《大学数学》习题及答案

1、大学数学习题第一章 微积分的基础和研究对象1 微积分的基础集合、实数和极限一论述第二次数学危机产生的背景和解决方法。 二叙述极限，实数和集合在微积分中的作用。二叙述实数系的演变和性质，写出邻域的概念。2 微积分的研究对象函数一填空题1函数的定义域 .2设函数f (x) = 则函数ff(x)= .3函数y =的反函数为 .4设是奇函数,且(x)=.() , 则(x) 是_函数.5函数f (x) = sinxsin3x的周期t= .二求下列函数定义域1y = 4 + .2y = + .三设 , 求.四设函数f (x) = , g (x) = ln x ， 求f g(x) , g f(x) .五已知

2、f (sin) = cos x + 1 , 求f (cos).六证明题：设f(x)为定义在(-l,l)内的奇函数，若f(x)在(0,l)内单调增加，证明f(x)在(-l,0)内也单调增加.第二章 微积分的直接基础极限1 数列的极限一、 判断题1数列中去掉或增加有限项，不影响数列的极限；（ ）2数列极限存在，则与极限均存在；（ ）3若，存在无限多个满足，则有.（ ）二填空题1数列有界是数列收敛的 条件；2 ；3 ；4 .三用极限定义证明1.2.3.四证明：若，则有，并举例说明其逆命题不成立.五证明数列极限不存在.2 函数的极限一填空题1设函数，则 ， .2 .3设，则 ， ，当 时，.二判断题1

3、. 若，则有不存在；（ ）2. ；（ ）3. 若，且，则；（ ）4. ；（ ）5. 若存在， 且则.（ ）6； （ ）7；（ ）8当时，与是等价无穷小量，则； （ ）9无穷小量的代数和还是无穷小量 ；（ ）10当时，无穷小量是关于的4阶无穷小量； （ ）11因为时，所以有.（ ）三利用定义证明下列函数的极限1； 2。四利用极限四则运算求下列极限1 . 2 . 3.4 . 5.五1讨论时，的极限.2讨论函数在处的极限.3讨论极限是否存在.六计算题1.2.3.4.5.6.7.七已知时，求a与n .八已知是多项式，并且，又，求.九已知，试确定的值.3 连续函数一填空题1若是(,)上的连续函数,则a=

4、_.2若有无穷间断点x=0及可去间断点x=1,则a=_.二判断题1若在均不连续，则在也不连续 ；（ ）2若在均不连续，则在也不连续；（ ）3区间上的连续函数必有界 ；（ ）4若在点连续，则；（ ）5在内单调，则在内之多有一个零点.（ ）三求下列极限1 ； 2；3 ； 4.四设讨论在处的连续性.五证明方程在区间内有一实根.六设在上连续，且，证明：必存在使得.七在连续，且存在，证明函数在有界.第二章 复习题 一填空题 1的定义域是_. 2设f(x)的定义域是1,2,则的定义域是_. 3若当xx0时,(x)与r(x)是等价无穷小,(x)是比(x)高阶的无穷小, 则当xx0时,函数的极限是_. 4要使

5、函数是无穷大, 则要求x趋向于值_. 5若在x=0处连续, 则要a=_.二单选题 1f(x)=x()在其定义域(,)是 (a)有界函数; (b)单调增函数; (c)偶函数; (d)奇函数. 2设. 则此函数是 (a)有界函数; (b)奇函数; (c)偶函数; (d)周期函数. 3函数时的极限值是 (a) (b) (c)0, (d)不存在. 4设 则x=0是f(x)的 (a)可去间断点; (b)跳跃间断点; (c)无穷间断点; (d)振荡间断点. 5设 则x=1是f(x)的 (a)连续点; (b)跳跃间断点; (c)无穷间断点; (d)振荡间断点.三求下列极限1； 2；3； 4；5.五证明：方程

6、x2x=1至少有一个小于1的正根.六设f(x)在a,b上连续，acdb. 证明：对于任意正数p和q，至少有一点 满足：.第三章 变量变化速度与局部改变量估值问题导数与微分1 函数的局部变化率导数一判断题1； （ ）2曲线在处有切线，则一定存在； （ ）3若，则； （ ） 4函数在处的左右导数都存在是在点可导的充分必要条件;（ ）5下面的计算对吗？设，因为当时，而在处无意义，故在不可导. （ ） 二填空题1设在处可导，则 ， ， ；2若存在且，则 ；3. 若为偶函数且存在，则 ；4. 已知，则= ；5. 将一物体铅直上抛，经秒后上升的高度为, 则该物体在秒时的瞬时速度为 ；6. 曲线与横轴交点处

