江苏省苏锡常镇四市2019届高三第二次模拟考试数学试卷(含答案)

1、 2019 届高三年级第二次模拟考试数 学(满分 160 分，考试时间 120 分钟)一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分1. 已知集合 a0，1，2，bx|1x0， x8. 中国古代著作张丘建算经有这样一个问题“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700 里，则这匹马在最后一天行走的里程数为_9. 已知圆柱的轴截面的对角线长为 2，则这个圆柱的侧面积的最大值为_10. 设定义在区间 0， 上的函数 y3 3sin x 的图象与 y3cos 2x2 的图象交于点 p，则 点 p2

2、到 x 轴的距离为_11. 在abc 中，角a，b，c 所对的边分别为 a，b，c，已知5a8b，a2b，则sin a 4_12. 若在直线 l：axy4a0 上存在相距为 2 的两个动点 a，b，在圆 o：x y 1 上存在点22 c，使得abc 为等腰直角三角形(c 为直角顶点)，则实数 a 的取值范围是_13. 在abc 中，已知 ab2，ac1，bac90，d，e 分别为 bc，ad 的中点，过点 e 的直线交 ab 于点 p，交 ac 于点 q，则bq cp的最大值为_14. 已知函数 f(x)x2|xa|，g(x)(2a1)xaln x，若函数 yf(x)与函数 yg(x)的图象恰

3、好有两个不同的交点，则实数 a 的取值范围是_二、 解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. (本小题满分 14 分)如图，在三棱锥 dabc 中，已知 acbc，acdc，bcdc，e，f 分别为 bd，cd 的中点求证：(1) ef平面 abc；(2) bd平面 ace.16. (本小题满分 14 分)已知向量 a(2cos ，2sin )，b(cos sin ，cos sin )(1) 求向量 a 与 b 的夹角；(2) 若(ba)a，求实数 的值17. (本小题满分 14 分)某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化已知空地的一边是直路 a

4、b，余下的外围是抛物线的一段弧，直路 ab 的中垂线恰是该抛物线的对称轴(如图)拟在这个空地上划出一个等腰梯形abcd 区域种植草坪，其中点 a，b，c，d 均在该抛物线上经测量，直路的 ab 长为 40 米，抛物线的顶点 p 到直路 ab 的距离为 40 米设点 c 到抛物线的对称轴的距离为 m 米，到直路 ab 的距离为 n 米(1) 求出 n 关于 m 的函数关系式；(2) 当 m 为多大时，等腰梯形草坪 abcd 的面积最大？并求出其最大值 18. (本小题满分 16 分)x y323322已知椭圆 e： 1(ab0)的离心率为 ，焦点到相应准线的距离为 .a b22(1) 求椭圆 e

5、 的标准方程；(2) 已知 p(t，0)为椭圆 e 外一动点，过点 p 分别作直线 l 和 l ，直线 l 和 l 分别交椭圆 e 于点1212papbpc pda，b 和点 c，d，且直线 l 和 l 的斜率分别为定值 k 和 k ，求证：为定值121219. (本小题满分 16 分)已知函数 f(x)(x1)ln xax(ar)(1) 若函数 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 xyb0，求实数 a，b 的值；f（x）(2) 设函数 g(x)，x1，e(其中 e 为自然对数的底数)x当 a1 时，求函数 g(x)的最大值；g（x）若函数 h(x)是单调减函数，求实数 a 的取值范围

6、ex20. (本小题满分 16 分)定义：若有穷数列 a ，a ，a 同时满足下列三个条件，则称该数列为 p 数列12naa首项 a 1；a a a ；对于该数列中的任意两项 a 和 a (1i4，且数列 b ，b ，b 是 p 数列，求证：数列 b ，b ，b 是等比数列12n12n 2019 届高三年级第二次模拟考试(十一)数学附加题(满分 40 分，考试时间 30 分钟)21. 【选做题】本题包括a、b、c 三小题，请选定其中两小题，并作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤a. 选修 42：矩阵与变换(本小题满分 10 分)1 2x 1 已知 x，yr

7、， 是矩阵 a属于特征值1 的一个特征向量，求矩阵 a 的另一个0 y特征值b. 选修 44：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)在极坐标系中，已知直线 l：sin 0，在直角坐标系(原点与极点重合，x 轴的正方向为31yt ，4t极轴的正方向)中，曲线 c 的参数方程为(t 为参数)设直线 l 与曲线 c 交于 a，b 两点，xt14t求 ab 的长c. 选修 45：不等式选讲(本小题满分 10 分)若不等式|x1|xa|5 对任意的 xr 恒成立，求实数 a 的取值范围 【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22.

8、 (本小题满分 10 分)从批量较大的产品中随机取出 10 件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为 0.05，随机变量 x 表示这 10 件产品中的不合格产品的件数(1) 问 ：这 10 件产品中“恰好有 2 件不合格的概率 p(x2)”和“恰好有 3 件不合格的概率 p(x3)”哪个大？请说明理由；(2) 求随机变量 x 的数学期望 e(x)23. (本小题满分 10 分)c c ccc c c4 5 6cn2234n已知 f(n)c4c6c8 c2n ，g(n) 4 6c c c 8 c2n ，其中 nn ，n2.*345n12n 2345n12n 268106810(1) 求 f(2

