(完整word版)线性代数试题和答案(精选版)

1、Fpg Fpg 线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 、单项选择题(本大题共 14小题，每小题2分，共28分)在每小题列出四个选项中只有 一个是符合题目要求，请将其代码填在题后括号内。错选或未选均无分。 a11 a12 a13 a11 =m, a 21 a22 a23 a21 1设行列式 =n，则行列式 A. m+n C. n- m a11 a12 a13 a21 a22 亠a23 B. - (m+n) D. m- n 等于( 2设矩阵A= (1 0 0，则A-1等于( 3丿 3 C. k=3 12. 设A是正交矩阵，则下列结论错误是（ A.| A|2 必为 1 -1 T C. A

2、= A 13. 设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵， A. A与B相似 B. A与B不等价 C. A与B有相同特征值 D. A与B合同 14. 下列矩阵中是正定矩阵为（） i23: A. I I 母4丿 1 0 0 C. 02-3 -35 ） B.| A必为1 D. A行（列）向量组是正交单位向量组 B=C AC .则（） 1 D. 1 1 4 6 、 1 1 2 0 0 2 第二部分 、填空题（本大题共 10小题，每小题 小题空格内。错填或不填均无分。 非选择题（共72分） 2分，共20分）不写解答过程，将正确答案写在每 15. 5 25 6 36 17.设 A =(aj)3 八 3 ,|A|

3、=2 , 2 2 2 (a11A21+a12A22+a13A23) +(a21A21 +a22A22+a23A 23) +(a31A21+a32A22+a33A23)= 1 T 1 I 23” ,B= Q 1一1 丿 -1-2 4J 则 A+2 B= 16.设 A= 表示|A |中元素aj代数余子式（i,j=1,2,3 ）,则 2 2 18. 设向量（2, -3, 5）与向量（-4, 6, a）线性相关，贝y a= 一. 19. 设A是3X 4矩阵，其秩为3，若n 1, n 2为非齐次线性方程组 Ax=b O 2个不同解，则它 通解为. 20. 设A是m x n矩阵，A秩为r（n），则齐次线性

4、方程组 Ax=0一个基础解系中含有解个 数为. 21. 设向量a、3长度依次为 2和3,则向量a + B与a - B内积（a + 3 , a - 3 ）= 22. 设3阶矩阵A行列式|A|=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为 23设矩阵 *0106 1-3-3 ，已知 a v-2108 j _1是它一个特征向量, 2丿 a所对应特征值 24设实二次型f（Xl,X2,X3,X4,X5）秩为4,正惯性指数为3，则其规范形为 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分） 门 2 0 23-11 340 ,B = 1-2 40 冷2 1丿 25设 A= 求（ 1）ABT；（2）|4A

5、|. 26试计算行列式 3 1-12 -5 1 3 / 201-1 1-532 27.设矩阵A = 1 23 1 0，求矩阵B使其满足矩阵方程 2 3.丿 AB =A+2 B. 28给定向量组 1 a 1= 0 a 2= 2 4j a 3= 试判断a 4是否为a 1, a 2, a 3线性组合；若是, 0： -1 a 4= 4 9j 则求出组合系数。 1 29. 设矩阵A =2 2 1 Y 所以 B=( A - 2E)- 1 A= 1 -5 6 -5 -5 AB =A +2 B 即 B= A，而 (A-2 E) 1 -8 -6 -6 -5 0 0 2 -5 3 -4 -5 d 6 4 角 2

6、、 3 1 1 0 V1 2 3丿 4 ，Z-2 1 3 0 0 -5 3 -2 1 0 -1 1 0 -1 0 2 2 4 0 1 1 2 13 4 -1 9 0 13 -1 12 2 -6 12 9 J 28解一 1 0 3 5 *1 0 3 、 5 0 1 1 2 0 1 1 2 0 0 8 8 0 0 1 1 町 0 -14 -14.J 0 0 0丿 1 0 0 2? 0 10 1 0 0 11 0 0 0 29解 所以a 4=2 a 解二考虑 a 4=X1 a 1+X2 a 2+X3 a 3, -2X1 +x 2 +3X3 =0 x 1 3x2 = 1 2X2 +2X3 =4 3x

7、1 +4x 2 x 3 = 9. 方程组有唯一解(2, 1, 1) 对矩阵A施行初等行变换 1+ a 2+ a 3，组合系数为(2， 1， 1) (2, 1, 1). 彳 -2 -1 0 2 0 0 0 6 -2 0 3 2 8 -2 0 9 6 3 f1 -2 -1 0 2 /5/5 ,n 2= 45/15 2/5/5 2尿/151/3 (也可取 T =0-J5/32/3 .) 5 / 5-45/15 -2/3; 31解 2 2 2 f(xi, X2, X3)= ( Xi+2x2- 2x3) - 2X2 +4X2X3- 7X3 / 、 2 / 、2 2 =(X1+2x2- 2x3) - 2

8、( X2-X3 ) - 5X3 . 站=X1 +2X2 -2x3r Xi =yi 2y2 设 y2 = X2 -X3 , 即 x2 = y2 +y3, $3 = X3 3 =y3 -2 0 因其系数矩阵 C= 0 1 1 可逆，故此线性变换满秩。 0 1 经此变换即得f(X i, X2, X3)标准形 2c2厂2 yi - 2y2 - 5y3 . 四、证明题(本大题共 2小题，每小题5分，共10分) 23 32证 由于(E- A)( E+A +A2)=E- A3=E， 所以E- A可逆，且 (E - A) -1= E+A+A2 . 33证 由假设 A n 0= b, AE 1=0, A E 2=0. (1) An 1=A ( n o+ E 1) = An o+A E 1 = b,同理 An 2= b, 所以n 1, n 2是Ax=b O 2个解。 (2) 考虑 ln o+l 1 n 1+I2n 2=0, 即(I0+I1+