圆的内接四边形

1、例圆内接四边形 ABCD中，/A、/B、/C的度数的比是3 : 2 : 7,求四边形各内角度数.解：设/ A、/B、/C的度数分别为3x、2x、7x .ABCD 是圆内接四边形./ A + /C=180。即3x+7x=180 ,x=18 ,zA=3x=54,zB=2x=36 ,=7x=126 ,又ZB+ ZD=180 ,JD=180 一36 144 .说明：巩固性质；方程思想的应用.例如图，已知AD是ABC的外角/ EAC的平分线，AD与三角形ABC的外接圆相交于 D .求证：DB=DC .ABC分析：要证 DB=DC，只要证/ BCD= ZCBD，充分利用条件和圆周角的定理以及圆内接四边形的

2、性质，即可解决.说明：角相等的灵活转换，利用圆内接四边形的性质作桥梁.例 如图， ABC是等边三角形，D是EC上任一点，求证： DB+DC=DA .分析：要证明一条线段等于两条线段的和，往往可以“截长”和“补短”法，本题两种方法 都可以证明.证明： 延长DB至点E,使BE=DC，连AE.在AEB 和ADC 中，BE=DC .ABC是等边三角形. AB=AC .四边形ABDC是O O的内接四边形,zABE= ZACD .念EB也zADC .zAEB= ZADC= /ABC .vzADE= ZACB ,又 vZABC= ZACB = 60 ,zAEB= ZADE=60 .念ED是等边三角形， AD

3、=DE=DB+BE .BE=DC ,.DB+DC=DA .说明：本例利用“截长”和“补短”法证明培养学生“角相等的灵活转换”能力在圆中,圆心角、圆周角、圆内接四边形的性质构成了角度相当转换的一个体系，应重视.例 如图，ABCD是O O的内接四边形，AH CD，如果HAD 30，那么 B ()A. 90 B. 120 C. 135 D. 150 说明：“圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角”这个定理很重要，要正确运用例 如图，AD是 ABC外角 EAC的平分线，AD与ABC外接O 0交于点D, N为BC延长线上一点，且CN CD,DN 交O 0 于点 M.求证：（1） DB

4、 DC ;分析：（1）由于DB与DC是同一三角形的两边,要证二者相等就应先证明它们的对角(2) DC2 CM DN .-可编辑修改-相等，这可由圆周角定理与圆内接四边形的基本性质得到：（2 ）欲证乘积式2DC CMDC CMDC CM DN.,只须证比例式，也即，这只须要证明 DCMDN DCDN CNs DNC即可说明：本题重在考查圆周角与圆内接四边形的基本性质和利用相似三角形证明比例线段的基本思维方法例 如图，已知四边形 ABCD是圆内接四边形， EB是O 0的直径，且EBAD , AD与BC的延长线相交于F.求证：FBBCDC说明：本题考查圆内接四边形性质的应用，解题关键是辅助线构造AC

5、B而使解题陷入困境或ABC ,再证ABC s FDC .易错点是不易想到证FCD出现错误.例 如图，AB是O O的直径，弦（非直径） CD AB , P是O O上不同于C,D的任一点（ 1）当点P在劣弧CD上运动时，APC与 APD的关系如何？请证明你的结论;（2）当点P在优弧CD上运动时，APC与 APD的关系如何?请证明你的结论（不要讨论 P点与A点重合的情形）分析：利用在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理来解决选择题1 在圆的内接四边形 ABCD中， A和它的对角 C的度数的比为1:2，那么 A为（）A. 30 B. 60 C. 90 C. 120 2 四边形ABCD内接于圆，

6、A、B、 C、 D的度数依次可以是（）A. 1: 2: 3: 4 B. 6: 7: 8: 9 C. 4: 1: 3: 2 D . 14 : 3: 1 : 123. 四边形ABCD内接于圆，A、 B、 C、 D的度数比依次可以是（）A. 1:2:3:4 B. 4: 2:3:1C. 4:3:1:2 D. 4:1:3:24.如图，四边形 ABCD内接于O O , BOD 110，那么 BCD的度数为（）C.55 D. 705.如图，O 01与O 02交于A、B两点，且O 02过O 01的圆心01，若 M40，则 N等于（）A. 40B. 80C.100D. 706. 圆内接平行四边形- -定是（）（