7、的切线方程是 与 ； 7. 设为可导函数，且满足条件，则曲线在处的切线斜率为 ；8. 设，是过点（1，1）的曲线（n是正整数）的切线在x轴上的截距，则 .三用定义求函数（且）的导函数与它在处的导数.四设在处连续，试讨论下列函数在处的可导性，并在可导时求出：1； 2. ； 3. .五讨论函数在处的连续性和可导性.六已知，且，求.七设函数, 在处连续且可导，求的值.八求曲线在点处的切线方程和法线方程.九求垂直于直线且与曲线相切的直线方程.十证明函数在点处连续，但不可导.十一 . 谈谈你对导数概念的理解.2 求导数的方法法则与公式一、 单项选择题 1. 在函数和的定义域内的一点处，下述说法正确的是（

8、 ）a. 若，均不可导，则也不可导；b. 若可导，不可导，则必不可导；c. 若，均不可导，则必有+不可导；d. 若可导，不可导，则+必不可导.2. 直线与轴平行且与曲线相切，则切点为（ ）a. ; b. ; c. ; d. .3. 设在处不连续，则在处 ( ) 必不可导; 一定可导; 可能可导; 无极限.4. 设，在处连续但是不可导，存在，则是在处可导的（ ）条件a. 充要； b. 必要非充分； c. 充分非必要； d. 非充分非必要.5. 若在点处可导，则在点处（ ）a. 可导; b. 不可导; c. 连续未必可导; d. 不连续.6. 函数的导函数（ ）.7. 函数，则（ ）. 8. 已知

9、，则函数在点的切线的斜率是（ ）. 9. 已知，则（ ）. 10. 设在内为奇函数且在内有，则在内是（ ）.（a）且； （b） 且；（c）且； （d） 且.11. 已知，则（ ）.（a）； （b）； （c）； （d）.二填空题1. 已知，则 ；2. 若，则 ；3. 若，则 ；4. 若，则 ；5. 若，则 ；6. 若，则 ；7. 设函数由确定，则 ；8. ，则 ；9. ，则 .三求下列函数的导数：1.； 2. ；3. ； 4. （且）；5. ； 6. ；7. ； 8. ；9. ； 10. ；11. ； 12. ；13. ； 14. ；15. （）； 16. ；17. ，求； 18. ，求；19.

10、 ，求； 20. ，求。四已知, 求其导函数.五设为可导函数，求下列函数的导数：1；2；六利用对数求导法求下列函数的导数：1； 2.七 设且可导，求.八 设为可导函数，且，求和.九设连续，且，求.十设和可导，且，求函数的导数.十一设由方程所确定，试求，.十二设由方程所确定，二阶可导且，试求.十三已知函数，在点处有二阶导数，试确定参数的值.十四设函数满足条件：对任何，有（为已知常数），证明存在，并求其值.十五证明：曲线上任一点处的切线与轴和轴构成的三角形面积为常数.3 局部该变量的估值问题微分及其计算一填空题1设在处，则 ， ；2设在处可微，则 ；3将适当的函数填入下列括号内，使等式成立：（ ）

11、； （ ）；（ ）； （ ）；（ ）； （ ）；（ ）； （ ）；（ ）.二单项选择题1. 设是可微函数，是的可微函数，则（ ）.（a） （b） （c） （d）2. 若可微，当时，在点处的是关于的（ ）.（a）高阶无穷 （b）等价无穷小 （c）同阶无穷小 （d）低阶无穷小 3. 当充分小，时，函数的改变量与微分的关系是（ ）.（a） （b） （c） (d)4. 可微，则（ ）.(a) 与无关； (b)为的线性函数； (c) 当时是的高阶无穷小； (d)当时是的等价无穷小.5. 则（ ）.6. 设为初等函数，为其定义区间内任意一点，则下列命题正确的是( ).(a) 在点处必定可导； (b) 在点

