2020年初中数学竞赛讲义：第11讲-双曲线

1、 第十一讲 双曲线形如( )的函数叫做反比例函数，它的图象是由两条曲线kxy =k 0组成的双曲线，与双曲线相关的知识有：1 双曲线解析式中的系数 决定图象的大致位置及 随kxy =ykx变化的状况2双曲线图象上的点是关于原点 o 成中心对称，在 0 时函数k的图象关于直线 轴对称；在 0yx大或减小)思路点拨 确定 的值，只需求出双曲线上一点的坐标即可k注：(1)解与反比函数相关问题时，充分考虑它的对称性(关于原点 o中心称，关于维的周密性轴对称)，这样既能从整上思考问题，又能提高思y = x(2)一个常用命题：第 1 页 共 12 页 如图，设点 a 是反比例函数 ( )的图象上一点，过

2、a 作ky =k 0xab 轴于 b，过 a 作 ac 轴于 c，则xys = 1 ；kaob2s= kobac矩形【例 2】 如图，正比例函数( )与反比例函数 1 的图象相交y = kxk 0y=x于 a、c 两点，过 a 作 ab 轴于 b，连结 bc，若 sabc 的面积x为 s，则(as=1)bs =2cs=ds=2kk思路点拨 运用双曲线的对称性，导出 s与 s的关系aobobc【例 3】 如图，已知一次函数和反比例函数 ( )的图ky = -x + 8y =k 0x象在第一象限内有两个不同的公共点 a、b(1)求实数 的取值范围；k(2)若aob 面积 s24，求 的值k思路点拨

3、 (1)两图象有两个不同的公共点，即联立方程组有两组不同实数解；(2)sss- s，建立 的方程kaob= cobcoa第 2 页 共 12 页 【例 4】 如图，直线1分别交 、 轴于点 a、c，p 是该直线y = x + 2xy2上在第一象限内的一点，pb 轴于 b，s =9xabp(1)求点 p 的坐标；(2)设点 r 与点 p 在同一个反比例函数的图象上，且点 r 在直线 pb的右侧，作 pt 轴于 f，当brt 与aoc 相似时，求点 r 的坐x标思路点拨 (1)从已知的面积等式出发，列方程求 p 点坐标；(2)以三角形相似为条件，结合线段长与坐标的关系求 r 坐标，但要注意分类讨论

4、【例 5】 如图，正方形 oabc 的面积为 9，点 o 为坐标原点，点 a在 轴上，点 c 在 轴上， 点 b 在函数( ， )的图象上，kxy=k 0x 0xy点 p( ， )是函数( ， )的图象上的任意一点，过点 p 分kxy=k 0x 0mn别作 轴、 轴的垂线，垂足分别为 e、f，并设矩形 oepf 和正方形xyoabc 不重合部分的面积为 s(1)求 b 点坐标和 的值；k(2)当 9 时，求点 p 的坐标；s =2(3)写出 s 关于 m 的函数关系式思路点拨 把矩形面积用坐标表示，a、b 坐标可求，s 矩形 oagf可用含 的代数式表示，解题的关键是双曲线关于对称，符合题ny

5、 = x设条件的 p 点不惟一，故思考须周密第 3 页 共 12 页 注：求两个函数图象的交点坐标，一般通过解这两个函数解析式组成的方程组得到，求符合某种条件的点的坐标，需根据问题中的数量关系和几何元素间的关系建立关于纵横坐标的方程(组)，解方程(组)便可求得有关点的坐标，对于几何问题，还应注意图形的分类讨论学历训练1 若一次函数称轴位于 y 轴的的图象如图所示，则抛物线的对2y = x + kx + by = kx + b侧；反比例函数的图象在第象限，在每一个象限kbxy =内，y 随 x 的增大而 2反比例函数 的图象经过点 a(m，n)，其中m，n 是一元二次方ky =x程的两个根，则

6、a 点坐标为2x + kx + 4 = 0第 4 页 共 12 页 43如图：函数y = -kx（ 0）与的图象交于 a、b两点，过点ky = -xa作 ac 轴，垂足为点 c，则boc的面积为y4已知，点 p(n，2n)是第一象限的点，下面四个命题：(1)点 p 关于 y 轴对称的点 p 的坐标是(n，-2n)； (2)点 p到原点 o1的距离是 n；(3)直线 y=-nx+2n 不经过第三象限； (4)对于函数5ny= ，当 x0时,y随 x的增大而减小；其中真命题是.(填x上所有真命题的序号)5已知反比例函数 y=1- m 的图像上两点 a(x ，y )、b（x ，y ），当1122xx

