第六章样本与抽样分布

1、第六章样本与抽样分布$.1数理统计的基本概念.数理统计研究的对象 例：有一批灯泡，要从使用寿命这个 数量指标来看其质量，设寿命用X表 示。(1) 若规定寿命低于1000小时的产品 为次品。此问题是求P(X 1000)=F(10000),求 F(x)?(2) 从平均寿命、使用时数长短差异来看其质量，即求E( x)?、D( x)?。要解决二个问题1.试验设计抽样方法。2.数据处理或统计推断。方法具有“从局部推断总体”的特点。二.总体（母体）和个体1.所研究对象的全体称为总体，把组 成总体的每一个对象成员（基本单 元）称为个体。说明：（1）对总体我们关心的是研究对象的 某一项或某几项数量指标（或属性

2、 指标）以及他们在整体中的分布。所 以总体是个体的数量指标的全体。（2）为研究方便将总体与一个R.V X 对应（等同）。a总体中不同的数量指标的全体， 即是R.V.X的全部取值。b. R.V X的分布即是总体的分布 情况。例：一批产品是100个灯泡，经测试其寿命是：50个1000小时1100小时1200小时20个30个X100011001200P20/10030/10050/100(设X表示灯泡的寿命)可知R.V.X的 分布律，就是总体寿命的分布，反之亦然。常称总体X，若R.VXF(X)，有时 也用F( x)表示一个总体。(3)我们对每一个研究对象可能要观 测两个或多个数量指标，则可用多维 随

3、机向量(X,Y,Z,)去描述总体。2总体的分类有限总体无限总体简单随机样本.1定义61 :从总体中抽得的一部分 个体组成的集合称为子样（样本） 取得的个体叫样品，样本中样品的 个数称为样本容量（也叫样本量） 每个样品的测试值叫观察值。取得子样的过程叫抽样。样本的双重含义：随机性：用（X1, X2,Xn） n维随机向量表 示。Xi表示第i个被抽到的个体，是随机变量。（i=1,2，n）(2)确定性：(Xi,X2,Xn)表示n个实数，即是每个样品Xi观测值Xi(i=1,2，n)。2定义6.2:设总体为X，若Xi,X2X n相互独立且与 X同分布，则称(X 1 ,X 2X n )为来自总体X的容量 为

4、n的简单随机样本(简称样本)。3已知总体的分布写出子样的分布 (1)已知总体 XF( X),则样品XiF( Xi)i=1,2 n 样本(X i ,X 2 X ”)的联合分布为：F(Xi,X2Xn)=P(X、匚 X ,X/ X2X / Xn )=:P(X Xi)=：F( Xi)若总体Xf( X),样品Xif( Xi) i=1,2n样本(X 1 ,X 2X n )的联合密度是：f( X 1, X 2Xn )= : f( Xi )例：总体XN(2)，写出该总体样本(X 1 ,X 2X n)的联合密度。(2) 若总体X是离散型随机变量，一般 给出分布律：P(X= x k)= Pk.k=1,2要写出概率

5、函数 f( x )即f( x )=P(X= x k)= Pkki =1,2 .i = 1,2,., n例：总体X()写出该总体样本(Xl,X2，Xn)的联合概率函数例：总体XB(1,p),0 p 1写出其样本(X1 ,X2,X)的联合概率 函数。四经验分布函数与直方图1.样本的经验分布函数定义：设(X1, X2,Xn)是来自总体X的一组样本值。将它们按由小到 大排序为：州沖州HiX厂X 2 X i X n对任意的实数X,定义函数：Fn(x)=0X Xk= 1,2,.n 一 1k屮*Xk 兰X卄n1xX则称F n ( X )为总体X的经验分布函 数。(2)格列文科定理：设总体X的分布函数、经验分

6、布函数 分别为F( x)、Fn ( x),则有：P Lnim Sup|Fn”(x)- F(X)卜 0 =1上式表明，当，概率为1的有 F n(x)均匀地趋于F( x)。2总体的概率密度的估计-直方图(第一版)p143 例 6.3可以用 SAS 下的 interactive data analysis模块演示。五统计量与样本的数字特征1定义6.3:设Xi,X2,xn是来自总 体X的容量为n的样本，g(x 1, x2, xn)是定义在Rn或Rn子集上的普通 函数。如果g中不含有任何未知量， 则称g(Xi,X2,X为统计量。2常用的统计量(样本的数字特征)定义64:设Xi,X2，,X是来自总体X的样

7、本，则称为样一 1 nXXin 1匚1n本均值S- Xn - 1 1为样本方差1,2,3).为样nM KX iK , Kn 本k阶原点矩为样本k阶中心矩3重要性质定理6.1:设总体X不论服从什么分 布，只要其二阶矩存在，即E(X戶卩、D(X)= 6 2都存在，则:(1)E( X )=E(X)=卩(2)2CTD( X戶n D(X戶n(3)E(S2)=D(X)=重要恒等2X j XX：nX6.2抽样分布统计量是样本的函数，它是一个随机变量。统计量的分布称为抽样分布。一.三个重要分布(一)2分布1.定义6.5 :设Xi, X2,X n相互独立，均服从N(0,1)，则称随机变量2 2 2X1 X2.

