应用Matlab的PDE Toolbox求解偏微分方程综合实验

1、2011届信计专业学生综合实验题目（要求按照所附开题报告表的格式填写提交开题报告。一个小组选做一题，小组全体成员共同完成，每个小组只提交一份实验报告，按照出力多少排名。提交时间在本学期18周以前。）3 应用matlab的pde toolbox求解偏微分方程熟悉matlab的pde工具箱的功能，并用其求解具有工程背景的偏微分方程，要求分别对三种类型方程：抛物型、椭圆形和双曲型。阐述清楚如下方法： 1、这里我们先脱离问题所含有的工程背景，分别举三个例子，大致的说明一下如何使用matlab的pde工具箱来求解三种类型的偏微分方程。(1) 椭圆形方程：考虑一块圆形金属片，中心挖去一正方形，外边界满足n

2、eumann条件，内边界满足dirichlet条件：考虑到入射波以方向，所以上式可以写成这样得到求解这个入射波的定解问题：这里取波长为0.1。 现在用gui来求解上述这个问题，并最终获得其解得图形： 图1 初始网格、加密以及网格剖分数据 图2 解的三维图形 图3 解的二维动画图 附录1：二维动画的matlab程序echo onclc%程序段一：解helmholtz方程-div(grad(u)-k2u=0%并研究正方形上的反射波，波源来自右边clc%入射波波数为60k=60;g=scatterg;%scatterg描述几何区域的文件名，此区域为园内有一方洞b=scatterb;%scatterb

3、是描述边界条件的文件名，内边界满足 %dirichlet条件，外边界满足neumann条件%选择方程系数c,a,fc=1;a=-k2;f=0;%程序段二：初始化网格和加密网格p,e,t=initmesh(g);p,e,t=refinemesh(g,p,e,t);p,e,t=refinemesh(g,p,e,t);%会出网格图pdemesh(p,e,t);axis equalclc%在复平面上求解u=assempde(b,p,e,t,c,a,f);%取复数解的实部h=newplot;set(get(h,parent),renderer,zbuffer)pdeplot(p,e,t,xydata,r

4、eal(u),zdata,real(u),. mesh,off);colormap(cool)clc%制作反射波的动画程序m=10;%帧数h=newplot;hf=get(h,parent);set(hf,renderer,zbuffer)axis tight,set(gca,dataaspectratio,1 1 1);axis offm=moviein(m,hf);maxu=max(abs(u);for j=1:m,. uu=real(exp(-j*2*pi/m*sqrt(-1)*u);. fprintf(%d,j);. pdeplot(p,e,t,xydata,uu,colorbar,o

5、ff,. mesh,off),. caxis(-maxu maxu);. axis tight,set(gca,dataaspectratio,1 1 1);. axis off,. m(:,j)=getframe(hf);. if j=m,. fprintf(donen);. end,.end%显示动画movie(hf,m,50);echo off(2) 抛物型方程：考虑一个圆柱形放射性杆，其左端供热，右端保持常温，侧面与环境有热交换。由于放性作用，热量均匀地产生。初始温度为。于是可以用如下方程描述： 其中为密度，为杆的热容量，为导热系数，为放射性热源密度。这一金属杆的密度 取为热容量为导热

6、系数为热源密度为右端恒温为侧面环境温度为热交换系数为左端的热流为 边界条件(如右图4)： 在杆的左端(): 在杆的右端(): 在杆的侧面()： 在杆的轴心(): 初始温度： 现在用gui来求解上述这个问题，并最终获得其解得图形：图5 解的2维动画图形 图6 解的3维动画图形 图7 解的动画图形比较图(3) 双曲型方程：考虑如下二维波动方程的定界问题，并最终获得其解得图形：现在用gui来求解上述这个问题，并最终获得其解得图形：图8 解的3维动画图形附录2：双曲线三维动画的matlab程序p.e.t=initmesh(squareg);%初始化网格x=p(1,:),y=p(2,:);u0=atan

