中考针对性训练——几何探究压轴题

1、 针对性训练几何探究题 1 如图1,在正方形ABCD内有一点P满足AP二AB, PB二PC,连结AC、 PD. (1) 求证:AAPBADPC； (2)求证：ZPAC二丄 ZBAP； (3)若将原 2 题中的正方形ABCD变为等腰梯形ABCD (如图2), AD BC,且BA二AD二DC, 形内一点P仍满足AP二AB, PB=PC, 给予证明；若不成立，请说明理由. 2.如图1,在ABC中，ZAC3为锐角，点D为射线3C上一点，联结 ADf以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF (1 )如果 A3 = AC, ZBAC = 90 , 当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图2,线段CF、

2、BD所 在直线的位置关系为 _ ,线段CF、BD的数量关系 为； 当点D在线段BC的延长线上时，如图3,中的结论是否仍然 成立，并说明理由； (2) 如果ABAC , ZBAC是锐角，点、D在线段BC上，当ZAC3满 足什么条件时，CF丄EC (点C、F不重合)，并说明理由. (3) 若AC二4返，BC=3,在(2)的条件下，设正方形ADEF的边 DE与线段CF相交于点P,求线段CP长的最大值。 3.如图1,在正方形ABCD中，F是力上一点，F是肋延长线上一点， 且 DF= BE. (1) 求证：CE= CF; (2) 在图1中，若G在力。上，且Z GCE=45 ,则GE= BE+ GD敬 立

3、吗为什么 (3) 运用(1) (2)解答中所积累的经验和知识，完成下题: 如图 2,在直角梯形 ABCD 中，AD/BC BOAD, ZB=90 , AB= BC=V2, F是 S3上一点，且ZDCE=45 , BE=4,求 DE的长. 4.如图，在 RtZXS% 中，ZM=90Q , 4B=6, AC=8, D, F 分别是 边SB, SC的中点，点、P从点Q出发沿QF方向运动，过点P作 PQJBC亍Q,过点0作OR/BA交SC于R,当点0与点C重合时, 点P停止运动.设80= xf QR= y. (1) 求点。到的距离ZW的长； (2) 求y关于的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；

4、 (3) 是否存在点P,使P0/?为等腰三角形若存在，请求出所有满足 要求的x的值；若不存在，请说明理由. 5.如图17,点S是MBC和ADE的公共顶点，Z0k?+ZO1F=18O , AB=kAE, AC=k 肋，点是QF的中点，直线力交直线于点 N. 探究乙ANB勻乙BAE的关系，并加以证明. 说明：如果你经过反复探索没解决问题，可以从下面中选取 一个作为已知条件，再完成你的证明，选取比选原题少得2分，选 取比选原题少得5分. 如图18, k=:如图19, AB=AC. (2)若绕点力旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中的 结论是否发生变化如果没有发生变化，请写出一个可以推广的命题； 如果

5、有变化，请画出变化后的一个图形，并直接写出变化后乙ANB与 乙BAE的关系. N 图17图18E图19 6.已知，CD是经过ZBC4顶点C的一条直线，CA = CBE, F分别是 直线CD上两点，且ZBEC = ZCFA = Za (1 )若直线CD经过山C4的内部，且E, F在射线CD上，请解决下 面两个问题： 如图 9-1 ,若 ZBCA = 90 ,乙a = 90 , 则 BECF ; EFBE-AF (填 “”，“ v ” 或“=”)； 如图9-2,若0 ZBC4180,请添加一个关于Za与关系 的条件，使中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成 立. (2)如图9-3,若直线CD经过Z

6、BG4的外部，Za = ZBCA，请提出 EF, BE, 4F三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明). 7.在等边AA3C的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N, D为、ABC 外一点，且 AMDN = 60, ZBDC =120, BD=DC.探究：当 M、N 分别在直 线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AAMN的周长Q 与等边443C的周长L的关系. 图1图2 图3 MN之间的数量关系是； 此时= (I)如图1, 当点M、N边AB、AC上, 且 DM二DN 时，BM、NC、 (II) 如图2,点M、N边AB、AC上，且当DM工DN时，猜想(I) 问的两个结论还成立