12、处必定可微；(c) 在点处必定连续； (d) 不能确定.7. 当很小时,下列各式不正确的是( ). 8. 一正方体的棱长,如果棱长增加,则此正方体体积增加的近似值为( ). 三求下列函数的微分1 ; 2. ;3. ; 4. .四计算和的近似值.第三章 复习题一填空题1设在处导数为，则 ； 2若在处可导且，则 ； 3设，则 ；4函数在处的导数为 ；5在抛物线上，与抛物线上横坐标和两点连线平行的切线方程为 ； 6若为可导的奇函数且，则；7设，则= ；8 在可导是在可微的 条件；9设，则 ；10若曲线和在点处相切，则 ， . 二单项选择题1设，则（ ）a2； b； c； d.2已知函数具有任意阶导数

13、，且，则当为大于2的正整数时，是（ ）a； b； c； d.3设，则使存在的最高阶导数的n为（ ）a0； b1； c 2; d3.三计算下列各题：1设，求；2设，求；3设，求；4，求；5，求；6设，其中具有二阶导数，求；7设，且二阶可导，求；8已知，求；9求；10已知，求函数的微分.五已知存在，求.六用定义求，其中并讨论导函数的连续性.七设，试确定的值，使在及都可导.十一，求.十二已知为奇函数，且存在，问是的何种类型的间断点？为什么？第四章 导数的应用问题洛比达法则，函数的性质和图像1 联系局部与整体的纽带中值定理一. 填空题1函数在区间上满足lagrange中值定理中的 。2若函数，则方程有

14、分别位于区间 内的三个实根。3若，则在区间上不满足rolle定理的一个条件是 。4 rolle定理与lagrange定理的关系是 。二、 选择题1.rolle定理中的三个条件：在上连续，在内可导，且，是在内至少存在一点，使成立的 条件。a. 必要 b. 充分 c. 充要 d. 既非充分也非必要2.下列条件不能使函数在区间上应用lagrange定理的是 。a. 在上连续，在内可导; b. 在上可导;c. 在上可导，且在点右连续，在点左连续;d. 在内有连续的导数. 三、 证明下列不等式1.，其中.2. 当时，.3. 已知，且，求证.4. 证明方程只有一个正根.2 求不定式极限的一般方法洛必达法则

15、一利用洛比达法则求极限1. ; 2. ;3. ; 4. .二求解下列各题1.设具有一阶连续导数，求. 2 .设在处具有二阶导数，求证.3 用导数研究函数的性质单调性，极值和最大最小值一填空题 1.已知曲线方程为，则曲线在区间 上单调增，在区间 上单调减。 2.若在上连续，在内可导，且时，又，则在上 ，但的正负号 。3.若，则 ， 。4.若，则在 处取得极 值，其值为 。5.的极大值点是 ，极大值为 。6.方程有 个实根。二求下列函数的单调区间1.; 2.; 3.，其中.三求下列函数的极值1.; 2. .四证明下列不等式1. 当时，有; 2. 当时，有;3. 当时，有.五设满足，求的极值。六设在

16、和处取得极值，试确定的值，并证明是极大值，是极小值。七求下列函数的最大值与最小值 1.; 2.。八试作一个上端开口的圆柱形容器，它的净容积是，壁厚为（都为常数），问容器内壁的半径为多少，才能使所用的材料最少？ 第四章 复习题一填空题 1. 已知函数有连续的二阶导数，且在点处有拐点，则 。 2. 的极大值点是 ，极大值为 。 二求下列极限 1. ; 2.三讨论函数的单调性。四证明。第五章 微积分的逆运算问题-不定积分5.1 原函数与不定积分一填空题1.若均为的原函数，则 .2. 是连续函数，则 ， .3. . 4. .5. . 6. .二计算下列各题.1. 2. 3. 4. 5. 6. 三若曲线

17、上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，且该曲线过点，求该曲线方程.5.2 矛盾转化法-换元积分法与分部积分法一、填空题1. . 2. （）.3. . 4. .5. . 6. .7. . 8. .二、求下列不定积分:1. 2. .3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 三、已知的一个原函数是，求.第五章 复习题一、填空题1.若的一个原函数为，则 。2.若，则。 3.若，则。4.。5. 。6.若，则。7. 。二、单项选择题1.下列等式成立的是（）a bc d2.若，则（ ）. a. b. c. d. 3.以下计算正确的是（ ）a b c

18、 d 三、计算题1.2. 3. 4.5.第六章 求总量的问题-定积分及其应用6.1 特殊和式的极限-定积分的概念 一、根据定积分的定义或几何意义计算下列积分：1.；2. 3. ；二、利用定积分的性质估计下列积分值的大小：1.； 2. .三、不计算积分，比较下列各组积分的大小1 ； 2 .6.2 计算定积分的一般方法微积分基本定理一、设连续，求下列函数的导数：1）； 2）；3）。 二、填空题1) = .2) 已知在上连续，且，且设，则 .3) 设，则 .三、根据牛顿莱布尼兹公式计算下列积分1）； 2）； 3） ； 4）；5）。 四、设，求的值，使.五、用换元法求下列积分1); 2);3); 4)