7、(cos(pi/2*x);%ut0=3*sin(pi*x).*exp(sin(pi/2*y);%n=31;tlist=linspace(0,5,n);%uu=hyperbolic(u0,ut0,tlist,squareb3,p,e,t,1,0,0,1);%delta=-1:0.1:1;uxy,tn,a2,a3=tri2grid(p,t,uu(:,1),detla,delta);%gp=tn;a2;a3;umax=max(max(uu);umin=min(min(uu);newplotm=moviein(n);for i=1:n, pdeplot(p,e,t,xydata,uu(:,i),zda

8、ta,uu(:,i),mesh,off,xygrid,on,gridparam,gp,colorbar,off,zstyle,continuous);axis(-1 1 -1 1 umin umax);caxis(umin umax);m(:,i)=getframe;endmovie(m,10);2、向问题中添加一定的工程背景，以下我们详尽的说明如何使用matlab的pde工具箱来求解三种类型的偏微分方程。(1)椭圆形方程： 在磁铁、电动机、变压器这类问题中，考虑如下定常的maxwell方程：其中b是磁感应强度，h是磁场强度，j是电流密度，是材料的磁导率。由于故存在一个静磁矢势a，使得 及 平

9、面问题中假设电流平行于z轴，故a仅有z分量 从而，上述方程可以简化为椭圆型pde： 其中 对于二维情况，可以计算磁感应强度为磁场强度为 对于不同性质的材料组成的区域之间的交界面上，是连续的，也就是连续。 在强磁场性材料中，依赖于场,从而导致非线性解。 如果是dirichlet边界条件，则要求在边界上给出磁势a的值。如果是neumannb边界条件，则要求在边界上给出的值，也就是在边界上给出磁场强度h的切向分量。磁势a、磁场强度h以及磁感应强度b的可视化均可实现，还可以作b和h的向量场图形。 考虑由双极电动锭子线圈产生的静磁场问题。假设马达很长，使得端点的影响可以忽略不计，从而简化成二维模型处理。

10、 区域由四部分组成： 两个铁磁体：定子和转子 定子和转子之间的间隙 带有直流的转子线圈在空气和线圈中磁导率为1，而定子和转子的磁导率为其中这些是由变压器钢材决定。 线圈的电流密度j为1，其他均为0。这一问题比较复杂，它的区域包括5个圆和两个矩形(如图9所示)，它的方程在不同区域也不完全相同，而且包括非线性方程。以下我们详细说明利用gui求解的过程，依次回答以下问题：图9(1) 如何启动pde toolbox工具箱： 启动matlab7.0，在其命令窗口(command window)中键入命令pdetool，这时系统将立即产生偏微分方程工具箱(pde toolbox)的图形用户界面(graph

11、ical user interface,简记为gui)，也就实现了pde toolbox工具箱的启动。 此外，由于此问题所涉及的是静磁场的问题，因此，我们需要将系统默认的应用模型模式选定为magnetostatics.(2)怎样分步完成平面几何造型： 由于该问题所涉及的区域方程包括非线性方程，因此我们得选择使用非线性求解，即单击solve菜单中paraneters.选项,打开solve parameters对话框，选定use nonlinear solver. 在pde toolbox面板中依次拖出圆双击所绘制的圆，将圆心设置为(0,0),半径分别为1,0.8,0.6,0.5,0.4；依次拖出

12、矩形双击所绘制的矩形，分别设置left为-0.2、-0.1，bottom分别为0.2、0.1,width分别为0.2、0.2，height分别为0.9、0.9.这样便可以得到图9所示的平面图. 此外上述图形绘制过程还可以通过向matlab中键入如下命令实现： 附录3pdecirc(0,0,1,c1)pdecirc(0,0,0.8,c2)pdecirc(0,0,0.6,c3)pdecirc(0,0,0.5,c4)pdecirc(0,0,0.4,c5)pderect(-0.2 0.2 0.2 0.9,r1)pderect(-0.1 0.1 0.2 0.9,r2)pderect(0 1 0 1,sq