7、A）矩形（B）正方形（C）菱形（D）梯形7 .已知AB、CD是O O的两条直径，则四边形 ADBC 一定是（）A.矩形 B.菱形 C.正方形 D .等腰梯形8、四边形ABCD内接于圆，则/ A、/B、/C、/D的度数比可以是 （）(A) 1 : 2 : 3 : 4(B) 7 : 5 : 10 : 8(C) 13 : 1 : 5 : 17(D) 1 : 3 : 2 : 4(A ) 50 ( B) 4010、如图，圆内接四边形相交于P,对角线AC和P9、若ABCD为圆内接四边形， AE丄CD于E,/ABC=130。，则zDAE为（ ）（C） 30 （D ） 20 ABCD的一组对边 AD、BC的延

8、长线BD相交于点Q，则图中共有相似的三角形(A) 4 对 (B) 3 对(C) 2 对 (D) 1 对11 如图，在 ABC , AD是高， ABC的外接圆直径 AE交BC边于点G,有下列四个结论：（1） AD2 BD CD ； （2） BE2 EG AE ； （3）AE AD AB AC ； （4） AG EG BG CG .其中正确的结论的个数是（）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个12 已知：如图，劣弧 狂二疝，那么 BD的度数是（）A 320 B 160 C 150 D 200 13 .钝角三角形的外心在（ ）A 三角形内B 三角形外C 三角形的边上D 上述三种情况都有可能14 圆

9、内接平行四边形的对角线（）A .互相垂直B .互相垂直平分C.相等D .相等且平分每组对角5, AC 7, BE 3，下15 .如图，已知四边形 ABCD是O O的内接四边形，且AB CD列命题错误的是（）A. ABE DCEB . BDA 45C . S四边形abcd 24.5 D .图中全等的三角形共有 2对答案:1. B 2 .D 3.C 4. A 5. D 6、A ; 7. A8、C;9、B;10、A. 11. B 12 . B 13 . B 14 . D 15 . D.填空题1. 已知ABCD是圆内接四边形， 若/A与/C的度数之比是1 : 2 ,则/A的度数是 度.2. 若A ,

10、B, C, D四点共圆，且/ ACD为36。，贝応所对的圆心角的度数是 度.3. 圆内接四边形相邻三个内角的比是2 : 1 : 7,则这个四边形的最大角的度数为度.4. 圆上四点 A、B、C、D，分圆周为四段弧，且=1：2：3：4，则圆内接四边形ABCD的最大角是5. 圆内接四边形 ABCD中，若 EBC是 ABC相邻的一个外角，且EBC 105 ,C 93 ，贝U D ， A ，若 A: B: C 1:2:3，则D ， A 6. 四边形 ABCD内接于圆， A、 C的度数之比是 5:4， B比 D大30，则A ， D 7. 圆内接梯形是 形，圆内接平行四边形是 8 圆内接四边形 ABCD中，

11、如果 A: B: C 2:3:4，那么 D 度.9 在圆内接四边形 ABCD中， A: B: C 4:3:5，贝U D .10 .如图，在圆内接四边形 ABCD中，AB AD, BAD 30 , AC ，则四边形ABCD的面积为.11 .如图，把正三角形ABC的外接圆对折，使点A落在/的中点A，若BC5，则折痕在 ABC内的部分DE长为答案：1.60 ; 2. 72 ;3.160 ;4.1265. 105 , 87 , 90 , 45 ;6i. 100 , 75 7.等腰,210矩形.8 . 909 .120 10 .a11 . .431、如图，已知：ABCD为圆内接四边形,解答题AD : B

12、C=CD : BE; (2 )若 AD : BC=CD2、已知：O O中，直径 AB垂直弦CD于H , E是CD延长线上一点， AE交O O于F.求 证：/AFC= ZDFE.3 如图，已知四边形 ABCD内接于圆，DC、AB的延长线相交于 E,且 CBE DBA , 求证：AD BE EC BD4 .如图，点A、D在O O上，以点A为圆心的O A交O O于B、C两点，AD交O A于点E ,交BC于点F，求证:AE2 AF AD5.已知圆内接四边形,ABCD中，A: B: C 2:5:4，求最小的角。6 .如图，在 ABC中，AB AC，BD平分 ABC交AC于D， ABD的外接圆交BC于E.

13、求证：AD CE7 如图，ABC是圆内接正三角形， P为劣弧玉上一点，已知 AB 2-7,PA 6. (1)求证：PB PC PA; (2 )求 PB、PC 的长(PB PC )ABD的外接圆,8 如图，已知：菱形 ABCD的对角线 AC、BD相交于点O , 是O O 上的一点，连结 AE并延长与 BD 的延长线相交于点F.求证：2 2AC BD 4AE AF .9 .如图，BC是O O的直径，ADBC，垂足为D , AB-AF, BF交AD于点E.2(1)求证 AF BE BF ;(2)若 BD 1, AD 2，求 tan DBE 的值.10 已知：如图，在圆内接四边形 ABCD中， BAD 60 , ADC 90 , AB的