人教版二项式定理——典型例题解析

1、人教版二项式定理概念篇【例1】展开(2x-_2_)5.2x2分析一：直接用二项式定理展开式解法一：(2x- 2)5=C5(2x) 5+C；(2x)4( - A )+C5(2x)3( -)2+C3 (2x)2(-厶)3+2x22x22x22x2C4(2x)( ”G(和5=32x5- 120x2+180135 丄 405TOx724332x10 .132x10=32x5- 120x2+180135+405x4 8x724310 .32x分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开解法二：(2x-刖晋C0 (4 x3) 5+C5 (4 x3) 4( 3)+C5 (4 x3) 3( 3) 2+C3

2、 (4 x3) 2( 3) 3+C5 (4x)( 3)4+C5( -3)5151296332x10(1024x 3840x +5760x 4320x+1620x 243).对较复杂的二说明：记准、记熟二项式(a+b)n的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件 项式，有时先化简再展开会更简便.【例2】求二项式(a-2b)4的展开式.a分析：直接利用二项式定理展开解：根据二项式定理得(a 2b)4=C0a4+C；a3( 2b)+C：a2( 2b)2+C4a( 2b)3+C：( 2b)4 =a4 8a3b+24a2b2 32ab3+16b4.说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把2b

3、中的符号“”忽略.【例3】在(x .、3)10的展开式中，x6的系数是_.解法一：根据二项式定理可知 x6的系数是C4。.解法二：(x ,3)10的展开式的通项是Tr+1=C0X10( 3)r.令10 r=6,即r=4，由通项公式可知含x6项为第5项，即T4+1=C：0x6( . 3)4=9C：0x6. x6的系数为9C4。.上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？问题要求的是求含x6这一项系数，而不是求含x6的二项式系数，所以应是解法二正确.如果问题改 为求含x6的二项式系数，解法一就正确了，也即是C0.说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异二项式系数与项的系数是两个

4、不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后 者与二项式、二项式的指数及项数均有关【例4】已知二项式(3 x )10，3x(1) 求其展开式第四项的二项式系数；(2) 求其展开式第四项的系数；(3) 求其第四项. 分析：直接用二项式定理展开式解：(3 .x 2)10的展开式的通项是 Tr+i=C；0(3、x)10_r( _!)r(r=0, 1,，10). 3x3x(1) 展开式的第4项的二项式系数为C3o=12O.展开式的第4项的系数为C3o37( |)3= 77760.7 1 _展开式的第4项为77760( . x ) 3，即77760、x .z.说明：注意把(3 .x -)

5、10写成3.、x+( -) 10,从而凑成二项式定理的形式3x3x【例5】求二项式(x2+ 1 )10的展开式中的常数项.2jx分析：展开式中第r+1项为C；0(x2)10r( 1 )r，要使得它是常数项，必须使“ x”的指数为零，依2jx据是x0=1，x工0.解：设第r+1项为常数项，则TV2* (x)r=C：0x52r( !)r(r=0，1，10)，令 20 5 r=0,得 r=8.2 2- T9=C0(1)8Q.2256第9项为常数项，其值为上5.256说明：二项式的展开式的某一项为常数项，就是这项不含“变元”，一般采用令通项Tr+1中的变元的 指数为零的方法求得常数项【例6】(1)求(

6、1+2x)7展开式中系数最大项；(2) 求(1 2x)7展开式中系数最大项.分析：禾I用展开式的通项公式，可得系数的表达式，列出相邻两项系数之间关系的不等式，进而求 出其最大值C？r c1 ?r 1 解: (1)设第r+1项系数最大，则有C7 C711,C72r c7 12r 1,7!2r7!2r 1即 r !(7r)!(r1)!(7r1)!7!2r7!2r 1r !(7r)!(r1)!(7r1)!2 1,r化简得r 8 r解得1 2 r7 r r 1163 又t 0 r 1,所以系数最大项为第五项，即 T5=560x4.c7( 2)6 4C；说明：本例中(1)的解法是求系数最大项的一般解法，

7、(2)的解法是通过对展开式多项分析，使解题 过程得到简化，比较简洁【例7】(1+2 x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数 最大的项.分析：根据已知条件可求出n,再根据n的奇偶性确定二项式系数最大的项.解：T6=G(2x)5, T7=cn(2x)6,依题意有C5 25=C6 26，解得n=8. (1+2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为 T5=c4 (2 x) 4=1120x4.2 c 12 1设第r+1项系数最大，则有c72r c7 12r 1.5 r 6. r =5 或 r =6.系数最大的项为 T6=1792x5，T7=1792x6.说明：(1)