13、1) 单击boundary菜单下的boundary mode选项，进入边界模式.选择boundary菜单中的show subdomain labels命令，显示区域编号(如图10所示)，再单击所要删去的线段或弧段，执行boundary菜单中remove subdomain border命令，则可以得到图11. 图10图11 为了便于图形的显示，为此我们重新调整坐标轴的范围，单击options菜单中axes limits. 选项，打开axes limits对话框，取消auto选项，取为默认值。再单击options菜单中axes equal选项，这样所得到的两坐标轴的尺寸比例一致。(3)如何选取边

14、界： 逐段双击边界设置边界条件：x轴边界选齐次neumann条件，键入其他边界选齐次dirichlet条件，系统已经默认这种边界条件.(4) 如何进入pde模式：用gui设置定解问题包括三个模式(mode):(1) draw模式：使用csg(几何结构实体模型)对话框画几何区域，包括矩形、圆、椭圆和多边形，也可以将它们组合使用。(2) boundary模式：在各个边界段上给出边界条件。(3) pde模式：确定方程的类型、c,a,f和d.也能够在不同的子区域上 设置不同的系数(反映材料的性质).用gui设置定解问题包括三个模式(mode): (1)mesh模式：生成网格、自动控制参数。 (2)so

15、lve模式：对于椭圆型方程还能求非线性和自适应解。对于抛物型和双曲型方程，设置初始边值条件后能求出给定t时刻的解。求解后可以加密网格再求解。为此，选择pde菜单中pde mode命令，进入pde模式(如图12)，此时需要确定方程的类型、c,a,f和d.也能够在不同的子区域上设置不同的系数(反映材料的性质)：区域4键入mu=1,j=1;区域1、2均键入这里系数含有非线性；区域3键入mu=1,j=0.图12 (5)如何初始化网格： 选择mesh菜单中initialize mesh命令，即可对平面图形进行网格剖分. (6)如何进行网格加密： 选择mesh菜单中refine mesh命令，即可实现对网

16、格进行加密. (7)怎样进行求解，如何显示图形： 选择solve菜单中solve pde命令，解偏微分方程并显示图形解(如图13所示),图13(8)显示三维图形解： 单击plot菜单中parameters.选项，打开plot selection对话框，选中color,contour ,height(3-d plot)和arrows四项，设置contour plot levels:10,然后单击plot按钮，显示三维图形解.如图14所示图14 解的3维图形(2)抛物型方程：考虑抛物线偏微分方程：它描述平面的热传输现象，以及由轴对称三维问题经过降维后的热传输问题，其中t为温度，其他参数为： 在pd

17、e toolbox中我们可以做温度、温度梯度、热流的可视化图形。 考虑一个方形区域，导热系数为10，密度为2。在方形区域内有一个圆形区域的热源为4，导热系数为2，密度为1。两个区域的比热都为0.1。以下我们详细说明利用gui求解的过程，依次回答以下问题：(1)如何启动pde toolbox工具箱：启动matlab7.0，在其命令窗口(command window)中键入命令pdetool，这时系统将立即产生偏微分方程工具箱(pde toolbox)的图形用户界面(graphical user interface,简记为gui)，也就实现了pde toolbox工具箱的启动。此外，由于此问题所涉

18、及的是平面热传输的问题，因此，我们需要将系统默认的应用模型模式选定为heat transfer. (2)怎样分步完成平面几何造型： 为了便于平面图形的观察，为此，我们对坐标的范围显示进行设置，即单击options菜单中的grid spacing对话框中选auto;打开axes limits对话框，设置x轴和y轴的范围为0,3,单击apply即可完成设置。 此外,为了使两坐标轴的尺寸比例一致,我们重新调整坐标轴的范围，即单击options菜单中axes equal选项。 在pde toolbox面板中依次拖出圆方形分别双击所绘制的图形，对于圆:设置x-center为1.5，y-center为1.

