立体几何中线面平行的经典方法经典题(附详细解答)

1、优质文档人挪活树挪死高中立体几何证明平行的专题 (基本方法)立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：(1)通过“平移”。利用三角形中位线的性质。 利用平行四边形的性质。 (4)利用对应线段成比例。(5)利用面面平行，等等。(1)通过“平移”再利用平行四边形的性质1.如图，四棱锥 P ABCD的底面是平行四边形，点E、F 分别为棱AB、 PD的中点.求证：AF /平面PCE;分析：取PC的中点G，连EG.，FG，则易证 AEGF是平行四 边形PFAECB(第 1题图)2、如图，已知直角梯形 ABCD 中，AB / CD，AB 丄 BC，AB =

2、1，BC = 2，CD = 1 + -. 3， 过A作AE丄CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将 ADE沿AE折叠，使 得DE丄EC.(I)求证：BC 丄面 CDE ;(H)求证：FG /面 BCD ;分析：取DB的中点H，连GH,HC贝惕证FGHC是平行四边形3、已知直三棱柱 ABC A1B1C1中，D, E, F分别为AA1, CC1, AB的中点,M为BE的中点,AC丄BE.求证:(I) CQ 丄 BC ;(H) C1D /平面 B1FM.分析：连EA，易证C1EAD是平行四边形，于是 MF/EAB1EMCA1DFD/4、如图所示,四棱锥P ABCD底面是直角梯形，BA _

3、 AD,CD _ AD, CD=2AB, E 为 PC 的中点,证明：EB平面PAD ;分析：取PD的中点F，连EF,AF则易证ABEF是平行四边形(2)利用三角形中位线的性质5、如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱 AD、CD、AM / 平面 EFG。分析：连 MD交GF于H，易证EH是厶AMD的中位线6、如图，ABCD是正方形，0是正方形的中心， E是PC 的中点。求证：PA /平面BDE7. 如图，三棱柱 ABC AiBiCi中，D为AC的中点 求证：AB i /面 BDCi ；分析：连BiC交BCi于点E,易证ED是 BiAC的中位线8、如图，平面ABEF 一平面ABCD，四边形A

4、BEF与ABCD都是直角梯形,1BAD FAB =90, BC AD , BE2(I)证明：四边形 BCHG是平行四边形；(n) C, D, F, E四点是否共面？为什么？i 一AF , G, H分别为FA, FD的中点二 2为BBi的中点,ACB= 90 ,EA丄平面ACBC2(.3)利用平行四边形的性质9. 正方体ABCD AiBiCiDi中0为正方形ABCD的中心，M 求证： DiO平面 AiBCi;分析：连DiBi交AiCi于Oi点，易证四边形 OBBQi是平行四边形110、在四棱锥 P-ABCD中, AB/ CD AB=DC, E为 PD 中点2求证：AE/平面PBC 分析：取PC的

5、中点F,连EF则易证 ABFE 是平行四边形ii、在如图所示的几何体中，四边形 ABCD为平行四边形，/BCD, EF /AE,FG/EC,EG/AC .AB = 2EF . (I)若M是线段AD的中点，求证：GM /平面ABFE；(H)若AC = BC =2AE，求二面角A -BF - C的大小.(I) 证法一：因为 EF/AB , FG/BC , EG/AC , ACB 二 90 ,所以 EGF =90，:ABC s ：EFG.由于 AB=2EF，因此，BC=2FC ,1连接 AF，由于 FG/BC , FG BC2在L ABCD中，M是线段AD的中点，贝y AM/BC，且AM因此FG/A

6、M且FG=AM，所以四边形 AFGM为平行四边形，因此 GM/FA。又FA二平面ABFE , GM二平面ABFE，所以GM/平面AB。4利用对应线段成比例12、如图：S是平行四边形 ABCD平面外一点,M、N分别是SA、BD上的点，且AMSMBNND求证：MN /平面SDC分析：过 M作ME/AD，过 N作NF/AD利用相似比易证 MNFE是平行四边形13、如图正方形 证：MN /平面ABCDBEC分析：过M作MG/AB，过 N 作 NH/AB利用相似比易证MNHG是平行四边形与ABEF交于AB , M ,(5)利用面面平行14、如图，三棱锥 P-ABC 中，PB 底面 ABC, BCA=90

7、” , PB=BC=CA , E 为 PC 的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF二2FP .(1)求证：BE _平面PAC ;(2)求证：CM /平面 BEF ;分析：取AF的中点N，连CN、MN，易证平面 CMN/EFB优质文档直线、平面平行的判定及其性质经典题（附详细解答）一、选择题1下列条件中，能判断两个平面平行的是（）A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面；B .一个平面内的两条直线平行于另一个平面C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面2. E, F, G分别是四面体 ABC啲棱BC CD DA的中点，则此四面体中与过E, F,

