人教A版精编高中数学必修4第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质二导学案

1、.1.4.2.正弦函数、余弦函数的性质(二)学习目标.1.掌握ysinx，ycosx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握ysinx，ycosx的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数yasin(x)及yacos(x)的单调区间.知识点一.正弦、余弦函数的定义域、值域观察下图中的正弦曲线和余弦曲线.正弦曲线：余弦曲线：当且仅当x2k，kz时，取得最大值1；当且仅当x2k，kz时，取得最小值1.观察正弦函数ysinx，x，的图象.可得如下性质：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集r，值域都是1，1.对于正弦函数ysinx，xr有：22对于余弦函

2、数ycosx，xr有：当且仅当x2k，kz时，取得最大值1；当且仅当x(2k1)，kz时，取得最小值1.知识点二.正弦、余弦函数的单调性322.22当x，时，曲线逐渐上升，是增函数，sinx的值由1增大到1；当x，3时，曲线逐渐下降，是减函数，sinx的值由1减小到1.当x2k，2k(kz)时，正弦函数ysinx是增函数，函数值由1增大2k，32k(kz)时，正弦函数ysinx是减函数，函数值由1减小到当x3思考1.正弦函数在，上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？答案.观察图象可知：2222推广到整个定义域可得22到1；221.观察余弦函数ycosx，x，的图象.答案.ysinx的增

3、区间为2k，2k，kz，减区间为思考2.余弦函数在，上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？答案.观察图象可知：当x，0时，曲线逐渐上升，是增函数，cosx的值由1增大到1；当x0，时，曲线逐渐下降，是减函数，cosx的值由1减小到1.推广到整个定义域可得当x2k，2k，kz时，余弦函数ycosx是增函数，函数值由1增大到1；当x2k，(2k1)，kz时，余弦函数ycosx是减函数，函数值由1减小到1.思考3.正弦函数、余弦函数的单调区间是什么？222k，2k，kz.223ycosx的增区间为2k，2k，kz，减区间为2k，2k，kz.梳理.解析式ysinxycosx图象值域1，11，1

4、在2k，2k，kz上递增，在2k，32k，kz上递减当x2k，kz时，ymax1；当x22k，kz时，ymin12单调性最值2222在2k，2k，kz上递增，在2k，2k，kz上递减当x2k，kz时，ymax1；当x2k，kz时，ymin1x的单调递增区间.例1.求函数y2sinx2sinx，解.y2sin令zx，间，即2kz2k(kz).2kx2k(kz)，即2kx2k(kz)，函数y2sinx的单调递增区间为，2k7k2(kz).类型一.求正弦、余弦函数的单调区间4444则y2sinz.因为z是x的一次函数，所以要求y2sinz的单调递增区间，即求sinz的单调递减区32232423744

5、4344反思与感悟.用整体替换法求函数yasin(x)或yacos(x)的单调区间时，如.跟踪训练1.函数ysin3x，x，的单调递减区间为_.23993解析.由2k3x2k(kz)，2k42k得x(kz).又x，2所以函数ysin3x，x，的单调递减区间为，.2317(2)cos与cos.232333(2)coscoscos(4)cos，17coscoscos4cos.0，且ycosx在0，上是减函数，32317coscos，即coscos.果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.633答案.，3262939333633

6、3993类型二.正、余弦函数单调性的应用命题角度1.利用正、余弦函数的单调性比较大小例2.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.(1)sin196与cos156；54解.(1)sin196sin(18016)sin16，cos156cos(18024)cos24sin66.0166690，且ysinx在0，90上是增函数，sin16sin66，即sin196cos156.555544443455454反思与感悟.用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小.跟踪训练2.比较下列各组数的大小.3749

7、(1)sin与sin；37解.(1)sinsin6sin，49333ysinx在，上是增函数，3749sinsin，即sinsin.例3.已知是正数，函数f(x)2sinx在区间，上是增函数，求的取值范解.由2kx2k(kz)，得2k2k.63(2)cos870与sin980.666sinsin16sin.223663(2)cos870cos(720150)cos150，sin980sin(720260)sin260sin(90170)cos170.0150170cos170，即cos870sin980.命题角度2.已知三角函数的单调性求参数范围34围.22x，222k2kf(x)的单调递增区

