求函数解析式的几种方法教案

1、 .北京梦飞翔教育个性化辅导教案学生：教师：时间：年月日_段 课时：教学容函数解析式的求法教学目标一、教学过程：【知识梳理】1函数的定义2函数相等3分段函数4映射的概念【热身练习】f,f在 下的原象是（）223)2给出下列对应：( )， ：= b = n fa = x n x 2 , b = y z y 0 ， f ： x y = x - 2x + 2 ；2( )， ：（写出所有正确答案的序号）x -x + 2x 是集合 a到 b 的映射，其中a = b = r 若实数k b ，且k 在 a中不存在原23设映射 f ：. .k）( )( )( )=3x，( )( )f x = x -1 x +

2、1 g x = x -12，x( )5下列各图中，可以表示函数 y的只可能是（）yyyyxooxoxox（b）（c）（d）( )= 2x -3，其定义域6若函数 f xx11x2 7设函数，则 f 1 + f 2 + f + f 3 + f + f 4 + f =二、复合函数1复合函数的解析式【试一试】( )1( )( ) f f x 、 f g x、 的解析式.= 2x -1，=.求1设函数 f x( )( )2设函数，求函数和的解析式x函数解析式的几种常见求法一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。. .( )是一次函数，且 f f (x) = 4x + 3，求 f x例

3、 1 设 f二、 配凑法：已知复合函数 f g(x)的表达式，求 f (x)f g(x)的表达式容易配成 g(x)的运算(x) 的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)形式时，常用配凑法。但要注意所求函数 f11f (x)，求 的解析式例 2 已知 f2xx2f g(x)的表达式时，还可以用换元法求 f (x)的解析式。与配凑法一样，要注意所已知复合函数换元的定义域的变化。例 3 已知 f四、代入法（相关点法）：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。= x2 + x与y = g(x) 的图象关于点(-2,3). .y x, )在 y=g(x)的图象2 3【练一练】已知函

4、数 ( ) = 2 ,当点 p(x,y)在 y= ( ) 的图象上运动时,点 q( -f x f x1x+五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程1求x1g(x),( )和 ( )试求 f x g x 的解析式例 6 设 f为偶函数，x -1六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例 7 已知： f(0) = 1，对于任意实数 x、y，等式 f (x - y) = f (x) - y(2x - y +1)恒成立，求 f (x)【练一练】1若 f

5、(x + y) = f (x) f (y) ,且 f (1) = 2 ，. .f (2) f (3) f (4)+l +f (1) f (2) f (3)2.设 f (x) 是定义在 *上的函数,且n2七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。(1) = 1 , ( ) + ( ) = ( + ) -，对任意的自然数a b 都有 f a f b f a b ab ，例 8 设 f是定义在 n 上的函数，满足 ff(x) = e x + e ,求当 x0 时， f (x) 的表达式.2x. .二、课堂小结：三、课后反思：

6、四、学生对于本次课的评价： 差 一般 满意 特别满意学生签字：. .五、教师评定： 好教师签字：学管师签字： _一、函数的概念1函数的定义设 a， b 是集合 b 中都有作的数集，如果按照某种确定的f ，使对于集合 a中的一个数 x ，在( ) bab的数 f x 和它对应，那么就称 f ： a为从集合 到集合个 的一个函数，记，x a其中，叫做函数的定义域；与x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数=叫做函数的值域显然，值域c b 值的集合c（1）函数概念的整体性：其中核心是对应关系( )、是决定函数的三要素，这是一个整体，= f xyf xy x（2）函数符号 y的涵：不表示“ 等于 与

7、的乘积”，而是 “ 是 的函数”的数学表示，其中x是自变量，是对应关系作用的对象； f 是对应关系，可以是解析式、图象或表格，也可以是文字描述；y 是自变量的函数，当 x 取允许的具体值时，相应的 y 值是其对应的函数值( ) ( )( )( )f x= a（3） f x 与 f a 的区别与联系：当a 为常数时， f a 表示当自变量 x时函数的值，是一个( )( )( ) ( )常量；而 f x 是自变量 x 的函数在一般情况下， f x 是一个变量， f a 是 f x 的一个特殊值（4）初高中函数定义的比较：初中函数定义是从运动变化的观点出发，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，其中