8、求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大; n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况， 一般采用列不等式，再解不等式的方法求得.应用篇【例 8】若 n N*，(、.2+1)n=.、2an+bn(an、bn Z)，则 bn 的值()A.定是奇数B. 一定是偶数C.与bn的奇偶性相反D.与a有相同的奇偶性分析一：形如二项式定理可以展开后考查.解法一：由(- 2 +1)=2 an+bn，知、2 an+bn = (1+2 ) =cn+cn、.2+C：( 2)2+C3( .2)3+

9、+cn( .2)n. bn=1+C2 (、2)2+C4( 2)4+ bn为奇数.答案：A分析二：选择题的答案是唯一的，因此可以用特殊值法.解法二：n N，取n=1时，(显+“1、2+1)，有b1=1为奇数.取 n=2 时，(、2+1)2=2.2+5，有 b2=5 为奇数.答案：A【例9】若将(x+y+z)10展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为()B.33分析：(x+y+z)10看作二项式(x y) z10展开.解：我们把x+y+z看成(x+y)+z，按二项式将其展开，共有11 “项”，即(x+y+z) 10=1010k z、10 k k(x y) z =C10 (x+y)z .k 0这时

10、，由于“和”中各项z的指数各不相同，因此再将各个二项式(x+y)10k展开，不同的乘积ck(x+y)10 kzk(k=0, 1,，10)展开后，都不会出现同类项.下面，再分别考虑每一个乘积 Cx+y)10- kzk(k=0, 1,，10).其中每一个乘积展开后的项数由(x+y)10-k决定，而且各项中x和y的指数都不相同，也不会出现同类项故原式展开后的总项数为11+10+9+1=66. 答案：D说明：化三项式为二项式是解决三项式问题的常用方法 【例10】求(丨x丨+丄2)3展开式中的常数项.|x|分析：把原式变形为二项式定理标准形状.解:( Ix 占-Wi)6,展开式的通项是Tr+1=C6(

11、.|x|)6 r( 1 )r=( 1)rC6( .|x|)62r.VI x |若Tr+1为常数项，则6 2r=0, r=3.展开式的第4项为常数项，即T4= C3= 20.说明：对某些不是二项式，但又可化为二项式的题目，可先化为二项式，再求解 【例11】求(.x 3 x )9展开式中的有理项.分析：展开式中的有理项，就是通项公式中x的指数为整数的项.1127 r解： Tr+1=C9 (x2)9r( x3)r=( 1) rC9x 丁.令 Z,即 4+口 Z,且 r=0，1，2,，9.6 6 r=3 或 r=9.当 r=3 时，込丄=4，T4=( 1)3C3x4= 84x4.6当 r=9时，=3,

12、 T10=( 1)9c9x3= x3.6 ( x 3x)9的展开式中的有理项是第4项一84X4，第10项一x3.说明：利用二项展开式的通项 Tr+1可求展开式中某些特定项.【例 12】若(3x 1) 7=a?x7+a6x6+ +a1X+ao，求(1) a1+a2 +a7 ；(2) a1+as+a5+a7；(3) a+a2+a4+a6.分析：所求结果与各项系数有关可以考虑用“特殊值”法，整体解决它用于恒等式.g(x)各项的系数和为g(1) g( 1) 1 .解：令 x=0,贝U a= 1，令 x=1，贝U a7+a6+ +a1+a=27=128.a1+a2+a7=129.令x= 1, 贝U a?

13、+a6+a5+a4+a3+a2+a1 +ao=( 4)7.由 得：a1+aa+a5+a7=! 128 ( 4)7 =8256.2 2(3)由 得 a+a2+a4+a6= 128+( 4)7 = 8128.2 2说明：(1)本解法根据问题恒等式特点来用“特殊值”法，这是一种重要的方法,(2) 一般地，对于多项式 g(x)=( px+q) n=a+a1X+a2X2+a3X3+a4X4+a5X5+a6X6+a7X7, g(1) , g(x)的奇数项的系数和为1 g(1)+ g( 1) , g(x)的偶数项的系数和为12 2 【例13】证明下列各式(1)1+2C；+4Cn+ +2n1Cn1 +2nCn

14、 =3n ；(C n)2+(C1)2+ +(C n)2=C2n ；(3) C n +2C2 +3Cn + + ncn= n2n1.分析：(1)(2)与二项式定理的形式有相同之处可以用二项式定理，形如数列求和，因此可以研究它 的通项寻求规律.证明：(1)在二项展开式(a+b)n=C an+cn an_ 1b+C2 a2b2+ +C： 1abn-1+cn bn 中，令 a=1, b=2,得(1+2) n=1+2c1+4c2+ +2n1cn 1 +2ncn，即 1+2C；+4c2+ +2n1cn 1 +2ncn =3n.(2) (1+ x)n(1 + x)n=(1+x)2n, (1+C；x+cnx2