19、5，radius为1;对于方形;设置left为0，bottom分别为0,width分别为3，height分别为3. 这样便可以得到图15所示的平面图.图15 因为所有外边界的温度保持为0，可知边界满足默认的齐次dirichlet边界条件。所以,只需单击boundary菜单下的boundary mode选项，进入边界模式.采取系统默认的边界方式。 在pde mode模式下，分别双击两个区域设置抛物型pde参数:依次将c,a,f,d,设为2,0,4,0.1;10,0,0,0.2. (3)如何选取边界： 因为所有外边界的温度保持为0，可知边界满足默认的齐次dirichlet边界条件。只需单击boun

20、dary菜单下的boundary mode选项，进入边界模式.这里我们采取系统默认的边界方式。 (4)如何进入pde模式：用gui设置定解问题包括三个模式(mode):(4) draw模式：使用csg(几何结构实体模型)对话框画几何区域，包括矩形、圆、椭圆和多边形，也可以将它们组合使用。(5) boundary模式：在各个边界段上给出边界条件。(6) pde模式：确定方程的类型、c,a,f和d.也能够在不同的子区域上 设置不同的系数(反映材料的性质).用gui设置定解问题包括三个模式(mode): (1)mesh模式：生成网格、自动控制参数。 (2)solve模式：对于椭圆型方程还能求非线性和

21、自适应解。对于抛物型和双曲型方程，设置初始边值条件后能求出给定t时刻的解。求解后可以加密网格再求解。为此，选择pde菜单中pde mode命令，进入pde模式，此时需要确定方程的类型、c,a,f和d. (5)如何初始化网格： 选择mesh菜单中initialize mesh命令，即可对平面图形进行网格剖分. (6)如何进行网格加密： 选择mesh菜单中refine mesh命令，即可实现对网格进行加密. (7)怎样进行求解，如何显示图形： 选择solve菜单中solve pde命令，解偏微分方程并显示图形解(如图16所示), 图16(8)显示三维图形解： 单击plot菜单中parameters

22、.选项，打开plot selection对话框，选中color,height(3-d plot)、arrows和animation四项，设置contour plot levels:10,然后单击plot按钮，显示三维图形动画解.如图17所示 图17 解的三维图形动画解(3)双曲型方程： 此例可参见第一种情形第三种情况,以下8个单问均可参考第二种情形两种情况,这里作省略. 云南财经大学实验报告系 （院）： 统数学院 专 业： 班 级： 姓 名： 课程名称： 复合实验 实验时间： 2010-12-12 指导教师： 云南财经大学教务处制填表说明1 实验名称 要用最简练的语言反映实验的内容。2 实验目

23、的 目的要明确，要抓住重点，可以从理论和实践两个方面考虑。在理论上，验证定理、公式、算法，并使实验者获得深刻和系统的理解，在实践上，掌握使用实验设备的技能技巧和程序调试的方法。一般需要说明是验证型实验还是设计型实验，是创新型实验还是综合型实验。3 实验环境 实验用的软硬件环境（配置）。4 实验内容（算法、程序、步骤和方法）这是实验报告极其重要的内容。这部分要写明依据何种原理、定律算法、或操作方法进行实验，要写明经过哪几个步骤。还应该画出流程图（实验装置的结构示意图），再配以相应的文字说明，这样既可以节省许多文字说明，又能使实验报告简明扼要，清楚明白。5 结论（结果） 即根据实验过程中所见到现象

24、和测得的数据，作出结论。6 小结 对本次实验的思考和建议。7 备注或说明 可填写实验成功或失败的原因，实验后的心得体会等。8 指导教师评分 指导教师根据本次实验的预习、表现、操作的实验报告的撰写客观进行评分、签名，并记入成绩。实验名称应用matlab的pde toolbox求解偏微分方程实验目的熟悉matlab的pde工具箱的功能，并用其求解具有工程背景的偏微分方程，要求分别对三种类型方程：抛物型、椭圆形和双曲型。阐述清楚如下方法：(1)如何启动pde toolbox工具箱：(2)怎样分步完成平面几何造型：(3)如何选取边界：(4)如何进入pde模式：(5)如何初始化网格：(6)如何进行网格加

