11.6 圆锥曲线的综合问题[基础教学]

1、(11.6 文)（12.6理） 圆锥曲线的综合问题知识要点梳理 解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识.圆锥曲线与方程是中学数学的重点和难点，它可以和中学数学中的其他章节知识进行交汇，充分体现了中学中的各种数学思想与数学技能。无论是基础题还是难题都可以将分析问题与解决问题的能力淋漓尽致地反映出来。因此，圆锥曲线的综合问题一直是高考的热点。纵观近几年高考试题，对于圆锥曲线与方程的考查主要有两大类问题：一是根据条件，求出曲线方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质，（1）以客观题的形式考查圆锥曲线的基本概念和性质；（2）求

2、平面曲线的方程和轨迹；（3）圆锥曲线的有关元素计算、关系证明或范围确定；（4）涉及圆锥曲线对称变换、最值或位置关系的问题。在复习圆锥曲线综合题时要注意以下几点：（1） 求指定的圆锥曲线的方程，一般涉及量较多，计算量大，要求较强的运算能力。在计算中，首先要明确运算方向，还要注意运算的合理性、技巧性，使运算简捷。（2） 注重对解析几何基本方法的考查，要求会建立适当的直角坐标系，把平面几何问题转化为代数问题。（3） 注意用圆锥曲线的定义解题，有关圆锥曲线上的点到焦点的距离、到准线的距离、离心率的问题都可能用圆锥曲线的定义去解。（4） 对称问题是高考的热点，注意关于原点、轴、轴、直线对称的两曲线方程的

3、特点。（5） 解析几何与数列、极限、不等式、函数、向量综合在一起的问题，对解决数学综合问题的能力要求更高，要充分利用解析几何的特点，运用数形结合，用代数的方法解决几何问题。反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质.学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的.疑难点、易错点剖析1与圆锥曲线有关的参数问题的讨论常用的方法有两种：（1）不等式（组）求解法：利用题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式（组）得出参数的变化范围；（2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数，

4、通过讨论函数的值域来求参数的变化范围2圆锥曲线中最值的两种求法：（1）几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；（2）代数法：若题目中的条件和结论能体现明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值直击考点考点一 直线与抛物线的综合问题【例1】 如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a0，b0），且交抛物线y2=2px（p0）于M（x1，y1），N（x2，y2）两点.（1）写出直线l的截距式方程；（2）证明：+=；（3）当a=2p时，求MON的大小.剖析：易知直线l的方程为+=1，欲证+=，即求的值，为此只需

5、求直线l与抛物线y2=2px交点的纵坐标.由根与系数的关系易得y1+y2、y1y2的值，进而证得+=.由=0易得MON=90.亦可由kOMkON=1求得MON=90.（1）解：直线l的截距式方程为+=1. （2）证明：由及y2=2px消去x可得by2+2pay2pab=0. 点M、N的纵坐标y1、y2为的两个根，故y1+y2=，y1y2=2pa.所以+=.（3）解：设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，则k1=，k2=.当a=2p时，由（2）知，y1y2=2pa=4p2，由y12=2px1，y22=2px2，相乘得（y1y2）2=4p2x1x2，x1x2=4p2，因此k1k2=1.所以OMO

6、N，即MON=90.锦囊妙计：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.举一反三：如下图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2）、A（x1，y1）、B（x2，y2）均在抛物线上.（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率.解：（1）由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px.点P（1，2）在抛物线上，22=2p1，得p=2.故所求抛物线的方程是y2=4x，准线方程是x=1.（2）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.则kPA=（x11），kPB=（x21

7、）.PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，kPA=kPB.由A（x1，y1）、B（x2，y2）在抛物线上，得y12=4x1， y22=4x2， =.y1+2=（y2+2）.y1+y2=4.由得直线AB的斜率kAB=1（x1x2）.考点二 函数最值与椭圆的综合问题【例2】 设椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0，）到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.思路分析：设椭圆方程为+=1，由e=知椭圆方程可化为x2+4y2=4b2，然后将距离转化为y的二次函数，二次函数中含有一个参数b，在判定距离有最大值的过程中，要讨论y=是否在y的取值范

8、围内，最后求出椭圆方程和P点坐标.解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是+=1，其中ab0待定.由e2=1（）2可知=，即a=2b.设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则d2=x2+（y）2=a2（1）+y23y+= 4b23y23y+=3（y+）2+4b2+3，其中byb.如果b，则当y=b时d2（从而d）有最大值，由题设得（）2=（b+）2，由此得b=，与b矛盾.因此必有b成立，于是当y=时d2（从而d）有最大值，由题设得（）2=4b2+3，由此可得b=1，a=2.故所求椭圆的直角坐标方程是+y2=1.由y=及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点（，），点（，）到点P的距离都是.解法二：根据题设

9、条件，设椭圆的参数方程是其中ab0待定，02，x=acos，y=bsin，e=，a=2b.设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则d2=x2+（y）2=a2cos2+（bsin）2=3b2（sin+）2+4b2+3.如果1，即b，则当sin=1时，d2（从而d）有最大值，由题设得（）2=（b+） 2，由此得b=，与b矛盾.因此必有1成立，于是当sin=时，d2（从而d）有最大值，由题设得（）2=4b2+3.由此得b=1，a=2.所以椭圆参数方程为 x=2cos，y=sin.消去参数得+y2=1，由sin=，cos=知椭圆上的点（，），（，）到P点的距离都是.锦囊妙计：本题体现了解析几何与函数