15、+ +C；xr+ - +xn)(1+C nX+C2x2+ +cnxr+ - +xn)=(1+ x)2n.而芻是(1+x)2n的展开式中xn的系数，由多项式的恒等定理，得On.1n11n1 nO nCnCn+CnCn + +5 5 +C. Cn-C?. V cm=cn m，00时，把三项式（x+1 2）n转化为（.、x 1 ）2n；当xv 0时，同理（x+丄xVxx2）n=（ 1）n（ ,x 1 ）2n.然后写出通项，令含x的幕指数为零，进而解出n. Jx解：当 x0 时，（X+1 2）n=（ ,x 1x)2n .x)，其通项为 Tr+1=c2n( -x)2n r( 1 )r = ( 1)Cn(

16、 -x)2n 2r寸X令 2n 2r=0，得n=r ,展开式的常数项为(1)C2n ;当x v 0时，（X+1 2） n=（ - 1）n（ x 1 ）同理可得，展开式的常数项为（一1）rC2n.xvx无论哪一种情况，常数项均为（一1）rC2n.令（一 1）rC2n=20.以 n=1, 2, 3,，逐个代入，得 n=3.说明：本题易忽略xv0的情况.【例19】利用二项式定理证明（-）n 1v3分析： 2不易从二项展开式中得到，可以考虑其倒数 丄Jn 12证明：欲证（2）n-1 v二3n1成立，只需证（|）n1v写成立.而d)n- gy 皿丄+酥护+cn1(2)n-1n1 2+cn1(2)n-12

17、 2=1 +字+cn 1（1）2+ 2 2 口.2说明：本题目的证明过程中将（）n 1转化为（1+】）n二然后利用二项式定理展开式是解决本问题的 2 2关键.【例 20】求证:2 2. n nnnn所以(1+ 1) n 2+ + + + V 2+丄 +丄 + +1n2!3!n! 1 22 3(n 1) n111 1 1=2+(1 - -1)+( 1 - 1)+ +(-丄)223n 1 n=3- 1 V 3.n综上有 2(1+l)nV3.n说明：在此不等式的证明中，利用二项式定理将二项式展开，再采用放缩法和其他有关知识，将不 等式证明到底.【例21】求证：对于n N*, (1 + l)nv (1

18、+丄)n+1.nn 1分析：结构都是二项式的形式，因此研究二项展开式的通项是常用方法证明：(1+1)n展开式的通项二丄二厶 nn r !n=1 n(n 1)(n 2) (n r 1)r !nr112r 1= 1(1 -丄)(1 -)(1 -r ! nnn(1+丄)n+1展开式的通项n 1T1_= An 1(n 1)r r!(n 1)=1 n(n 1)(n 2) (n r 1)r !nr詁(1 -丄)d -2)(1 - J).r ! n 1n 1n 1由二项式展开式的通项可明显地看出Tr+12bn. 分析：题中虽未出现二项式定理的形式，但可以根据a、b、c成等差数列创造条件使用二项式定理证明：设

19、公差为d，则a=b- d，c=b+d.an+cn-2bn=(b-d)n+(b+d)n- 2bn=bn- cn bn- 1d+C; bn-2d2+ +( 1)ndn + bn+Cn bn-1d+c2 bn-2d2+ +dn=2(C2bn-2d2+C4 bn-4d4) 0.说明：由a、b、c成等差，公差为d,可得a=b-d，c=b+d，这就给利用二项式定理证明此问题创 造了可能性.问题即变为(b-d)n+(b+d)n2bn，然后用作差法改证(b-d) n+(b+d)n-2bn0.【例23】求(1+2x-3x2)6的展开式中x5项的系数.分析：先将1+2x - 3x2分解因式，把三项式化为两个二项式

20、的积，即(1+2x-3x2)6=(1+3x)6(1 x)6.然后分别写出两个二项式展开式的通项，研究乘积项x5的系数，问题可得到解决.解：原式=(1+3x)6(1 - x)6，其中(1+3x)6展开式之通项为 Tk+1=ck3kxk, (1 - x)6展开式之通项为Tr+1=C6 ( x).原式=(1+3x)6(1 -x)6展开式的通项为 CkC6( - 1)r3kxk+r.现要使 k+r=5,又t k 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, r 0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6,必须k 0,或k 1,或k 2,或k 3,或k 4,或k 5,r 5 r 4 r 3 r 2 r 1 r 0.故 X5项系数为 c03c6（- 1）5+C631C6（-1）4+C632C6（-i）3+c633c2（-i）4+c4 34c6（ -i）+c；35c6（- 1）0=168.说明：根据不同的结构特征灵活运用二项式定理是本题的关键.【例24】（2004年全国必修+选修1）（ . X - -I）6展开式中的常数项为（）xB. - 15D. - 203 3解析：Tr+1=（ - Dgx）6- x-r=（ - 1）rc6x 才，当 r=2 时，3沖,TT - 1）如5答案：A【例25】（2004年江苏）（2 x+. x ）4的展开式中X3的系数是（）B.122解析：