7、 0x 时，有 y y ,则 m 的取值范围是()12121212amobm0c. md.m6已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的kxy =y= 2kx2 - x + k 2图象大致为()第 5 页 共 12 页 k7已知反比例函数当时，y 随 x 的增大面增大，那y = (k 0), x 0x么一次函数的图象经过()y = kx - ka第一、二、三象限c第一、三、四象限b第一、二、四象限d第二、三、四象限8如图，a、b 是函数 1 的图象上的点，且 a、b 关于原点 o 对y =x称，ac 轴于 c，bd 轴于 d，如果四边形 acbd 的面积为 s，xx那么()a s1b1s2ds

8、29如图，已知一次函数 y=kx+b(ko)的图像与 x 轴、y 轴分别交于ma、b 两点，且与反比例函数 y= (m0)的图像在第一象限交于 c 点，xcd 垂直于 x 轴，垂足为 d若 oa=ob=od=l（1）求点 a、b、d 的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的解析式第 6 页 共 12 页 10已知 a(x 、y )，b(x ，y )是直线与双曲线( )的k 0kxy = -x + 2y =1122两个不同交点(1)求 的取值范围；k(2)是否存在这样 的值，使得?若存在，求出这样x2 + x1(x - 2)(x - 2) =k12x1 x2的 值；若不存在，请说明理由kk11已知

9、反比例函数和一次函数 y2x-1，其中一次函数图像y =2x经过(a，b)，(a+1，b+k)两点(1)求反比例函数的解析式；(2)如图，已知点 a 在第一象限，且同时在上述两个函数的图像上，求 a 点坐标；(3)利用(2)的结果，请问：在x 轴上是否存在点 p，使aop 为等腰三角形？若存在，把符合条件的 p 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.第 7 页 共 12 页 12反比例函数的图象上有一点 p(m，n)，其中 m、n 是关于 t的两根，且 p 到原点 o 的距离为 ，则该kxy =的一元二次方程2t -3t + k = 013反比例函数的解析式为13如图，正比例函数的图象与反比例

10、函数( )的图象交k 0kxy = 3xy =于点 a，若 取 1，2，320，对应的 rtaob 的面积分别为 s ，s ，k12s ，则 s +s +s =20122014老师给出一个函数 y=f(x)，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图像不经过第三象限；乙：函数图像经过第一象限；丙：当 x2 时，y 随 x 的增大而减小；丁：当 x2 时，y0已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数：15已知反比例函数 12 的图象和一次函数的图象都经过点y = kx - 7yxp(m，2)(1)求这个一次函数的解析式；(2)如果等腰梯形 abcd 的顶点 a

11、、b 在这个一次函数的图象上，顶点 c、d 在这个反比例函数的图象上，两底ad、bc 与 轴平y行，且 a、b 的横坐标分别为 和 ，求 的值aa + 2a第 8 页 共 12 页 16如图，直线经过 a(1，0)，b(0，1)两点，点 p 是双曲线1 ( )2xy =x 0上任意一点，pm 轴，pn 轴，垂足分别为 m，npm 与直线xyab 交于点 e，pn 的延长线与直线 ab 交于点 f(1)求证：afbe1；(2)若平行于 ab 的直线与双曲线只有一个公共点，求公共点的坐标第 9 页 共 12 页 17已知矩形 abcd 的面积为 36，以此矩形的对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系，设点 a 的坐标为(x，y)，其中 x0，y0(1)求出 y 与 x 之间的函数关系式，求出自变量 x 的取值范围；(2)用 x、y 表示矩形 abcd 的外接圆的面积 s，并用下列方法，解答后面的问题：方法：(k 为常数且 k0，a0)，且kk22k= (a - )aa2+2+ 2k( - )2 0aaak2a2+ 2ka2kk2当=0，即a时，取得最小值 2ka -= ka +2aa2问题：当点 a 在何位置时，矩形 abcd 的外接