7、吗写出你的猜想并加以证明； (III) 如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若ANr, 则Q二(用兀、L表示). 参考答案 1.略(2)略 (3)ZPAC= x,ZBAP= y ,则ZCAD = ZDCA = (60 -x) ZPDC = y 由X型得，x + 60 = y + 60 x得，=2x 即 ZPAC=-ABAP 2 2. (1)垂直，相等；1分 当点。在的延长线上时的结论仍成立. 2分 由正方形ADEF得 AD=KF ,乙DAF=93 . V ZBAC=9Q ,:ZDAF=ZBAC , 又 AB=AC , :./DABfFAC , :CF=BD , 乙 ACF= ZAB

8、D. :乙BAC=93 , AB=AC , A AABC= , A ZACF= 45 , :乙 BCF=乙 AC陕乙 ACF=93 即 CFLBD.5 分 (2) 当 ZS防=45。时，CFLBD (如图).6 分 理由：过点力作AGLAC交防或储的延长线于点G, 则乙 GAC=9B , V ZACB= 45 , ZAGC=90 一乙 ACB= 45 , :乙 ACB= ZAGC,AC=AG, 点Q在线段 上，点Q在线段GC上,由(1)可知 CF1.BD.7分 (3) 如图：作 AQBC 于 Q . ZACB二45AC二4运 CQ二AQ二4 .Z ADQ+ Z CDP= Z CDP+ Z .

9、Z PCD= Z ADP二90 CPD=90 A AADQADPC PC _ CD DQ AQ 设 CD 为 X (0 x1 44 Bf PC=1 3. (1)证明：如图1,在正方形ABCD中, : BC=CD,乙 B= ZCDF, BE=DF, :. CBE9 CDF. :. CE= OF. 3分 (2) GE= BE+ GD成立.理由是: .%空奶，乙BCE= ZDCF. :.Z BCE+ Z ECD=乙 DCF+ 乙 ECD 即乙 ECF=乙BCD=qy , 又乙 GCE=45 , :.乙 GCF= ZGCE=45 . 、：CE=CF,乙 GCE= ZGCF, GC=GC, ECG仝 F

10、CG、.4分 GE= GF :. GE= DF+ GD=BE+ GD. . 5 分 (3)解：过6作丄初，交初延长线于G. 在直角梯形力。中，9：AD/BC :. ZA=ZB=9Q 又Z CGA=90 , AB= BC,.四边形MBCG为正方形. 6 分 :AG=BC=2.已知ZDCE= 45 ,根据(1) (2)可知，ED = BE+DG.7 分 设 DE=x,则 DG=x_4,/1P=AG-DG二12 (x-4) =6x. 在 RtZM9 中,I DE1 = AD2 + AE2,即 x2 = (16 -a)2 + 82 解这个方程，得：x=10:DE=W 4. (1 ) / ZA = Rt

11、Z, AB = 6, AC = 8f /.BC = 10.点 为 AB 中点, 込0 = 3 SH, ZB = ZB. SDsgAC , DH BD AC BC 皿罟込泪号2分 (2) QR/ AB, :. ZQRC = 90. / ZC = ZC , :./RQC ZXABC 9 RQ = QC AB BC 即y关于兀的函数关系式为： ) =一 + 6. (3)存在，分三种情况： 当PQ = PR时，过点P作PM丄QR于M,则0M = Zl + Z2 = 90 , ZC + Z2 = 90 , /. Z1 = ZC . . cos Z1 = cos C =, 105 QM _4 QP5 4