8、Xn2分布，记为2(n)。:服从自由度为n2 n ,即：2.定理3.8:2(n)的概率密度为n_i 上2 -2（y，n）=0,其中(x)= ox T -tt e dt定理的说明见P146 页。3.图形.分布函数图:data Kf;do x=0 to 30 by 0.1 ;y= PROBCHI(x, 8)；output ;end ;run ;proc gplot data =kf;plot y*x= 1 ;symbol1 v=none i =join r =1 c=black;run;密度函数图：n=1,5,15data kf;do y= 0 to 20 by 0.1 ;zO=(y*(-0.5

9、)*exp(-y/2)/(2* 0.5 * GAMMA( 0.5 )2)/(2*2 .5 * GAMMA(2 .5 )2)/(2*7.5* GAMMA(7.5);z1 = (y*(1.5 )*exp(-y/z2= (y*(6.5)*exp(-y/ output ;end ;run ;proc gplot data =kf;plot z0*y=1 z1*y= 1 z2*y= 1 /overlay ;symboll v=none i =join r =1 c=black;run;求概率：自由度为n=25, PX34.382的概率这样求。data ;p=PROBCHI( 34.382, 25 );

10、put p=;run ;其它可类推。4.性质 若2 2(n),则 E( 2 )=n ,D( 2)=2n 若2(nJ，x：2仇),且它们相互独立,则2（m 压）若X/2,Xn相互独立,均服从N（卩,/），贝9n2x2 = -T (Xj )2 (n)a 1总体X服从参数为入的指数分 布；Xl,X2,Xn是来自该总体的样本. 则：n_2（ X i厂 2 n X 2 （2 ni（二）.t分布定义6.6:设Xn(0,1),丫 2(n)且 它们相互独立，则称随机变量 Tn= X阳/n服从自由度为n的t分布, 记为 t(n),即 Tn t(n)。定理3.9: Tn的概率密度为T(t, n)(1OC t45时

11、,t分布与N 0,1接近。(3)当 n2 时,(证略)E(T)=0, D(T)=(三)F分布定义 6.7 :设 V2(m),W2(n),且它们相互独立，则称随机变量F m ,nWn服从第一自由度为m第二自由度为n的F分布，记为F(m,n)， 即Fm,n F(m,n)。定理3.10 : Fm,n为服从第一自由度为m,第二自由度为n的F分布的随机变量，则其密度函数为11 “ m + n、r ()mm+n2“m“m、21-m、 2八()(y)2 (1y) 2y o m , n n nn(：)(；)n n nF (y,m,n)二2 20y 0图形：给定m,n可画出一个密度图 形密度函数图:data f

12、;%macro a(m,n,x);data a;0.01do y= 0 to 2 byF& x=(gamma(&m+&n)/2)*(&m/&n )*(&m/2)*y*(&m/2-1 )/(gamma(&m/2)*gamma(&n/ 2)*( 1 +(&m*y/&n)*(&m+&n)/2);output;end;data F;merge a f; |%me nd a;%a( 10 , 25 , 1);%a(10, 5,2);run ;proc gplot data =f;plot F1*y=1 F2 *y= 1 / overlay ;symbol1 v=none i =join r =1 c=b

13、lack;run;易推知：1若FF(m,n)，则；F(n,m)若Xt (n)，则X2F(1,n)练习：书上P151有证明。设 xF（n1，n2），证明:1F（n2，n/|）且F（nnj-11 2 F （n2，n1）（注：xF（n,n2）表示x服从自由为 n和n2的F分布，F（片兹）表示F 分布的1-分位数。如：data;Q_F=FINV（0.95,12,9）; put Q_F=;Q_F=FINV（1-0.95,12,9）; put Q_F=;Ru n;二.常用概率分布的分位数定义6.8 : 设Xf （x）,对于给定 的正数（Ov： A： 二 a f（x）dx =则称A：为X的上侧:分位数,简称

14、上 分位数；若X服从某分布，称A为 某分布的上:分位数。2 X 2（n）称满足PX2 x2（n）p的数x2（n）为自由度为n的2分布的上:分位数。查表P248 n 45时注意所以类的统计分析软件不是这样定义的，只有一个分位数（实际上 是下分位数的定义）书上P147-148页,data ;q1= CINV(1- 0.005 ,10); put q1=;|q2=CINV(1- 0.01 ,10); put q2=;q3=CINV(1- .1 , 10); put q3=;q4=CINV(1- .1 ,25); put q4=; |run ;q仁25.188179572q2=23.209251159

15、q3=15.987179 仃2q4=34.381587018自由度为n=25, PX34.382的概率。data ;p=PROBCHI( 34.382, 25 ); put p=;run ;其它一些分布分位数求解如前几章讲过的，对于正态分布有结果：SAS的两种计算公式：data ;p仁PR0BN0RM(1)-PR0BN0RM(-1);put p1=;p2= PROBNORM(2)-PROBNORM(-2);put p2=;p3= PROBNORM(3)-PROBNORM(-3);put p3=;run;p1=0.6826894921p2=0.9544997361p3=0.9973002039d

