆心垂直于弦平分弦平分弦所对的优 弧平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用2、 圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线3、 垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、 定理：在 中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 它们所对应的其余各组量也分别【名师提醒：注意：该定理的前提条件是在

3、同圆或等圆中”四、圆周角定理及其推论：1、 圆周角定义：顶点在 并且两边都和圆 的角叫圆周角2、 圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的 推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角 那么它们所对的弧 推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 90的圆周角所对的弦是 【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有 个，它们的关系是 2、作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做 这个圆叫做 性质：圆内接四边形的对角 【名师提醒：圆内接平行四边形是 圆内接梯形是 】垂径定理典型

4、例题分析：例题1、基本概念1 .下面四个命题中正确的一个是（）A .平分一条直径的弦必垂直于这条直径B.平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心2.下列命题中，正确的是().A .过弦的中点的直线平分弦所对的弧D.在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心B .过弦的中点的直线必过圆心C.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D .弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理B1、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm,那么油面宽度 AB是cm.2、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，如果油面宽度是 4

5、8cm,那么油的 最大深度为cm.3、如图，已知在O O中，弦AB =CD，且AB _ CD，垂足为H , OE _ AB于E , OF _ CD于F (1)求证：四边形 OEHF是正方形.若CH =3， DH =9，求圆心O到弦AB和CD的距离.4、已知： ABC内接于O 0，AB=AC，半径0B=5cm，圆心0到BC的距离为3cm，求AB的长.5、如图，F是以0为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是X的中点，AD丄BC于D，求证：AD= - BF.2例题3、度数问题1、已知：在O 0中，弦AB =12cm，0点到AB的距离等于AB的一半，求： AOB的度数和圆的半径2、已知：O O的半径

6、OA =：1，弦ab、AC的长分别是.2、. 3.求.BAC的度数。例题4、相交问题B如图，已知O O的直径 AB和弦CD相交于点 E，AE=6cm，EB=2cm，/ BED=30例题5、平行问题 在直径为50cm的O O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB / CD，求：AB与CD之间的距离.例题6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB,交小圆于 C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为a,b.求证：AD BD =a2-b2.业:、概念题1.下列命题中错误的有（）（1）弦的垂直平分线经过圆心（2 ）平分弦的直径垂直于弦3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径2、O O的直

7、径为10,弦AB的长为8, M是弦AB上的动点，贝U OM的长的取值范围是（A） 3 eOM 5（B） 4 OM 5（C） 3 :：: OM :：: 5（D） 4 :：: OM : 53如图，如果 AB为O O直径，弦CD _ AB，垂足为E，那么下列结论中错误的 是（）A . CE =DE B.川 R 门 C. . BAC = . BAD D. AC AD4.如图，AB是O O直径，CD是O O的弦，AB_CD于E ,则图中不大于半圆的相等 弧有（）对。A . 1对 B . 2对 C . 3对 D . 4对二、垂径定理1、过O O内一点P的最长弦为10cm，最短的弦为6cm，则OP的长为 .

8、2在O O中，弦AB长为8cm，圆心到弦 AB的距离为3cm，则O O半径长为 cm3. 半径是5cm的圆中，圆心到8cm长的弦的距离是 cm4. 如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径OA =10m，桥拱的距度 AB = 16m，则拱高CD =m.5. 一水平放置的圆柱型水管的横截面如图所示，如果水管横截面的半径是AB =24，则水管中水深是 cm.13cm，水面宽6.如图，OO的直径CD AB,垂足为点E,若CE =2, ED =8，则AB =（A . 2 B . 4 C . 8 D . 167.过O O内一点M的最长的弦长为 4cm，最短的弦长为2cm, 则OM的长为（）A .3 cm B .

9、 2 cm C . 1 D . 3cm&已知：如图，O O中直径AB垂直于弦CD，垂足为E,若AB =10, CD =6，则BE 的长是（）A . 1 B . 2 C . 3 D . 49.已知O O的弦AB长8cm，弦心距为3cm，则O O的直径是（）A . 5cm B . 10cm C .55 cm D . 73 cm10 .已知O O的半径为2cm，弦AB长2 3 cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为（E，若 CE = 3cm ,A. 1cm B. 2cm C. 2 cm D . cm11如图，已知O O的半径为6cm，两弦 AB与CD垂直相交于DE = 9cm，则 AB =()A . 6cm B. 3.3cm C. 3cm D. 6.3cm三、度数问题).1、在O O中，AB是弦，C是AB的中点，延长OC交O O于D .若OC = CD，则.AOB的度数是（A. 90B . 100C . 120D . 60四、相交问题1、圆的弦与直径相交成 30角，并且分直径为 6cm和4cm两部分，则弦心距为（）A. T B . 3 C . 2A . 0.5cm B . 1cm C . 1.5cm D . 2 cm五、平行问题1、圆