12、18 x = 5 5 当 PQ=RQ 0+, -jx + 6 = , 当PR = QR时，则/?为P0中垂线上的点, 于是点为EC的中点，C7? = 1cE = IaC = 2. 24 .x = 6. 2心答七, _x + 6 ai c 宁，+孕 一13分 综上所述，当以.或6或孕时，哪为等腰三角形. 14分 5. (1) ZMAZ场住180。1 分 证明：(法一)如图1 ,延长AN到F,使MF=-AM,连接DF、 EF. 点是QF的中点，:DMME, 四边形ADFE是平行四边 形，3分 AD/ EFy AXEF, :. Z DAB-Z AEF= 80 , .Z決厶加去180 :.Z BA3

13、Z AEF 4 分: ABkAE，AOkAD, o 即 Z 如妙 Z24EM80Q 10分 AB AC .-ABgEAF:乙 AZEAF 8 分 ?乙AN陕乙陕乙BAF =180:.乙AN陕乙EAR乙BAF =80。 即Z如妙Z少Q180。, 10分 （法二）如图2,延长场到斤使AFAD,连接彷2分 z胡毋ZZZ4吕 180。，DAE +ZJF=180 , :乙 BAOZEAF, AB AC AB AC * *AEAD 疋一乔 :.ABgAEF, 5分 3 分: A臼kAE, AOkAD, 4 分 乙 AZAEF, 6分 丁点是QF的中点，ADfME. AM/ EF, 7分:乙NA巳乙AEF,

14、 :乙 AZNAE, 8 分 T Z/M伊Z殆Z01/VM8OQ , A Z ANB Z NAE Z BAN =180 , 即Z/4妙Z少匸180。 10分 （2）变化.如图3 （仅供参考）, 选取（i ）,如图4. 证明：延长M到F,使MFAM, 点是QF的中点，ADMME 二四边形ADFE是平行四边形，4分 AD/ FE. AXEF, 化 Z042分所填的条件是：Za + ZBCA = 180 .4 分 证明：在BC中, ZCBE + ZBCE = 180 - ZBEC = 18CT Z a ZBCA = 180 -Za, /. ZCBE+ZBCE = ZBCA 又/ ZACF + ZBC

15、E = ZBCA , /. ZCBE = ZACF . 又 v BC = CA9 ZBEC = ZCFA ,:.BCE/CAF(AAS) BE = CF , CE = AF. EF = CF-CE, :. EF = BE-AF .7 分 (2) EF = BE+AF. 7. (I)如图1, BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC二MN 此时 = -. L 3 (II)猜想：结论仍然成立. 证明：如图，延长AC至E,使CE二BM,连接DE. v BD=CD, JLZBDC= 120 /. ZDBC= ZDCB = 30 又 AABC是等边三角形 在WBD与AECD中: . 3BD = ZNCD

16、 = 90 = CE /3 4 (3)操作：图1中(/ D E固定，将AABC移动，使顶点C 落在C E的中点，边BC交D E于点M,边AC交D C于点N, 设ZAC C =a (30 a 90,图 4)； 探究：在图4中，线段C NE M的值是否随a的变化而变化如果 没有变化，请你求出CNEM的值，如果有变化，请你说明理由。 10. (1) BE=AD . ZACB=ZDCE=60 CA=CB, 证明：V AABC与ADCE是等边三角形 CE=CD I ZBCE二ZACD AABCEAACD BE二AD (也可用旋转方 法证明BE二AD) (2) 设经过x秒重叠部分的面积是也，如图在CQT中

17、 ST二9丽C 4 T Z TCQ二30 Z RQP二60 :. Z QTC二30 Z. Z QTC二 Z TCff QT二QC二RT二3 x T ZRTS+ZR二90 由已知得X32 一迈(3 x)彳二空 X=, x, =5,因为OWx 484 W3,所以xd (3) Cz N Ez M的值不变 证明：V ZACB=60 A ZMCEz +ZNCC,二 120 TZCNC +ZNCC, =120 ZMCE =ZCNCz .ZE =ZCz AAEZ MCsg CN 空=虫 .C, NE， M=CZ CE， C=-x2 = _ CC C；N224 门.请阅读下列材料： 已知：如图(1)在RtAA