25、密：(7)怎样进行求解，如何显示图形：(8)显示三维图形解：实验内容（算法、程序、步骤和方法）1、这里我们先脱离问题所含有的工程背景，分别举三个例子，大致的说明一下如何使用matlab的pde工具箱来求解三种类型的偏微分方程。(1)椭圆形方程：考虑一块圆形金属片，中心挖去一正方形，外边界满足neumann条件，内边界满足dirichlet条件：考虑到入射波以方向，所以上式可以写成这样得到求解这个入射波的定解问题：这里取波长为0.1。 现在用gui来求解上述这个问题，并最终获得其解得图形： 图1 初始网格、加密以及网格剖分数据 图2 解的三维图形 图3 解的二维动画图 附录1：二维动画的matl

26、ab程序echo onclc%程序段一：解helmholtz方程-div(grad(u)-k2u=0%并研究正方形上的反射波，波源来自右边clc%入射波波数为60k=60;g=scatterg;%scatterg描述几何区域的文件名，此区域为园内有一方洞b=scatterb;%scatterb是描述边界条件的文件名，内边界满足 %dirichlet条件，外边界满足neumann条件%选择方程系数c,a,fc=1;a=-k2;f=0;%程序段二：初始化网格和加密网格p,e,t=initmesh(g);p,e,t=refinemesh(g,p,e,t);p,e,t=refinemesh(g,p,e

27、,t);%会出网格图pdemesh(p,e,t);axis equalclc%在复平面上求解u=assempde(b,p,e,t,c,a,f);%取复数解的实部h=newplot;set(get(h,parent),renderer,zbuffer)pdeplot(p,e,t,xydata,real(u),zdata,real(u),. mesh,off);colormap(cool)clc%制作反射波的动画程序m=10;%帧数h=newplot;hf=get(h,parent);set(hf,renderer,zbuffer)axis tight,set(gca,dataaspectrati

28、o,1 1 1);axis offm=moviein(m,hf);maxu=max(abs(u);for j=1:m,. uu=real(exp(-j*2*pi/m*sqrt(-1)*u);. fprintf(%d,j);. pdeplot(p,e,t,xydata,uu,colorbar,off,. mesh,off),. caxis(-maxu maxu);. axis tight,set(gca,dataaspectratio,1 1 1);. axis off,. m(:,j)=getframe(hf);. if j=m,. fprintf(donen);. end,.end%显示动画

29、movie(hf,m,50);echo off(2)抛物型方程：考虑一个圆柱形放射性杆，其左端供热，右端保持常温，侧面与环境有热交换。由于放性作用，热量均匀地产生。初始温度为。于是可以用如下方程描述： 其中为密度，为杆的热容量，为导热系数，为放射性热源密度。这一金属杆的密度 取为热容量为导热系数为热源密度为右端恒温为侧面环境温度为热交换系数为左端的热流为 边界条件(如右图4)： 在杆的左端(): 在杆的右端(): 在杆的侧面()： 在杆的轴心(): 初始温度： 现在用gui来求解上述这个问题，并最终获得其解得图形：图5 解的2维动画图形 图6 解的3维动画图形 图7 解的动画图形比较图(3)双

30、曲型方程：考虑如下二维波动方程的定界问题，并最终获得其解得图形：现在用gui来求解上述这个问题，并最终获得其解得图形：图8 解的3维动画图形附录2：双曲线三维动画的matlab程序p.e.t=initmesh(squareg);%初始化网格x=p(1,:),y=p(2,:);u0=atan(cos(pi/2*x);%ut0=3*sin(pi*x).*exp(sin(pi/2*y);%n=31;tlist=linspace(0,5,n);%uu=hyperbolic(u0,ut0,tlist,squareb3,p,e,t,1,0,0,1);%delta=-1:0.1:1;uxy,tn,a2,a3