9、)，f(3)，g(2)，g(3)的值；(2) 记 h(n)f(n)g(n)，求证：对任意的 mn ，m2，总有.* 2019 届高三年级第二次模拟考试(十一)(苏锡常镇)212. ，(2) 因为 acbc，acdc，bcdcc，所以 ac平面 bcd.(8 分)因为 bd 平面 bcd，所以 acbd.(10 分)因为 dcbc，e 为 bd 的中点，所以 cebd.(12 分)2222222因为 ba2，a 4，所以 240，解得 2.(14 分)21解得 a ，(4 分)102 因为点 c 在抛物线上，110所以 n (400m )，0m0，(6 分)1e所以 g(x)0，函数 g(x)在

10、区间1，e上单调递增，所以函数 g(x)的最大值为 g(e) .(8 分)f（x）1e同理，单调增函数 g(x)a，a1 ，(9 分)x1x1则 h(x) 1 lnxa .ex1x1 lnxa1若 a0，g(x)0，h(x)，ex11xx21x lnx 1 lnxax2h(x)ex（1xx ）lnxax x1220，x e2 x令 u(x)(1xx )lnxax x1，221x则 u(x)(12x)lnx (2a1)x0，即函数 u(x)区间在1，e上单调递减，所以 u(x) u(1)a20，max所以 a2.(11 分)11 lnxaxe12若 a，g(x)0，h(x)，eexu（x）由 1

11、知，h(x)，又函数 h(x)在区间1，e上是单调减函数，x e2 x所以 u(x)(1xx )lnxax x10 对 x1，e恒成立，22即 ax x1(1xx )lnx 对 x1，e恒成立，22 1 11 1x x2即 a 1 lnx 对 x1，e恒成立x x21 11 1x x2令 (x) 1 lnx，x1，e，x x21 22 11 1x x1x3 2 12 1(x) lnx( 1) lnx，x x x x x2x xx x23322323记 (x)lnxx1(1xe)，1x1x又 (x) 10，x所以函数 (x)在区间1，e上单调递减，故 (x) (1)0，即 lnxx1，所以max

12、3 2 12 13 2 12 15 1x x3 2(x) lnx (x1) 0，x x x x x2x x x x x3232323即函数 (x)在区间1，e上单调递减，1 11 1e e2所以 (x) (e) 1 lne1，e emin2e1所以 a(x) 1，又 a，emine1所以 a.(13 分)ee13若a0，xx2x2x2x22f（x）所以函数 g(x)在区间1，e上单调递增x1e又 g(1)g(e)a a1 0，1x01则存在唯一的 x (1，e)，使得 h(x )1 lnx a0，ex0000所以函数 h(x)在区间1，e上不单调(15 分)1e综上，实数 a 的取值范围为 ，

13、1 2，)(16 分)5320.(1) 因为 3515， 均不在此等差数列中，所以等差数列 1，3，5 不是 p 数列(2 分)(2) 因为数列 a，b，c，6 是 p 数列，所以 1abc6，(3 分)6由于 6b 或 是数列中的项，而 6b 大于数列中的最大项 6，b 6b6c所以 是数列中的项，同理 也是数列中的项(5 分)6 6又因为 1 6，所以 b， c，c b66cb所以 bc6，又 1bc，所以 1b 6，(7 分)综上，实数 b 的取值范围是(1， 6)(8 分)(3) 因为数列b 是 p 数列，n所以 1b b b b ，123nb由于 b b 或 n是数列中的项，而 b

14、b 大于数列中的最大项 b ，b2 n2 nn2b所以 n是数列b 中的项，(10 分)bn2b b同理 n， n， n 也都是数列b 中的项，b bbbn34n 1bbbbb又因为 1b n nb ，且 1， n ， n，b 这 n 个数全是共有 n 项的增数列 1，b ，bbnn2n 12n 12bbb 中的项，所以b n b ， nb ，bn2n 1n 12从而 b b b(i1，2，n1) (12 分)ni n 1 i bb又因为 b b b b b ，所以 b b 不是数列b 中的项，所以 n 1是数列b 中的项，n 1 3n 1 2nn 1 3nn3bbb同理 n 1， n 1也都

15、是数列b 中的项bn4n 2bbbbbbbbbbb因为 1 n 1 n 1 n 1 nb b 1，p（x3） c 0.05 0.9583310所以 p(x2)p(x3)，即恰好有 2 件不合格的概率大(6 分)(2) 因为 p(xk)p c p (1p)10k，k0，1，2，10.kkk10随机变量 x 的概率分布为：x01210pkc p (1p)c p (1p)c p (1p)c p (1p)001011922810 10010101010故 e(x)0.5.(9 分)故随机变量 x 的数学期望 e(x)为 0.5.(10 分)c3c c 4122323.(1) f(2) 4 ，f(3)

16、4 6 ，c 10c c 703 43668c1c c19g(2) 4 ，g(3) 4 6 .(3 分)c 20 c c 140445334668c ckk22k(2) 因为 2kck12k 2 （2k）！（2k）！（k！）（k！） （k2）！ （k2）！（2k2）！（k1）！ （k1）！（k1） （k2）（k1）k（k1）2（2k2）（2k1）（k2）（k1）（4k2）（2k2）（2k1）（k2） k21，(4 分)c ckk22k所以 h(n)f(n)g(n)2knck1k22k 21.(5 分)nk2k2m1下面用数学归纳法证：对任意的 mn ，m2，总有 h(2 ).*m21 1 1 37 1当 m2 时，h(4) ，命题成立；4 5 6 60 237 1 1 1 1 37 4 37 24当 m3 时，h(8) 1，命题成立(6 分)60 7 8 9 10 60 10 60 60t1假设当 mt(t3)时，命题成立，即 h(2 )成立t2t1 111111则当 mt1 时，h