数列求和7种方法方法全例子多84179

1、本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和 7 种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减 法，1、2、3、三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法 .n（a1 an）等差数列求和公式：等比数列求和公式：nSnkk11n(n2SnSn1)na1n(n 1)d 例 1 已知 x1，求 x x2解：由等比数列求和公式得na1 a1(1

2、(q 1)nqn)a1Snanq1q4、 Sn的前(q1)k2k1n 项和 .x31n(n 1)(2n61)利用常用公式）x(1 xn)1x12(11n)例 2 设 Sn 1+2+3+ +n， n N * ,求 f(n)Sn(n 32)Sn 1的最大值 .解：由等差数列求和公式得Sn1 n(n 1) ，2Sn11 (n 1)(n22)利用常用公式）Sn f (n) (n 32)Sn 1n2n* 1 2 34n 64164 n 34n150182( n) 50n本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！当n8，n即 n 8 时，f (n)max150、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前 n 项

3、和公式时所用的方法， 这种方法主要用于求数列 a n bn的前 n 项和，其中 an 、 b n 分别是等差数列和等比数列 .2 3 n 1例 3 求和： Sn 1 3x 5x2 7x3 （2n 1）xn 1 解：由题可知， （2n 1）xn 1的通项是等差数列 2n 1的通项与等比数列 xn 1的通项之积设 xSn 1x 3x2 5x 3 7x4(2n1)xn （设制错位）得 (1 x)Sn 1 2x2x22x32x4 2x n 1(2n1)xn（错位相减 ）再利用等比数列的求和公式得：(1x)Snn11x1 2x(2n1)xn1x S (2nSn1)xn12n 1)xn (1 x)2(1x

4、)2例4 求数列 2, 42, 63, ,2nn, 前 n项的和.2 22 232n解：由题可知，2n 的通项与等比数列 1n 的通项之积2n2462n设 Sn222232n 12462nSn22223242n 12n2n的通项是等差数列得 （1 1）Sn22 2 2 22342 22 23 242 2nn n 12n2n 1设制错位）（错位相减 ）Snn22n本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！练习题 1 已知，求数列 an的前 n 项和 Sn.答案：练习题的前 n 项和为本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！答案：三、逆序相加法求和这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数

5、列倒过来排列(反序) ，再把它与原 数列相加，就可以得到 n 个 (a1 an). 例 5 求证： Cn0 3Cn1 5Cn2(2n 1)Cnn (n 1)2n证明： 设 SnCn03C1n5Cn2(2n1)C nn .把式右边倒转过来得Sn(2n1)Cnn(2n1)Cnn 13Cn1Cn0(反序)又由m CnCnn m 可得Sn(2n1)Cn0(2n1)Cn13Cnn 1Cnn . .+得2Sn(2n2)(Cn0 C1nn1CnCnn)2(n 1) 2n(反序相加)Sn(n1) 2n题 1 已知函数1）证明：本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！（2）求的值 .解：（ 1 ）先利用指数的相关性

6、质对函数化简，后证明左边=右边本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！（ 2）利用第（ 1）小题已经证明的结论可知， 两式相加得：所以四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可11 例 7 求数列的前 n 项和： 1 1, 4, 2 aa 11 解：设 Sn （1 1） （1 4） （ 12 aa 将其每一项拆开再重新组合得1 Sn （1 a当 a1 时，Sn当 a 1 时，Sn11 a例 8 求数列 n(n+1)(2n+1) 的前 n项和 .解：设 ak k(k 1)(2k 1)7,7)1n1a(

7、3n 1)n2 1 an (3n 1)n) (12k33k2an 1 3n2，( 1n 1 n1 a3n 2)3n 2)(3n 1)n1aa1(3n 1)n2nSnk(k 1)(2kk11)nn (2k313k2k)将其每一项拆开再重新组合得nnSn 2k3 3 k2k 1 k 1k1 2(13 23n3) 3(12 22n2 ) (1 2n)（分组）分组求和）分组）本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！22n2 (n 1)2 n(n 1)(2n 1) n(n 1)2 2 22n(n 1)2(n 2)2五、裂项法求和分组求和)这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每

8、项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解裂项) 如：1)anf (n 1)f(n)2)sin1cosn cos(n 1)tan(n 1) tann3)an1n(n 1)1n14)an(2n)2(2n 1)(2n1)1 12(2n2n 1)5)an1 n(n 1)(n 2) 2n(n 1)(6)ann 2 1n(n 1) 2 n2(n 1) nn(n1)7)8)an(An B)(An C)an 例 9 求数列解：设 an则 Sn ( 2 1)n11例 10 在数列 an 中，an解：an(n12nC B( An1n(31n1)(n 2)1n 2n 1An,则

9、 Sn 1(n 1)2nn1(n 1)2n的前(n1C)n 项和 .裂项)裂项求和)n)，又 b122 ，求数列 b n的前 n 项的和 . an an 1本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！ bn n n2 1 8(1 n n 1 n 22 数列 b n 的前 n 项和11Sn 8(1 1) (1221 8(1 ) n12009 年广东文) 20. (本小题满分n11)裂项）11 11) (1 1) 33 48nn114 分)11(1n n1 1)裂项求和）1已知点（ 1， ）是函数 f（x） ax（a 0,且a 1）的图象上一点，等比数列 an 的前 n项和为 f （n）3c,数列bn （

10、bn 0）的首项为 c，且前 n项和 Sn满足SnSn1= Sn + Sn1 （n 2）1）求数列 an和bn 的通项公式；12）若数列 bnbn前 n 项和为 Tn1，问 Tn 1000 的最小正整数 n 2009n 是多少 ?0. 【解析】（1） Q ffxx1x3又数列又公比又 bna1c , a22ca3f 3an 成等比数列，a2a127a12 a2 a3481227所以1；1 ，所以3ann12 130 , Sn 0,SnSn 11；数列 Sn 构成一个首相为 1 公差为 1的等差数列，Sn n2当 n 2 ， bn Sn Sn 12n12n 1 ；bn 2n 1( n N* )

11、；2) Tn11b1b2 b2b3b3b41bnbn 11(2n 1) 2n 11 1 1 1 1 1 1 1 12 3 2 3 5 2 5 7112 2n 112n 11112 2n 1n2n 1 ；本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！由 Tnn2n 11000得n20091000 ，满足 Tn9n1000 的最小正整数为 112.2009练习 题 1练习题 2 。本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！答案：求数列通项公式的常用方法1）求差（商）法练习数列an 满足 SnSn 15an 1， a134 ，求 an注意到 an 1Sn 1 Sn ，代入得Sn 1 4Sn；又 S1 4 ，Sn是等

12、比数列， Sn 4nn 2 时， an Sn Sn 1 n134n 12）叠乘法如：数列an 中， a13，an1 ann ，求n1an解 a2a3a1 a2 anan 11223n 1 ， nan 1 又 a1a1 n3，3 ann.3）等差型递推公式由 anan 1f (n)， a1 a0，求 an ，用迭加法a2 a1f (2)n 2 时，a3 a2f (3)两边相加得 an a1f (2)f(3) f (n)anan1 f (n) an a0f(2)f (3) f (n)练习数列 an中， a1n11，an 3an 1 n2，求an (an1n3n 12本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！已知数列 an 满足 a1an，求an 。解： 由条件知： anan1 n(n1)1n1分别令 n1,2,3,(n1)，代入上式得(n1） 个等式累加之，所以 ana1n1124）等比型递推公式1 a1 2an312nan can 1 d ( c、d