8、的对应关系是将自变量x 的每一个取值与唯一确定的函数值 y 对应起来；高中函数的定义是从集合、对应的观点出发，其中的对应关系是将原象集合中的任一元素与象集合中的唯一确定的元素对应起来高中函数定义更具一般性，其外延更加丰富，是初中函数定义的延伸和拓展2函数相等. .一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的3分段函数相同，并且对应关系，就称这两个函数相等如果一个函数在定义域的全域上没有统一的对应关系，对于自变量的不同取值围，有着不同的对应法则，这样的函数叫分段函数分段函数用解析法表示的一般形式：( ) f x , x a ,11( ),

9、x a , f x( )y = f x = 22l( )f x , x a .nn= a u a ul u a（1）分段函数是一个函数，不是几个函数；其定义域为并集 a集合的并集，值域是各段函数值12n（2）分段函数的图象要“分段作图”，要注意每一段解析式中自变量的取值围4映射的概念设 a，b 是两个非空的集合，如果按照某一个确定的f ，使对于集合 a中的一个元素 x ， bab在集合 b 中都有的元素 y 和它对应，那么就称对应 f ：a为从集合 到集合个 的一个映射（1）映射有三个要素：两个集合 a、b（可以是任意非空集合）、对应关系，三者缺一不可（2）集合的先后顺序： a b 与 b a

10、一般是不同的（3）映射是一类特殊的对应，包括多一对应与一一对应有两个重要特征： a中元素的任意性（缺一不可 ）、 b 中元素（对应于 a中的元素）的唯一性，但 b 中元素可以“剩余” a，b b（4）象与原象：给定一个集合 a到集合 b 的映射，且a如果元素a 和元素b 对应，那么，我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象象与原象相互依存，不能割裂二者；集合a中的每一个元素都有象，且象是唯一的；但集合b 中的元素不一定都有原象，有也未必是唯一的（5）函数是特殊的映射，是非空数集到非空数集的映射【热身练习】 x - y x + y ( )( )-5, 2, yf,f1如果 x在

11、映射 下的象是，则在 下的原象是（）22372a(-10, 4)( )-3, 7c (-6, -4)- , -2b d2给出下列对应：( )= r, b = 0, +x x； a a， f ：= b = n f x x -3， ：；. . a = x n x 2 , b = y z y 0 ， f ： x y = x - 2x + 2 ；2( )= 0, + , b = rx y = x a， f ：其中是从集合 a到集合 b 的函数有（写出所有正确答案的序号）x -x + 2x 是集合 a到 b 的映射，其中 a= b = rk b23设映射 f ：若实数，且 k 在 a 中不存在原象，则

12、的取值围是k4下列四组函数中，表示同一函数的是（）( )( )( )， g x( )( )332= x=f x = x g x = xb ，a f xx( )( ) x( )( )2=1 g x =f x = x -1 x +1 g x = x -1c f x，d ，x( )= f x5下列各图中，可以表示函数 y的只可能是（）yyyyxooxoxox（d）（a）（b）（c）( )= 2x -3，其定义域( )= 1 5a x nx6若函数 f x，则 f x 的值域是11 3 1 x2 ( )f x =() ( )( )( )，则 f 1 + f 2 + f + f 3 + f + f 4

13、+ f =7设函数1+ x22 4 二、复合函数( )= f u( )u = g x，其值域为c ，且如果 y 是u 的函数，记作 yu x，其定义域为 a；又 是 的函数，记作( )c i a f，则 y 通过中间变量u 而成为 x 的函数，记为 y= f g x ，称之为 关于 的复合函数；其中uyx( )= f u( )u = g x叫做层函数叫做中间变量， y叫做外层函数，（1）复合函数的本质：对 x 的任意一个取值通过对应关系 g 得到唯一确定的u 值，而对此u 的取值通过 y ；即：对 x 的任意一个取值通过对应关系 g 与 f 的相继对应关系 f 得到唯一确定的 y 值： xug