8、间是，kz.222k2k根据题意，得，(kz)，3422解得00，32故的取值范围是(0，.跟踪训练3.已知0，函数f(x)sinx在，上单调递减，则的取值范围32反思与感悟.此类问题可先解出f(x)的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后列不等式组求出参数范围.42.152413241c.0，是(.)a.，2.b.，d.(0，255解析.取，f(x)sinx，8其减区间为k，k，kz，8显然，k，k，kz，排除b，c.取2，f(x)sin2x，5其减区间为k，k，kz，5显然，k，k，kz，排除d.例4.(1)求函数y2cos(2x)，x(，)的值域；(2)求使函数ysin2x3sin

9、x取得最大值和最小值的自变量x的集合，并求出函数解.(1)x，02x，cos(2x)sin72c.sinsin答案.d32624332.下列不等式中成立的是(.)81055.b.sin3sin2d.sin2cos1解析.sin2cos2cos2，且021cos1，3.函数ycosx，x0，的值域是(.)答案.d2222即sin2cos1.故选d.62a.31，2213b.，22123c.，12d.，1解析.0x，x，coscosxcos，y.故选b.4.求函数y32sinx的最值及取到最值时的自变量x的集合.解.1sinx1，当sinx1，x2k，kz，答案.b2266323661322121

10、211222即x4k，kz，ymax5，此时自变量x的集合为x|x4k，kz；.当sinx1，x2k，kz，5.求函数y2sin(2x)，x(0，)的单调递增区间.解.函数y2sin2x2sin2x，函数y2sin2x的单调递增区间为y2sin2x的单调递减区间.由.11222即x4k，kz时，ymin1，此时自变量x的集合为x|x4k，kz.6666622k2x2k，kz，得kxk，kz.x(0，)，由k0，得x.函数y2sin2x，x(0，)的单调递增区间为，5636把x看成一个整体，由2kx2k(kz)解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kx2k(kz)解出x的范围，所得区间即为减区1

11、.函数y12cosx的最小值，最大值分别是(.)362536536.1.求函数yasin(x)(a0，0)的单调区间的方法22322间.若0，先利用诱导公式把转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间.2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.3.求三角函数值域或最值的常用方法将y表示成以sinx(或cosx)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.课时作业一、选择题2.a.1，3c.0，3.b.1，1d.0，1解析.cosx1，1，2cosx2，2，y12cosx1，3，

12、ymin1，ymax3.22.下列函数中，周期为，且在，上为减函数的是(.)答案.a2242a.ysin2xb.ycos2xc.ysinxd.ycosx2222a.(，)b.(，2)c.(，)d.(0，)答案.a3.下列关系式中正确的是(.)a.sin11cos10sin168b.sin168sin11cos10c.sin11sin168cos10d.sin168cos10sin11答案.c解析.sin168sin(18012)sin12，cos10sin(9010)sin80.由正弦函数的单调性，得sin11sin12sin80，即sin11sin168cos10.4.函数y|sinx|的一

13、个单调递增区间是(.)322答案.c解析.作出函数y|sinx|的图象，如图，观察图象知c正确，故选c.5.函数y3cos2x4cosx1，x，的最小值是(.)3442331151a.b.c.0d.答案.d.解析.令tcosx，x，t，y3t24t13(t)2.y3(t)2在t，上单调递减，6.若函数f(x)sinx(0)在区间0，上单调递增，在区间，上单调递减，.21133222133211133221111)241当t2时，ymin3(224.332则的值可为(.)a.32b.23c.2d.3t442.解析.123，ysinx在0，上递增，且0312，8.函数y2sin(2x)(x)的值域

14、是_.解析.x，02x，0sin(2x)1，y0，2.9.函数ysinx(x0，)的单调递增区间为_.答案.a解析.由题意知，即t，433332二、填空题7.sin1，sin2，sin3按从小到大排列的顺序为_.答案.sin3sin1sin22sin(2)sin2，sin(3)sin3.22sin(3)sin1sin(2)，即sin3sin10且单调递减的区间.2k2k，kz，x函数ylogsin的单调增区间为k4，kz.(1)f(x)sin2x，x0，；解.(1)当x0，时，所以，f(x)在0，上的最大值和最小值分别为1，.11222sinx2sinx12sinx.13.已知函数f(x)asin2xb(a0).当x0，时，f(x)的最大值为3，最小值整理得4kxf(cos)c.f(sin)f(cos)b.f(sin)f(sin)d.f(sin)，0，sinsin，即1sincos0，15.已知定义在r上的奇函数f(x)在区间(0，)上单调递增，且f()0，abc的内角解.当0a0.由f(cosa)0f()，f(x)在(0，)上单调递增，得0co