19、.六、用分部积分法计算下列定积分1) ; 2) ;3); 4） 5) . 6) 6.3 定积分的拓展-非正常积分一、 讨论下列反常积分的敛散性：1. 2. 6.4 定积分魅力的展示-在若干学科中的应用一、 求下列所给图形的面积1） 由曲线，轴以及直线所围成的图形；2） 由曲线与轴所围成的图形;3) 由曲线与直线所围成的图形；4）由曲线与直线所围成的图形;5)与直线所围成的图形； 6)曲线和及两直线所围成的图形； 7）与所围成的图形.二、已知与所围成面积为8，求值（设.三、 求下列立体的体积1) 绕轴旋转所得旋转体；2) 曲线与直线围成一个平面图形，此平面图形绕轴旋转产生的旋转体。第六章 复习题

20、一、填空题1) ； (连续).2) .3) 设连续，且，则 .4）设连续，且，则 .二、选择题1.定积分定义说明（ ）.（a）必须等分，是端点; （b）可任意分法，是端点;（c）可任意分法，可在内任取;（d）必须等分，可在内任取.2. 积分中值定理其中（ ）.（a）是内任一点 （b）是内必定存在的某一点（c）是内惟一的某点 （d）是内中点3.在上连续是存在的（ ）.（a）必要条件 （b）充分条件 （c）充要条件 （d）既不充分也不必要4.函数在区间上的最小值为（ ）.（a） （b） （c） （d） 05.设曲线与所围成图形的面积为s.则下列各式中，错误的是（ ）（a） （b）（c） （d）三、

21、解答题1.设，计算.2.3.求由曲线及直线所围图形的面积4.过坐标原点作曲线的切线，求该切线与曲线及轴所围成图形的面积.5.求由曲线与直线所围平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。 第七章 偶然中蕴含必然的问题-概率统计初步1 研究偶然现象的基本元素随机事件1. 设1,2,10，a2,3,4，b=3，4，5，c5，6，7，具体写出下列各等式。（1）b （2） （3） （4） （5）2设a、b、c表示三个随机事件，试将下列事件用a、b、c表示出来。（1）a发生，b、c不发生；（2）a、b都发生，而c不发生；（3）所有三个事件都发生；（4）三个事件都不发生；（5）三个事件中恰有一个发生；（6）三个

22、事件中至少有一个发生；（7）三个事件中至少有两个发生；（8）不多于一个事件发生。3抽查4件产品，设a表示“至少有一件次品”，b表示“次品不少于两件”，问：各表示什么事件？4把事件写成互不相容事件和的形式。5.设，。具体写出下列各事件：（1）； （2）； （3） （4）2 偶然中的必然概率1甲乙两炮同时向一架飞机射击，已知甲炮击中的概率为0.6，乙炮击中的概率为0.5，甲乙两炮都击中的概率为0.3，求飞机被击中的概率是什么？2有三个班级，每班在一个星期的六天中安排到某游泳池游泳一次，如果游泳日可以随机安排，求三个班在不同三天游泳的概率。310个零件中有3个次品，7个合格品，从中任取一个不放回，求

23、第三次才取得合格品的概率是多少？4将一枚骰子重复掷n次，试求掷出的最大点数为5的概率。 5从5双不同的鞋中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只能配成一双的概率。6把长为的棒任意折成3段,求此三段能构成一个三角形的概率。7. 在矩形中任取一点,求使方程的解大于的概率.8设事件a与b同时发生时，事件c必发生，则正确的结论是_（1） （2）（3） （4）9设，。在下列三种情况下求的值：（1）； （2）； （3）10设a、b为两个事件且p(a)=0.6，p(b)=0.7.问：（1）在什么条件下p(ab)取最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下p(ab)取最小值，最小值是多少？11设a、b为两个事件，p(b)=0.5，p(a-b)=0.3.求p().12a、b为两个事件且p(a)=1/2，p(b)=1/2，证明).13.已知求.14.设a，b是两个事件，求.15.已知, ,求事件 全不发生的概率。16. 掷3颗骰子，若已知出现的点数没有两个相同，求至少有一颗骰子是一点的