14、f作用得到唯一确定的 y 值与之对应，故 y 也是自变量 x 的函数 （2）此概念表明在研究复杂函数时可将其分解成简单或基本函数，化繁为简；关键是要正确分析复合层y = x2 + 2 - 2可看作是x次即分清复合函数是由哪些简单函数、经过怎样的复合关系复合而成的如：函数由外层函数与层函数复合而成. .i a f（3）层函数的值域 满足的条件“c”是为了保证两个函数可以复合；否则复合函数不存在，如c( )= f u = u( )u g x x ，其复合函数= - 2 -1( )=y = f g x 对于函数 y与不存在1复合函数的解析式( )( )( )( )g x第一种类型，已知 f x 、

15、g(x)，求f g x ：函数f g x 可以理解为以为“自变量”、对应法( )( )( )则为 的函数，故视 g x 为一个整体代替 f x 中的 即可求出 ffxg x ( ) ( ) ( )g x 第二种类型，已知 f、 g x ，求 f x ：换元法、配凑法【试一试】( )1( )( )g x( )( ) f f x= 2x -1，=f x.求2 +1、 f g x、的解析式.1设函数 f x1+ x2x( 0)x2( )( )( )( )f x = 2x -1, g x = fg x g f x 2设函数，求函数和的解析式+1 (x 0)x函 数 解 析 式 的 几 种常见 求 法三

16、、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。(x)( )是一次函数，且 f f (x) = 4x + 3，求 f x例 1 设 f(x) = ax + b(a 0)，则解：设 ff f (x) = af (x) + b = a(ax + b) + b = a x ab b2 += 4 = 2 = -2aa2a或ab + b = 3b = 1b = 3. . f (x) = 2x +1或f (x) = -2x + 3四、 配凑法 ( )( ) ( )( )：已知复合函数 f g x 的表达式，求 f x 的解析式， f g x 的表达式容易配成 g x 的(x) 的定义域不是原复合函

17、数的定义域，而是g(x)运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数 f的值域。11f (x + ) = x+(x 0)f (x)，求 的解析式例 2 已知2xx2111q f (x + ) = (x + ) - 2 x + 2，解：2xxx f (x) = x - 2 (x 2)2三、换元法：已知复合函数 f g(x)的表达式时，还可以用换元法求 f (x)的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。( x +1) = x + 2 x( + 1)，求 f x例 3 已知 f= x +1，则t 1， x=(t -1)解：令t2q (f xx x+1) = + 2 ( ) = ( -1) +

18、 2( -1) = -1,f tt2tt2 f (x) = x -1 (x 1)2 f (x +1) = (x +1) -1 = x + 2x (x 0)22四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。= x + x与y = g(x) 的图象关于点(-2,3) g(x)的解析式例 4 已知：函数 y2对称，求(x, y) y = g(x)m (x, y) m (x, y) 关于点(-2,3)为 的对称点解：设 m为上任一点，且 +x x= -2 = - - 4xx2则，解得：， +y y = 6 - yy=3 2( , )y g x 上= ( )q m x y点在 y

19、 = x + x2. . = - - 4xx把 代入得： y = 6 -y6 - y = (-x - 4) + (-x - 4)2= -x - 7x - 6整理得 y2 ( ) = - - 7 - 6g xx2x五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。1f (x)满足f (x) - 2 f () = , ( )x 求 f x例 5 设x1(x) - 2 f ( ) =q f解x x1 0, x显然 x将 换成 ，得：x11f ( ) - 2 f (x) =xx解 联立的方程组，得：x 2f (x) = - -3 3x1(

20、x)g(x)( ) + ( ) =f x g x,( )和 ( )试求 f x g x 的解析式例 6 设 f为偶函数，为奇函数，又g(x)为奇函数，x -1q f (x)解为偶函数， f (-x) = f (x), g(-x) = -g(x)1f (x) + g(x) =又用即 ，x -11- xxf(-x) + g(-x) = -替换 得：x +11f (x) - g(x) = -x +1解 联立的方程组，得11f (x) =g(x) =，x2-1x- x2六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。. .(0) = 1，对于任意实数 x、