31、=tri2grid(p,t,uu(:,1),detla,delta);%gp=tn;a2;a3;umax=max(max(uu);umin=min(min(uu);newplotm=moviein(n);for i=1:n, pdeplot(p,e,t,xydata,uu(:,i),zdata,uu(:,i),mesh,off,xygrid,on,gridparam,gp,colorbar,off,zstyle,continuous);axis(-1 1 -1 1 umin umax);caxis(umin umax);m(:,i)=getframe;endmovie(m,10);2、向问题中

32、添加一定的工程背景，以下我们详尽的说明如何使用matlab的pde工具箱来求解三种类型的偏微分方程。(1)椭圆形方程： 在磁铁、电动机、变压器这类问题中，考虑如下定常的maxwell方程：其中b是磁感应强度，h是磁场强度，j是电流密度，是材料的磁导率。由于故存在一个静磁矢势a，使得 及 平面问题中假设电流平行于z轴，故a仅有z分量 从而，上述方程可以简化为椭圆型pde： 其中 对于二维情况，可以计算磁感应强度为磁场强度为 对于不同性质的材料组成的区域之间的交界面上，是连续的，也就是连续。 在强磁场性材料中，依赖于场,从而导致非线性解。 如果是dirichlet边界条件，则要求在边界上给出磁势a

33、的值。如果是neumannb边界条件，则要求在边界上给出的值，也就是在边界上给出磁场强度h的切向分量。磁势a、磁场强度h以及磁感应强度b的可视化均可实现，还可以作b和h的向量场图形。 考虑由双极电动锭子线圈产生的静磁场问题。假设马达很长，使得端点的影响可以忽略不计，从而简化成二维模型处理。 区域由四部分组成： 两个铁磁体：定子和转子 定子和转子之间的间隙 带有直流的转子线圈在空气和线圈中磁导率为1，而定子和转子的磁导率为其中这些是由变压器钢材决定。 线圈的电流密度j为1，其他均为0。这一问题比较复杂，它的区域包括5个圆和两个矩形(如图9所示)，它的方程在不同区域也不完全相同，而且包括非线性方程

34、。以下我们详细说明利用gui求解的过程，依次回答以下问题：图9(2) 如何启动pde toolbox工具箱： 启动matlab7.0，在其命令窗口(command window)中键入命令pdetool，这时系统将立即产生偏微分方程工具箱(pde toolbox)的图形用户界面(graphical user interface,简记为gui)，也就实现了pde toolbox工具箱的启动。 此外，由于此问题所涉及的是静磁场的问题，因此，我们需要将系统默认的应用模型模式选定为magnetostatics.(2)怎样分步完成平面几何造型： 由于该问题所涉及的区域方程包括非线性方程，因此我们得选择使

35、用非线性求解，即单击solve菜单中paraneters.选项,打开solve parameters对话框，选定use nonlinear solver. 在pde toolbox面板中依次拖出圆双击所绘制的圆，将圆心设置为(0,0),半径分别为1,0.8,0.6,0.5,0.4；依次拖出矩形双击所绘制的矩形，分别设置left为-0.2、-0.1，bottom分别为0.2、0.1,width分别为0.2、0.2，height分别为0.9、0.9.这样便可以得到图9所示的平面图. 此外上述图形绘制过程还可以通过向matlab中键入如下命令实现： 附录3pdecirc(0,0,1,c1)pdeci

36、rc(0,0,0.8,c2)pdecirc(0,0,0.6,c3)pdecirc(0,0,0.5,c4)pdecirc(0,0,0.4,c5)pderect(-0.2 0.2 0.2 0.9,r1)pderect(-0.1 0.1 0.2 0.9,r2)pderect(0 1 0 1,sq1) 单击boundary菜单下的boundary mode选项，进入边界模式.选择boundary菜单中的show subdomain labels命令，显示区域编号(如图10所示)，再单击所要删去的线段或弧段，执行boundary菜单中remove subdomain border命令，则可以得到图11.