16、ata ;p1= 2*PROBNORM(1 )-1;putp仁；p2= 2*PROBNORM(2)-1;putp2=;p3= 2*PROBNORM(3)-1;putp3=;run ;p仁0.6826894921p2=0.9544997361p3=0.9973002039也可以验证数据，即以1为中心，需 要几倍的标准差二距离所构成的区 间，其区间内的概率为上述所示。Data;q1二abs(probit(1- 0.6826894921)/ 2);putq1=;q2二abs(probit(1- 0.9544997361)/ 2);putq2=;q3=abs(probit(1- 0.997300203

17、9)/ 2);putq3=;run;q1=0.9999999999q2=2q3=2.9999999959dataq1=probit(1-(1- 0.6826894921)/ 2); putq1=;q2=probit(1-(1- 0.9544997361)/ 2); putq2=;q3=probit(1-(1- 0.9973002039)/ 2); putq3=;run;q仁0.9999999999 q2=2 q3=2.9999999959注意：为中心，概率为 90%,95%98% 99%勺区间，需要几倍的标准差:距离。Data;q1二abs(probit( q2二abs(probit( q3=

18、abs(probit( q3=abs(probit(1- 0.9 )/ 2); put q1=;1- 0.95 )/ 2); put q2=;1-0.98 )/ 2); put q3=;1- 0.99 )/ 2); put q3=;run;q1= 1.644853627 q2=1.9599639845 q3=2.326347874 q3=2.5758293035比如，P：1.96 X 1.96=0.95等的结论也是常用的。几乎都成常识 了。data ;q1=exp(-1.65 * 2/ 2)/sqrt( 2*( 3.1415926); put q1=;q2=PR0BN0RM(- 1.65 );

19、 put q2=;|aa=q1/q2; put aa=;run ;FINV(p,ndf,ddf) returns a quantile from the F distributionBETAINV(p,a,b)CINV(p,dfv, nc)SAS FUNCTIONS: Qua ntile Fu ncti onsreturns a qua ntile from the beta distributi on retur ns a qua ntile from the chi-squareddistributi onGAMINV(p,a)retur ns a qua ntile from the g

20、amma distributi onPROBIT(p)returns a quantile from the standard normal distributi onTINV(p,dfv, nc)returns a qua ntile from the t distributi on近似可证明：n很大V2x2 N ( 2n 1,1)P( 2x2 - 2 n - 1) u： =变成1=Px22(u 2 n 1)2=x2(n 厂】(u 2n1)2(2)T t(n)称满足PTt a (n)二 的数t a (n)为t(n)上:分位数。 查表：n45 时,T N (0,1), t a (n ) = U

21、 a。注意：Tt(n)的密度是偶函数。 称满足PT|1 (n)八正数以n)为2 2分布的双侧：分位数。易知：以n)查表可得，且2I (n)二2t (n)同样标准正态分布有例: n=20的t分布，求其0.1的上分位数，有data ;q=TINV( 1 - 0.1 ,5); put q=; |q=TINV( 1-0.1 ,10); put q=;q=TINV( 1 - 0.1 , 20); put q=;q=TINV( 1 - 0.1 , 50); put q=;q=TINV( 1 - 0.1 , 100 ); put q=; |q=TINV( 1 - 0.1 ,2 00); put q=; |q

22、norm=(probit(1 - 0.1 ); put qnorm二;run ;q=1.4758840488q=1.3721836411q=1.325340707q=1.2987136942q=1.2900747613q=1.285798794qnorm=1.2815515655对于概率：我们看一下当n很大时, t(n)和标准正态分布的近似性。prob_t=PROBT(1.3, 5); put prob_t=;prob_t=PROBT(1.3, 10); put prob_t=;prob_t=PROBT(1.3, 20); put prob_t=;prob_t=PROBT(1.3, 50);

23、put prob_t=;prob_t=PROBT(1.3, 100); put prob_t=;prob_t=PROBT(1.3, 200); put prob_t=;Prob_n=PROBNORM(1.3);put Prob_n=;Run;(3) 若 FF(m ,n)称满足 PFFa (m,n)二的数 Fa (m,n)为F分布的上:分位数。查表：表中有的可直接查表P250表中没有的1F (m, n)二Fv： (n, m)二正态总体的X、S2的分布定理6.2 :（费歇（Fisher）定理） 设总体 XN（卩,（T 2）,Xi,X2,Xn为来自总体X的样本，其样本均值和样 本方差分别记为X和S2。则有（1） X与S相互独立。(2)2XNC ,)n(n- 1)s2证明见书Pl50隹论1 :N (0,1)例 :总体 X N(0/ 2)，问(1 Xi)2 与n 2:Xi - X是否独立？ 2又问(1x) + 1 Xi X服从什麽分 布？X -卩推论 2: 丁=”75-1)/vn定理6.3 :设有两个总体： XNC2),其样本为 Xl,X2,，X n,样本均值X ,样本方差2S1总体YNC2, 2),其样本为 丫1,丫2 丫巾,样本均值为Y,样本方差 为s2,且两