一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法

1、课题： 一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法目标：1 巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握掌握简单 的分式不等式和特殊的高次不等式的解法；2 培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维 能力；3 激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会 从不同侧面观察同一事物思想。重点：简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法。难点：正确串根。过程：一、复习引入1.一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。2元二次不等式的解法步骤。引言：今天我们来研究一元二次不等式的另外解法， 以及特殊的高次不等式、 分式不等式的解法。二、新课1. 一元二

2、次不等式与特殊的高次不等式解法例1解不等式(x 4)(x -1) ： 0.分析一：利用前节的方法求解；分析二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，.原不等式的解集是下面两个不等式组:X-1 = 0x + 4 v 0与丿的解集的并集，即x|丿X-1 A0X + 4 0 Ux= U x|-4x1=x|-4x1.书写时可按下列格式:解二：/ (x-1)(x+4)0 二x-0公 + 4 C 0x 或-4x1 = -4x1，原不等式的解集是x|-4vx x2 且为 _ x2，则 ax2 bx c 0= a( x - x1)(x - x2) 0 ；若a0,则得丿-x10,*x

3、1,或;X-X20.2X2， ixx1,xx2.当X：X2时，得 x x1 或 xx2；当X=x2时，得 x R ,且 X =x1.若ae则得0,或xf7x5或；XfX-X2a0, X-X2a0.iXAX2,XAX2.当X:X2时，得 X： X ：X2；当X=X2 时，得 X-.分析三：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.解：求根：令（x-1）（x+4）=0，解得x （从小到大排列）分别为-4，1，这两 根将x轴分为三部分：（-：，-4）（-4，1）（ 1，+：）;分析这三部分中原不等式左边各因式的符号（g，-4）（-4，1）（1

4、，+旳）x+4-+x-1-+(x-1)(x+4)+-+由上表可知，原不等式的解集是x|-4x0 ；解：检查各因式中x的符号均正； 求得相应方程的根为：-2, 1, 3； 列表如下：-213x+2-+X-1-+x-3-+各因式积-+-+由上表可知，原不等式的解集为：x|-2vx3.小结：此法叫列表法，解题步骤是： 将不等式化为（X-X1）（X-X2）（X-Xn）0（0）形式（各项X的符号化“ +”，令 （X-X1）（X-X2）（X-Xn）=o,求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个分界点把数轴分成n+1部分; 按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因

5、式纵向排列 （由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）； 计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号； 看下面积的符号写出不等式的解集x|-1x0 或 2x0.直接写出解集：x|-2x3.x|-1x0 或 2x0（0”则找“线”在x轴上方的区间; 若不等式是“ 0”则找“线”在x轴下方的区间.注意：奇穿偶不穿例 3 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)0.解：检查各因式中x的符号均正； 求得相应方程的根为：-1, 2, 3 (注意：2是二重根，3是三重根)； 在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次(自右上方开始)，如下图: .原不等式的解集为：x|-1vx2或2x解法1:化为两个不等式组

6、来解:口 ：0 二X3 = 0亠x3c0或丿7 ： x ： 3，原不等式的解集是| -7 X解法2:化为二次不等式来解:/ x。二x +7_7x3，x+7 式 0二原不等式的解集是；x | -7 x :： 3?说明：若本题带“二”即(x-3)(x+7)兰0,贝U不等式解集中应注意 xh-7的条 件，解集应是x| -7x 3.小结：由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不 等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数x，不等式两边同乘以一个含x的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母 的正负，再解也可以，但太复杂因此，解分式不等式，切忌去分母.解法

7、是：移项，通分，右边化为0,左边化为的形式g(x)例5解不等式：字竺2 一 0 .x 2x 3解法1:化为不等式组来解较繁解法 2：v x2 -3x 2 “ =x 2x3厂 22(X2 _3x +2)(x2 _2x_3)兰02 = x2 -2x-3 式0(x_1)(x_2)(x_3)(x+1)兰0x_3)(x+1)式0原不等式的解集为x卜1x叮 或2 X3. 练习：1.课本P21练习：3；2.解不等式 心 2.x +5答案：1.(1)x|-5x8;x|x-1/2 ; 2.x|-13x-5.2 4x练习：解不等式：22_x 1.(答：x|x岂0或1x0(或0,g(xpt0伏誉0)，即转化为一次、

8、二次或特殊高次不等式形式3次不等式，二次不等式，特殊的高次不等式及分式不等式，我们称之 为有理不等式4 注意必要的讨论.5次、二次不等式组成的不等式组仍要借助于数轴四、布置作业五、思考题：1. 解关于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)0, 相应方程的根为：-3, 4, -a,现a的位置不定，应如何解? 讨论：i当-a4，即a-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：二原不等式的解集为x| -3x-a.ii当-3-a4,即-4a3时，各根在数轴上的分布及穿线如下:二原不等式的解集为x| -3x4.iii当-a3时，各根在数轴上的分布及穿线如下:二原不等式的解集为x| -ax4.iv0当-a=4,即a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下:原不等