37、 图10图11 为了便于图形的显示，为此我们重新调整坐标轴的范围，单击options菜单中axes limits. 选项，打开axes limits对话框，取消auto选项，取为默认值。再单击options菜单中axes equal选项，这样所得到的两坐标轴的尺寸比例一致。(3)如何选取边界： 逐段双击边界设置边界条件：x轴边界选齐次neumann条件，键入其他边界选齐次dirichlet条件，系统已经默认这种边界条件.(4)如何进入pde模式：用gui设置定解问题包括三个模式(mode):(1)draw模式：使用csg(几何结构实体模型)对话框画几何区域，包括矩形、圆、椭圆和多边形，也可以将

38、它们组合使用。(2)boundary模式：在各个边界段上给出边界条件。(3)pde模式：确定方程的类型、c,a,f和d.也能够在不同的子区域上设置不同的系数(反映材料的性质).用gui设置定解问题包括三个模式(mode):(1)mesh模式：生成网格、自动控制参数。 (2)solve模式：对于椭圆型方程还能求非线性和自适应解。对于抛物型和双曲型方程，设置初始边值条件后能求出给定t时刻的解。求解后可以加密网格再求解。为此，选择pde菜单中pde mode命令，进入pde模式(如图12)，此时需要确定方程的类型、c,a,f和d.也能够在不同的子区域上设置不同的系数(反映材料的性质)：区域4键入mu

39、=1,j=1;区域1、2均键入这里系数含有非线性；区域3键入mu=1,j=0.图12 (5)如何初始化网格： 选择mesh菜单中initialize mesh命令，即可对平面图形进行网格剖分. (6)如何进行网格加密： 选择mesh菜单中refine mesh命令，即可实现对网格进行加密. (7)怎样进行求解，如何显示图形： 选择solve菜单中solve pde命令，解偏微分方程并显示图形解(如图13所示),图13(8)显示三维图形解： 单击plot菜单中parameters.选项，打开plot selection对话框，选中color,contour ,height(3-d plot)和a

40、rrows四项，设置contour plot levels:10,然后单击plot按钮，显示三维图形解.如图14所示图14 解的3维图形(2)抛物型方程：考虑抛物线偏微分方程：它描述平面的热传输现象，以及由轴对称三维问题经过降维后的热传输问题，其中t为温度，其他参数为： 在pde toolbox中我们可以做温度、温度梯度、热流的可视化图形。 考虑一个方形区域，导热系数为10，密度为2。在方形区域内有一个圆形区域的热源为4，导热系数为2，密度为1。两个区域的比热都为0.1。以下我们详细说明利用gui求解的过程，依次回答以下问题：(1)如何启动pde toolbox工具箱：启动matlab7.0，

41、在其命令窗口(command window)中键入命令pdetool，这时系统将立即产生偏微分方程工具箱(pde toolbox)的图形用户界面(graphical user interface,简记为gui)，也就实现了pde toolbox工具箱的启动。此外，由于此问题所涉及的是平面热传输的问题，因此，我们需要将系统默认的应用模型模式选定为heat transfer. (2)怎样分步完成平面几何造型： 为了便于平面图形的观察，为此，我们对坐标的范围显示进行设置，即单击options菜单中的grid spacing对话框中选auto;打开axes limits对话框，设置x轴和y轴的范围为0,3,单击apply即可完成设置。 此外,为了使两坐标轴的尺寸比例一致,我们重新调整坐标轴的范围，即单击options菜单中axes equal选项。 在pde toolbox面板中依次拖出圆方形分别双击所绘制的图形，对于圆:设置x-center为1.5，y-center为1.5，radius为1;对于方形;设置left为0，bottom分别为0,width分别为3，height分别为3. 这样便可以得到图15所示的平面图.图15 因为所有外