二、三重积分的计算技巧教学内容

1、二、三重积分的计算技巧精品资料二、三重积分的计算技巧重积分的计算中，对积分区域的熟悉非常重要，以下关于重积分的几种计算技巧均是基于积分区域的特点分析归纳得出。一、 积分区域为圆（二重积分）或球（三重积分）1、在闭区域 D 为 x2y 2a 2 的圆，区域关于原点，坐标轴均对称，则有（ 1）x 2dxdyy 2 dxdyx2 y 2 a 2x2 y2 a 2（ 2）若 m, n 中有一个为奇数有xn y m dxdy0.x2y2a2例 1求( x23y2 )dxdyx 2y2 a2解：根据对称性，2a原式=2( x2y 2 )dxdy = 2 dr 3 dra 4 .x2y2 a 200例 2求

2、2(x 3 y) dxdyx 2y2 a2解：原式 =(x 29 y26xy)dxdy5( x 2y2 )dxdy5a 4 .x2 y2 a 2x2 y2 a22例 3求(x3y5z) 2 dxdydz.（积分区域为球）x 2y2z2a 2解：原式 =(x 29 y225z26 xy 30 yz10xz)dxdydz.x2 y2 z2a 2= 35( x 2y2z2 )dxdydz.35 .4a528 a5 .3 x2 y 2 z2 a23 532、在闭区域 D 为 ( xa)2y 2a2 的圆上仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢 2精品资料例 4求xdxdy( x a) 2y 2a2

3、解：原式 =23 .(x a a) dxdy a( xa)2y 2 a2例 5求x2dxdy( xa) 2y 2a2解：原式 =(x a2dxdya)( xa)2y 2a2=( x22a( x a)dxdya2 dxdy5a 4 .a) dxdy( x a) 2 y2 a 2( x a ) 2 y2 a2( x a )2 y 2 a 243、在闭区域 D 为 ( xa)2( yb)2c2 的圆上 (处理方法同 2)二、积分区域的对称（化重积分为累次积分）1、区域关于坐标轴对称例 6区域 D 由 y x2与 y1围成，求( xy2x2 y 2 )dxdy.D114 .解：原式 =x 2 y2 d

4、xdy.dxx2 y 2 dy =D1x 2272、区域关于 yx 对称， (x, y)D ,( y, x)D ，有f (x, y)dxdyf ( y, x)dxdy.DD例 7求( xy2yx2 )dxdy. 其中区域 D 为 x2y 2a 2 ， x0, y0D解：原式 =( yx2yx2 )dxdy. =0.D例 (xy 23yx2 ) dxdy. 其中区域D为 x2y 2a 2 ， x0, y08D2a解：原式 = 4xy2 dxdy= 4d r cosr 2 sin 2rdrD00a= 2 a6=4 2 d r 5 sin2d sin009仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢

5、3精品资料例 9.求a( x)b ( y)dxdy.其中区域 D 为 x 2y2a2 ， ( x ) 为正值连续D( x)( y)函数。解：根据对称性可知a( x)b ( y)dxdy =b(x)a( y)dxdy.D( x)( y)D(x)( y)则由 2a( x) b ( y)dxdy =( a b)dxdy =( ab)R2 .D( x)( y)D故原式等于 1 (a b) R2 .2111例 10.若函数 f (x) 在区间 0,1上连续，并且 f (x)dxA. 求 dxf (x) f ( y) dy00x解：若 F (x, y) f ( x) f ( y)则有 F ( x, y)F

6、 ( y, x)111y11则 2dx f (x) f ( y) dy =dy f ( x) f ( y)dx +dxf ( x) f ( y)dy0x000x11=f ( x) dxf ( y)dy = A20011A2则 dxf ( x) f ( y)dy 的值为.0x2三、形如( x2y 2 )dxdy 或x2y2z2 dxdydz. 积分的相关运算，x2 y 2 a2x2 y2 z2 a 2化重积分为定积分（利用极坐标或球面坐标）。2aa( x2y2 )dxdy = df (r )dr2f (r )rdrx2 y2 a 20002aax2y 2z2 dxdydz =ddr.r 2 si

7、n dr = 4f ( r )r 2 drx2 y 2 z2 a20000例 11.令 g( a) =( x2y2 )dxdy ,求 lim g (a2) .x2y2 a2a 0 a仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢 4精品资料解： limg(a)= lim2 f (a)af (0).22aa 0aa0例 12令 g(a) =x2y2z2 dxdydz ,求 lim g (a) .x2 y2 z2 a 2a 0 a3解： limg(a)= lim4 f (a)a2433a2f (0).a 0aa03例 13若 g(a) =(x2y2 )dxdy ， f (0)0, f (0) 1，求

8、limg(3a) .x2 y2a2a 0a解： limg (a)limg (a)a 0a3a 03a22 f (a)a2limf ( a) f (0)2= lim3a.3a23a0x a四、固定变量替换（利用图形寻找合适的变量替换）例 14求ex y cos(xy) dxdy.xy2解：令 xyu, xy v.则有 -2u2,-v22xuv , yuv .则可算出雅克比行列式J1 .222则原式 =ev cosu1dudv1 2ev dv2cosudue 2e 2D2222五、用正交变换计算重积分用正交变换的方法计算重积分，在很多求重积分的题目中会有意想不到的便利。正交变换（其几何意义为坐标轴

9、的旋转）计算重积分的方法是一种特殊的变量替换。例 15.将f ( ax by) dxdy 化为定积分x2y 2 t 2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢 5精品资料abux解：设va2b2a2b2，a1b1y则有 u= axby, axbya2b2 ua2b2tt 2 u2则f (a2b2 u)dudv =duf ( a2b2 u)dvu 2 v2 t 2tt 2 u 2tb2 u) t 2u 2 du= 2 f ( a2t对于f (axbycz)dxdydz 利用正交变换后 uaxbycz ，x2 y 2 z2 t 2a2b2c2则有 axbycza2b2c2 u ，则有：f (axbycz)dxdydzx2y 2 z2t 2ta2b2c2 u)dudw=f (a2b2c2 u)dudvdw =duf (u2 v 2