10、、三角知识的横向联系，解答中要注意讨论.举一反三：1.对于上例，根据图形的几何性质，以P为圆心，以为半径作圆，圆与椭圆相切时，切点与P的距离为，此时的椭圆和切点即为所求.读者不妨一试.提示：由 x2+（y）2=7，x2+4y2=4b2，得3y2+3y=4b27，由=0得b2=1，即椭圆方程为x2+4y2=4.所求点为（，）、（，）.2. 已知椭圆，点P的坐标为(0,b)，求点P到该椭圆上点的最大距离。解：椭圆的参数方程为。设椭圆上任一点Q的坐标为(acos,bsin)，则本题使用椭圆的参数方程，从而借助三角函数求最大值。但要注意讨论及两种情况。考点三 直线与双曲线、椭圆的综合问题【例3】 （2

11、007年东北重点中学高三调研考题）已知椭圆C的方程为+=1（ab0），双曲线=1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使ll1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B.（如下图）（1）当l1与l2夹角为60，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；（2）当=时，求的最大值.思路分析：（1）求椭圆方程即求a、b的值，由l1与l2的夹角为60易得=，由双曲线的距离为4易得a2+b2=4，进而可求得a、b.（2）由=，欲求的最大值，需求A、P的坐标，而P是l与l1的交点，故需求l的方程.将l与l2的方程联立可求得P的坐标，进而可求得点A的坐标.将A的坐标代入椭圆方

12、程可求得的最大值.解：（1）双曲线的渐近线为y=x，两渐近线夹角为60，又b0)其中b=1。又设右焦点为(c,0)，则=3，解得c=,a=。椭圆方程为+y2=1。（2）设P为MN的中点，解方程组得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0= -12m2+36k2+120，得m2m2,解得0m0，解得m。m0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件解析：ac0曲线ax2+by2=c为椭圆.反之成立.答案：B2.到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹是A.椭圆 B.AB所在直线C.线段AB D.无

13、轨迹解析：数形结合易知动点的轨迹是线段AB：y=x，其中0x3.答案：C3.若点（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则的最小值为A.1 B.1C. D.以上都不对解析：的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率.显然直线与椭圆相切时取得最值，设直线y=k（x2）代入椭圆方程（4+k2）x24k2x+4k24=0.令=0，k=.kmin=.答案：C4.（2007年南京质量检测）以正方形ABCD的相对顶点A、C为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为A. B.C. D.解析：建立坐标系，设出椭圆方程，由条件求出椭圆方程，可得e=.答案：D5.已知F1（3，0）、F2（3，0）

14、是椭圆+1的两个焦点，P是椭圆上的点，当F1PF2时，F1PF2的面积最大，则有A.m=12，n=3 B.m=24，n=6C.m=6，n= D.m=12，n=6解析：由条件求出椭圆方程即得m=12，n=3.答案：A二.填空题7.双曲线9x216y2=1的焦距是_.解析：将双曲线方程化为标准方程得=1.a2=，b2=，c2=a2+b2=+=.c=，2c=.答案：8.若直线mx+ny3=0与圆x2+y2=3没有公共点，则m、n满足的关系式为_；以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆+=1的公共点有_个.解析：将直线mx+ny3=0变形代入圆方程x2+y2=3，消去x，得（m2+n2）y2

15、6ny+93m2=0.令0得m2+n23.又m、n不同时为零，0m2+n23.由0m2+n23，可知|n|，|m|，再由椭圆方程a=，b=可知公共点有2个.答案：0m2+n21k0k（1，1），方程所表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆； 1k3k20k（，1），方程所表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆；1k=3k20k=1，表示的是一个圆；（1k）（3k2）0k（，）（1，），表示的是双曲线；k=1，k=，表示的是两条平行直线；k=，表示的图形不存在.（2）由（k2+k6）（6k2k1）0（k+3）（k2）（3k+1）（2k1）0k（3，）（，2）.12.（2007年荆门市模拟题）已知抛物线y2=2p

16、x上有一内接正AOB，O为坐标原点.（1）求证：点A、B关于x轴对称；（2）求AOB外接圆的方程.（1）证明：设A（x1，y1）、B（x2，y2），|OA|=|OB|，x12+y12=x22+y22.又y12=2px1，y22=2px2，x22x12+2p（x2x1）=0，即（x2x1）（x1+x2+2p）=0.又x1、x2与p同号，x1+x2+2p0.x2x1=0，即x1=x2.由抛物线对称性，知点A、B关于x轴对称.（2）解：由（1）知AOx=30，则y2=2px， x=6p，y=x y=2p.A（6p，2p）.方法一：待定系数法，AOB外接圆过原点O，且圆心在x轴上，可设其方程为x2+y2+dx=0.将点A（6p，2p）代入，得d=8p.故AOB外接圆方程为x2+y28px=0.方法二：直接求圆心、半径，设半径为r，则圆心（r，0）.8.（2007年西安模拟题）从椭圆+=1（ab0）上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴右端点A与短轴上端点B的连线ABOM.（1）求椭圆的离心率；（2）若Q是椭圆上任意一点，F2是右焦点，求F1QF2的取值范围；（3）过F1作AB的平行线交椭圆于C、D两点，若|CD|=3，求椭圆的方程.解：（1）由已知可设M（c，y），则有+=1.M在第二象限，M（c，）.又由ABOM，可知kAB=kOM.=.