8、 G的截 面平行的棱的条数是A . 0 B . 1C. 2 D . 33. 直线a, b,c及平面：，,使a/b成立的条件是（）A . a/、*,b 二：丄B a；,b； C a / c,b / cD a/，n - =b4若直线m不平行于平面，且m二：，则下列结论成立的是（）A :-内的所有直线与 m异面B :-内不存在与m平行的直线C :-内存在唯一的直线与 m平行D :-内的直线与 m都相交5 下列命题中，假命题的个数是（）一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；过直线外一点有且只有一个平面和这条1A MN ACBC B直

9、线平行； 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；a和b异面，则经过 b1C MN AC二、填空题7在四面体 ABCD中，M , 四面体的四个面中与 MNBC DMN 冷 AC BC分别是面 ACD , BCD的重心，则N平行的是&如下图所示，四个正方体中, 分别为其所在棱的中点，能得到A, B为正方体的两个顶点， M N, P AB/面MNP勺图形的序号的是存在唯一一个平面与:-平行A 4B 3C 2D 16已知空间四边形ABCD 中，M,N分别是AB,CD的中点，则下列判断正确的是（)MN 1 AC BC9正方体 ABCD -A1 B1C1D1中，E为DD 1中点，贝V BD1和平面AC

10、E位置关系是 人挪活树挪死优质文档三、解答题10如图，正三棱柱ABC _AiBiCi的底面边长是2,侧棱长是-3,D是AC的中点求证：BQ/平面A1 BD .B11.如图，在平行六面体 ABCD-AiBiCiDi中，E，M，N，G分别是AAi，CD，CB，CCi的 中点， 求证：（1）MN/B1D1 ；（ 2）AC1/平面 EB1D1 ；（ 3）平面 EB1D1/平面 BDG.参考答案一、选择题1. D【提示】当:- =1时，内有无数多条直线与交线 |平行，同时这些直线也与平面 1平行.故A, B, C均是错误的2. C【提示】棱AC , BD与平面EFG平行，共2条.3. C【提示】a/，b

11、二卅，则a/b或a,b异面；所以A错误；a/，b/，则a/b或a,b异 面或a,b相交，所以 B错误；a/，：| 一： =b,则a/b或a,b异面，所以 D错误;a/c,b/c,则a/b,这是公理4,所以C正确4. B【提示】若直线 m不平行于平面，且m二：，则直线m于平面相交，内不存在与 m平行的直线5. B【提示】错误过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行，有无数多条直线与它平行过直线外一点有无数个平面和这条直线平行平行于同一条直线的两条直线 和同一平面平行或其中一条在平面上6. D【提示】本题可利用空间中的平行关系，构造三角形的两边之和大于第三边二、填空题7. 平面 ABC，平面 A

12、BD【提示】连接AM并延长，交CD于E,连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E、 F重合为一点，且该点为CD的中点E,由列=更=丄得MN / AB.因此，MN /平面ABCMA NB 2且MN /平面ABD.8. 【提示】对于，面 MNP/面AB,故AB/面MNP.对于，MP/AB,故AB/面MNP,对于，过AB找一个平面与平面 MNP相交，AB与交线显然不平行，故不能推证AB/面 MNP.9. 平行【提示】 连接BD交AC于0,连0E , 0E / B D1 , OEC平面ACE ,二B D 1 /平面 ACE.三、解答题10. 证明：设ABi与A1B相交于点P,连接PD,则P为AB1

13、中点，D 为 AC 中点，.PD/ B1C.又；PD 平面 A1B D , B1C/平面 A1B D11. 证明：（1） ； M、N分别是 CD、CB的中点，.MN/BD又；BB1/DD1,.四边形BB1D1D是平行四边形.所以 BD/B 1D1.又 MN/BD，从而 MN/B 1D1（2）（法 1）连 A1C1, A1C1 交 B1D1 与 0 点四边形A1B1C1D1为平行四边形，则 0点是A1C1的中点E是AA1的中点， E0是厶AA1C1的中位线，E0/AC1.AC1 二面 EB1D1 , E0 面 EB1D1，所以 AC 1/面 EB1D1（法2）作BB1中点为H点，连接 AH、C1H, E、H点为AA1、BB1中点，所以EH/C1D1,则四边形EHC1D1是平行四边形，所以 ED 1/HC1又因为EA /B1H，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以 EB1/AH壮AH c HC1=H，二