18、BC中，Z胡090 ,朋二AC,点、D、 F分别为线段上两动点，若Z01匸45 .探究线段 、DE、EC三 条线段之间的数量关系. 小明的思路是：把MFC绕点力顺时针旋转90 ,得至| 连结E/ D, 使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题: (1) 猜想、DE、FC三条线段之间存在的数 量关系式，直接写出你的猜想； 11. (1) 亦二力+曲1分 不变，(1)中探究的结论是否发生改变 请说明你的猜想并给予证明 图(2) (3)已知：如图(3),等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且Z DCE=30 ,请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个 等腰三角形，并求出此时

19、等腰三角形顶角的度 A D E B (3) (2) 关系式QF二的+少仍然成立 证明：将ADB沿直线九7对折, 得连 FE 35 乙DF吕乙AFD ZAFD35 -45 二907分 :./AFD/ABD ? AFAB, FADB Z FAX Z BAD,乙 AFX 乙 ABD 又 V ABAC, :. AFAC Z FA吕 Z FAD+ Z DA圧 Z FAD+45 Z EA4 ZBAC乙 BAEO 一( ZDAE- ZDA 二 45 +乙 DAB . Z.FAE=-Z.EAC 又 I AE=AE:./AFE/ACE FE=-EC ,乙 AF吕乙 AC吕45Z AFD Z AB8Q - Z 在

20、Rt 併E中DP+F匡二尼即DE二B+EC8分 (2)当 AD=BE 时，线段 DE、AD、EB 能 A 构成一个等腰三角形./ A_ 如图，与(1)类似，以CE为一边，作 ZECF二ZECB,在CF上截取CF二CB,可得 ACFEACBE, ADCFADCA. AD=DF,EF=BE. 图 ZDFE=Z1 + Z2=ZA+ZB = 120 . 5分 若使ZDFE为等腰三角形，只需DF二EF,即AD二BE. 当AD二BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角 形.6分 且顶角ZDFE为120 . 京模 12.如图 1,在储和AED 中，AXBC, A (2) 将图1中的力曰?绕点力顺时针旋

21、转，使力切的一边恰 好与储的边16在同一条直线上(如图2),连结,取 弘的中点F,问(1)中的结论是否仍然成立，并说明理由； (3) 将图1中的力必绕点M顺时针旋转任意的角度(如图3), 连结,取仇?的中点F,问(1)中的结论是否仍然成立, 并说明理由. AA 图1图2 (2) (1)中的结论仍然成立. 如图2,连结CF,延长矿交防于点G. 12. (1)线段QF与/T之间的数量关系是C吕迈FE. 2分 . ZACB = ZAD = 90. /. DEBC. 又 */ zefd=乙gfb , DFBF,： EDF GBF, ： EFGF, BG=DE=AE. - AOBC, :. C氐CG.

22、:.ZEFC9Q , C冃EF.:. 妙为等腰直角三角形. :.C圧&FE (3) (1)中的结论仍然成立. 如图3,取初的中点必连结別 你取肋的中点Ny ：DF=BF,5abtb. A 连结 FN. CN, CF. VADE, Z力毎90 , : A乔EM, : CQCB, ZM妙90 , 力娠90 gg扣，5090。 A MF HAN , FMAN =CN. :四边形MFNA为平行四边形. :F申A由EM,乙AM冃乙FNA、 :.乙 EM冃乙FNC.: EMF9FNC. :FE 二 CF,乙EFkZFCN. 由 MF/an,乙 ANgqy ,可得 Z 6*90 . Z/7W+Z 矿C90 .:.乙 EFM+ Z. PFB9X . Z更=90 .CM为等腰直角三角形. :乙CE冃45 .C吕迥FE. 8分 另法：延长CF至G,使FG二CF,连结EG与DG.证厶 DFG8磁从而 DG 二 CB 二 AC,再证 ACE ADEG 13如图，已知ZABC中，AB二AC,点P是BC上的一点，PN丄AC于 点N, PM丄AB于点M, CG丄AB