求值域的几种常用方法

1、7A 版优质实用文档求值域的几种常用方法1) 配方法：对于(可化为)“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数y sin2 x 2cosx 4，可变为 ysin2 x 2cosx 4 (cosx 1)2 2解决2) 基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数 y log1( x2 2x 3)就是利用函数 y log1 u和u x2 2x 3的值22域来求。2x 13) 判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。 如求函数 y x2 2x2x7A 版优质实用文档 2的值域2x 1 1 由 y x2 2x 2 得 yx2 2(y 1)x 2y 1 0 ，若 y 0

2、，则得 x 2 ，所以 y 0 是函数值域中的一个值；若 y 0 ，则由 2(y 1) 2 4y(2y 1) 0得 3 13 3 13 3 13 3 13y且y 0 ，故所求值域是 , 2cosx 3y cosx 1 的2 2 2 2 (4)分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数5( , 52 ，故值域，因为2cosx 3 5 5 y 2 ，而 cosx 1 (0,2 ，所以cosx 1cosx 1 cosx 1y ( , 123x ( 5)利用基本不等式求值域：如求函数 y23x 的值域当 x 0 时， y 0 ；当 x 0 时，44若 x 0 ，则 x ( xxxx4 y 3

3、，若 x 0，则 x 4 2 x 4 4 x 4 x x x 43 3) 2 ( x) x( 4 ) 4 ，从而得所求值域是 3,3 x4 4( 6)利用函数的单调性求求值域：如求函数 y 2x4 x2 2(x 1,2) 的值域3 2 4 2 1因 y 8x3 2x 2x(4x2 1) ，故函数 y 2x4 x2 2(x 1,2) 在( 1, 2) 上递1 1 1减、在 ( 2,0) 上递增、在 (0, 2 )上递减、在 ( 2 ,2)上递增，从而可得所求值域为 15185,30 (7)图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的 值域(求某些分段函数的值域常用此法) 。7

4、A 版优质实用文档热点考点题型探析考点一：判断两函数是否为同一个函数例 1试判断以下各组函数是否表示同一函数？1) f (x)x7A 版优质实用文档 ， g(x)33x；1 x 0,2) f (x)， g(x)x1 x 0;3) f(x) 2n1x2n1 ，g(x) (2n1x)2n1(4) f (x) x x 1 ，g(x)x2 x ；5) f (x) x2 2x 1 ，g(t) t 2t 1nN G)；解题思路 要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。 解析(1)由于 f(x)x2 x，g(x) 3 x3 x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数 .x 1

5、x 0, (2)由于函数 f(x)的定义域为 ( ,0) (0, ) ，而 g(x)x 1 x 0;的定义域为 R，所以它们不是同一函数 .(3)由于当 nNG 时，2n1为奇数，f(x) 2n1x2n1 x ，g(x) (2n1x)2n1 x ，它们的定义域、 值域及对应法则都相同， 所以它们是同一 函数.(4 )由于函数 f(x) x x 1的定义域为 xx 0 ，而 g(x) x2 x的 定义域为 xx 0或x 1 ，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数 .(5)函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.答案(1)、(2)、(4)不是；(3)、(5)是同一函数名师指引】构

6、成函数的三个要素是定义域、 对应关系和值域 由于值域是由定 义域和对应关系确定的， 所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致， 即 称这两个函数为同一函数。第( 5 )小题易错判断成它们是不同的函数。原因是对 函数的概念理解不透，在函数的定义域及对应法则 f 不变的条件下，自变量变换字7A 版优质实用文档母对于函数本身并无影响，比如 f (x) x2 1，f(t) t2 1，f (u 1) (u 1)2 1 都可视为同一函数 .考点二：求函数的定义域、值域题型 1 ：求有解析式的函数的定义域例2. (08 年湖北)函数 f(x) 1xln( x2 3x 2x2 3x 4)的定义域为()xA

7、.( , 4) 2, );B.( 4,0) (0,1) ；C., 4,0) (0,1 ;D., 4,0) (0,1)解题思路 函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的 取值范围。解x2析3欲x使2函数0 f(x) 有意义，必须并且只需2x2 3x 4 02 2 x 4,0) (0,1) ，故应选择 Dx2 3x 2x2 3x 4 0【x名师0指引】 如没有标明定义域， 则认为定义域为使得函数解析式有意义的 x的 取值范围，实际操作时要注意：分母不能为 0；对数的真数必须为正；偶 次根式中被开方数应为非负数；零指数幂中，底数不等于 0 ；负分数指数幂 中，底数应大于 0；若解析

8、式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合 的交集；如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数 的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。当堂练习：1下面给出的四类对象中，构成集合的是()A某班个子较高的同学B长寿的人C 2 的近似值 D倒数等于它本身的数2下面四个命题正确的是()A10 以内的质数集合是 0，3，5，7B由 1 ，2，3 组成的集合可表示为1，2，3或3，2，1C方程 x2 2x 1 0的解集是1，1 D0 与0表示同一个集合7A 版优质实用文档7A 版优质实用文档3下面四个命题：（1）集合 N 中最小的数是 1；（2）若-a Z，则

9、a Z； （3）所有的正实数组成集合 R+ ；（4）由很小的数可组成 集合 A ； 其中正确的命题有（）个A1B 2C3D44下面四个命题：（1 ）零属于空集；（2）方程 G2-3G+5=0 的解集是空集； （ 3）方程 G2-6G+9=0 的解集是单元集； （ 4）不等式 2G-60 的解集是无限集； 其中正确的命题有（）个A1B2C3D 45平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合是（）AG,y 且 x 0, y 0B(G,y) x 0, y 0C.（G,y） x 0,y 06用符号 或 填空：D.G,y 且 x 0, y 0Z，00，aa ， Q，1R， 0N， 0 7由所有偶数组成的集合可表示为 x x 8用列举法表示集合 D= （x,y） y x 8,x N,y N 为9当 a 满足时 ,集合 Ax 3x a 0,x N 表示单元集10 对于集合 A2，4，6，若 a A，则 6a A，那么 a的值是_11数集0，1，G2G中的 G不能取哪些数值？1212 已知集合 AG N| 12 N ，试用列举法表示集合 A6x7A 版优质实用文档7A 版优质实用文档13.已知集合 A= x ax2 2x 1 0,a R,x R.(